《chapter2可靠性数学基础.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《chapter2可靠性数学基础.ppt（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2章章 可靠性数学基础可靠性数学基础 电子科技大学电子科技大学 本章内容本章内容数理统计基本概念数理统计基本概念常用的概率分布常用的概率分布随机变量函数均值与方差的近似计算随机变量函数均值与方差的近似计算 数理统计的基本概念数理统计的基本概念总体（母体）是研究体（母体）是研究对象的全体。象的全体。总体可以是尺寸、寿命、体可以是尺寸、寿命、时间和和强度等。度等。总体可以分体可以分为有限有限总体和无限体和无限总体。体。个体是个体是组成成总体的每个基本体的每个基本单元元抽样和样本抽样和样本 总体与个体总体与个体抽样是随机的抽取和组成样本的过程。抽样是随机的抽取和组成样本的过程。样本是取自总体的部
2、分个体的集合。样本是取自总体的部分个体的集合。样本所包含的个体数目，称为样本容量样本所包含的个体数目，称为样本容量。 集中趋势的是指分布密度的图形集中趋向于哪集中趋势的是指分布密度的图形集中趋向于哪里，即分布的中心位置在哪里。里，即分布的中心位置在哪里。 随机变量集中趋势的尺度随机变量集中趋势的尺度 均值均值 分布的平均值分布的平均值 中位数中位数 分布密度图的中间值分布密度图的中间值 众数众数 频率频率( (或频数或频数) )为最大的随机变量的位置为最大的随机变量的位置 随机变量分散性的尺度随机变量分散性的尺度 分散性是指分布的离散程度分散性是指分布的离散程度 方差方差 标准差标准差 变异系
3、数变异系数 变异系数的值越小，变量的分散性越小变异系数的值越小，变量的分散性越小 极差极差 样本经验分布函数样本经验分布函数定义：定义：设总体的一组样本观测值，将其按从小到大设总体的一组样本观测值，将其按从小到大排列排列经验分布函数是总体分布函数的近似。经验分布函数是总体分布函数的近似。下标下标i表示失效数据的序号。表示失效数据的序号。对一批观测数据，若样本量较大，对一批观测数据，若样本量较大，样本量较大时，也可以根据可靠度定义，直接样本量较大时，也可以根据可靠度定义，直接计算其经验分布计算其经验分布经验分布函数的计算经验分布函数的计算t时刻失效样时刻失效样本数本数参加试验的产参加试验的产品数
4、品数经验分布函数的计算经验分布函数的计算样本量较小时样本量较小时Hansen公式公式数学期望公式数学期望公式中位秩公式中位秩公式 median rank本章内容本章内容数理统计基本概念数理统计基本概念常用的概率分布常用的概率分布随机变量函数均值与方差的近似计算随机变量函数均值与方差的近似计算 概率分布的作用概率分布的作用制定合理的维修和保修制度制定合理的维修和保修制度计算产品的可靠性参数计算产品的可靠性参数计算产品的寿命特征计算产品的寿命特征预测产品的故障规律预测产品的故障规律离散型随机变量的常用分布离散型随机变量的常用分布（0-1）分布）分布Beroulli分布（二分布（二项分布）分布） 部
5、分冗余部分冗余Poisson分布分布几何分布与几何分布与负二二项分布分布超几何分布超几何分布分布类型分布类型可靠性工程中的应用可靠性工程中的应用（0-1）分布分布描述具有两种结果的随机试验描述具有两种结果的随机试验二项分布二项分布部分冗余时，计算系统成功的概率部分冗余时，计算系统成功的概率Poisson分布分布描述产品在某个时间区间内受到外界描述产品在某个时间区间内受到外界“冲击冲击”的次数。的次数。几何分布和二项几何分布和二项分布分布描述试验中失败次数的分布描述试验中失败次数的分布超几何分布超几何分布适用于较小规模的抽样问题适用于较小规模的抽样问题离散型随机变量的分布类型及其应用离散型随机变
6、量的分布类型及其应用连续型随机变量的常用分布连续型随机变量的常用分布正正态分布分布截尾正截尾正态分布分布对数正数正态分布分布G G分布分布指数分布指数分布威布威布尔尔分布分布极极值分布分布1. 指数分布指数分布 Exponential Distribution指数分布在可靠性计算中的应用指数分布在可靠性计算中的应用故障率故障率可靠寿命可靠寿命中位寿命中位寿命描述电子设备寿命分布规律；描述电子设备寿命分布规律；描述大型复杂系统故障时间间隔的分布规律。描述大型复杂系统故障时间间隔的分布规律。例例 题题求该设备使用求该设备使用100100小时和小时和10001000小时后的可靠度。小时后的可靠度。
7、已知某设备的失效率已知某设备的失效率 工作工作100h100h后的可靠度为后的可靠度为 工作工作1000h1000h后的可靠度为后的可靠度为2. 正态分布正态分布 Normal Distribution (Gaussian distribution )概率密度函数概率密度函数累积分布函数累积分布函数描述由于磨损、腐蚀引起失描述由于磨损、腐蚀引起失效的产品寿命；效的产品寿命；对制造的产品及其性能进行对制造的产品及其性能进行分析和质量控制。分析和质量控制。tt正态分布的概率密度曲线正态分布的概率密度曲线标准正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布。的正态分布称为标准正态分布。标准正态分布的概
