新概念型问题学生版

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1、2013年专题新概念型问题一、中考专题诠释所谓“ 新概念” 型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型. “ 新概念” 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点. 在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“ 新概念型专题” 关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念例 1 （ 2012永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如

2、 1, 3, 9, 19, 3 3 ,就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差. 如2, 4, 6, 8, 10就是一个等差数列，它的公差为2 . 如果一个数列的后一个数与前个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列. 例如数列1, 3, 9, 19, 33, 它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2, 6, 10, 1 4 ,，这是一个公差为4 的等差数列，所以，数 列 1, 3, 9, 19, 3 3 ,是一个二阶等差数列. 那么，请问二阶等差数列1, 3, 7, 1 3 ,

3、.的第五个数应是.对应训练1. （ 2012自贡）若 x 是不等于1 的实数，我 们 把 一 称 为 x 的差倒数，如 2 的差倒数是 X1 =1, -1的差倒数为 一1= -现己知X尸 - X2是 XI的差倒数，X3是 X,的差1-2 1 - （ -1） 2 3倒数，X4是 X3的差倒数. . . . 依次类推，则 X2O I2=_ .考点二：运算题型中的新概念例 2（ 2012荷泽） 将 4 个数a, b, c, d 排成2 行、2 列,bd两边各加一条竖直线记成概念b=ad-bc,上述记号就叫做2 阶行列式. 若x + 11-x1-X= 8,则 x=x + 1对应训练2. （ 2012株

4、洲 ）若 （ x i， y i ） （ X 2 ， y 2 ）=x（X2+yiy2 则（4, 5） （ 6, 8） =考点三：探索题型中的新概念例 3 (2012南京) 如图，A、B 是。上的两个定点，P 是。O 上的动点(P 不与A、B重合) 、我们称NAPB是。O 上关于点A、B 的滑动角.( 1 ) 已知NAPB是。O 上关于点A、B 的滑动角， 若 A B是。O 的直径，则/APB=；若。O 的半径是1, A B = Q ,求NAPB的度数；( 2 ) 已知5 是。01外一点，以 5 为圆心作一个圆与。01相交于A、B 两点，/A P B 是上关于点A、B 的滑动角，直线PA、PB分别

5、交0 5 于 M 、N ( 点 M 与点A、点 N 与点 B 均不重合) ，连接A N ,试探索/A P B 与/M A N 、NANB之间的数量关系.对应训练3. (20陕西) 如果一条抛物线 y=ax2+bx+c (a # )与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“ 抛物线三角形” .(1) “ 抛物线三角形” 一定是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三角形；( 2 ) 若抛物线y=-x?+bx (b 0 )的“ 抛物线三角形” 是等腰直角三角形，求 b 的值：( 3 ) 如图，AO AB是抛物线y=-x2+b，x (b 0 ) 的“

6、抛物线三角形” ，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过0 、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.考点四：开放题型中的新概念例 4 （ 2 0 1 2北京）在平面直角坐标系x O y中，对于任意两点R （X 1, y .）与P 2 （ x2, y2）的“ 非常距离” ，给出如下概念：若| XX 2以力切，则点P 1与点P2的“ 非常距离 为I X 1 - X 2 I ；若I x i - x j V ly i M，则点P ,与点P 2的“ 非常距离” 为ly i - y d .例如： 点P i （ l, 2 ） ,点P 2 （ 3 , 5 ） ,瓯I 1 - 3

7、 K I 2 - 5 I ,所以点巴与点P 2的“ 非常距离” 为1 2 - 5 1 =3 ,也就是图1中线段PQ与线段P ? Q长度的较大值（ 点Q为垂直于y轴的直线P漫 与垂直于x轴的直线P ? Q皴） .（ 1 ）已知点A（ - g , 0 ） , B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“