8、率密度函数标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的累积分布函数标准正态分布的累积分布函数查正态分布表。查正态分布表。例例 题题已知已知非标准正态分布如何变为标准正态分布？非标准正态分布如何变为标准正态分布？例例 题题有有100100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，测得试件材料的强个某种材料的试件进行抗拉强度试验，测得试件材料的强度极限的均值与标准差分别为度极限的均值与标准差分别为 求：（求：（1）试件材料的强度小于）试件材料的强度小于600MPa的概率；的概率； （2）强度在（）强度在（550450）MPa区间内的概率。区间内的概率。 解：解：（1 1）（2）若强度落在（）若强度落在（550
9、450）MPa区间内区间内如果随机变量如果随机变量X 的自然对数的自然对数Y=ln(X)服从正态分布，则服从正态分布，则X服从对服从对数正态分布数正态分布 ，概率密度函数和累积分布函数分别为：，概率密度函数和累积分布函数分别为：对数正态分布对数正态分布 Log- -Normal Distribution随机变量随机变量Y的的均值和标准差均值和标准差累积分布概率的计算累积分布概率的计算对数正态分布对数正态分布 Log- -Normal Distribution利用标准正态利用标准正态分布求解分布求解均值和标准差均值和标准差的均值和标准差的均值和标准差用用对对数数变变换换可可将将较较大大的的数数缩
10、缩小小为为较较小小的的数数，在在机机械械零零、部部件件的的疲疲劳劳寿寿命命、疲疲劳劳强强度度、耐耐磨磨寿寿命命以以及及描描述述维维修修时时间间的的分分布布等等研研究究中中，常应用对数正态分布。常应用对数正态分布。对数正态分布对数正态分布 Log- -Normal Distribution例题例题某某工工程程机机械械的的正正常常运运行行时时间间（两两次次失失效效之之间间的的时时间间）服服从从对对数数正正态态分分布布，其其均均值值为为6个个月月，标标准准差差为为1.5个个月月。若若要要求求在在任任何何时时间间内内一一台台设设备备能能处处于于运运行行状状态态的的概概率率至至少少为为0.90，试试计计
11、算算每每台台设设备备的维修周期。的维修周期。 解：解：要求设备处于运行状态的概率为要求设备处于运行状态的概率为0.90，则不可靠度为，则不可靠度为 查正态分布表，得查正态分布表，得 则维修周期为则维修周期为 （月）（月）Waloddi Weibull1887-1979A statistical distribution function of wide applicability. Journal of Applied Mechanics, 1951,18(3):293297 3. 威布尔分布威布尔分布 Weibull Distribution若随机变量若随机变量T服从三参数威布尔分布，则其概
12、率密度函数：服从三参数威布尔分布，则其概率密度函数：累积分布函数为累积分布函数为 其中：其中：形状参数形状参数尺寸参数尺寸参数位置参数位置参数3. 威布尔分布威布尔分布 Weibull Distribution两参数威布尔分布的概率密度函数和累积分布函数分别：两参数威布尔分布的概率密度函数和累积分布函数分别： 时，三参数威布尔分布转变为两参数威布尔分布。时，三参数威布尔分布转变为两参数威布尔分布。3. 威布尔分布威布尔分布 Weibull Distribution威布尔分布变量的数学期望和方差分别为：威布尔分布变量的数学期望和方差分别为： 式中：式中：为伽马函数为伽马函数取值对概率密度曲线形状
13、的影响取值对概率密度曲线形状的影响概率密度函数曲线概率密度函数曲线取值对概率密度曲线形状的影响取值对概率密度曲线形状的影响概率密度函数曲线概率密度函数曲线取值对概率密度曲线形状的影响取值对概率密度曲线形状的影响概率密度函数曲线概率密度函数曲线描述疲劳寿命的威布尔分布模型描述疲劳寿命的威布尔分布模型 疲劳寿命的分布函数疲劳寿命的分布函数 位置参数，即最小寿命参数；位置参数，即最小寿命参数；特征寿命参数；特征寿命参数；形状参数。形状参数。 疲劳寿命的概率密度函数疲劳寿命的概率密度函数 本章内容本章内容数理数理统计基本概念基本概念常用的概率分布常用的概率分布随机随机变量函数均量函数均值与方差的近似与
14、方差的近似计算算 随机变量函数均值与方差的近似计算随机变量函数均值与方差的近似计算 工工程程中中有有许许多多随随机机事事件件，大大多多需需要要用用两两个个、三三个个或或多多个个随随机机变变量量的的函函数数来来描描述述，当当已已知知其其中中每每一一个个随随机机变变量量的的均均值值及及标标准准差差，可可以以通通过过一一些些方方法法来来估估计计和和计算随机变量函数的均值和标准差。计算随机变量函数的均值和标准差。 三种方法：三种方法： 基本函数法基本函数法泰勒级数法泰勒级数法变异系数法变异系数法基本函数法基本函数法泰勒级数法泰勒级数法一维随机变量函数的近似解一维随机变量函数的近似解多维随机变量函数的近
15、似解多维随机变量函数的近似解例例 题题已知某一已知某一销轴半径半径r的均的均值和和标准差分准差分别为求此销轴截面积求此销轴截面积A的均值和标准差。的均值和标准差。解：解：例例 题题一拉杆受外力作用，若外力的均值和一拉杆受外力作用，若外力的均值和标准差分准差分别为杆横截面积的均值和标准差分别为杆横截面积的均值和标准差分别为求拉应力的均值和标准差。求拉应力的均值和标准差。解：解：变异系数法变异系数法变异系数变异系数函数形式为函数形式为单单项式时项式时，假设，假设例例:工作齿轮齿根弯曲疲劳极限的均值和变异系数工作齿轮齿根弯曲疲劳极限的均值和变异系数工作齿轮齿根弯曲疲劳极限的标准差为工作齿轮齿根弯曲疲劳极限的标准差为工作齿轮齿根弯曲疲劳极限应力工作齿轮齿根弯曲疲劳极限应力
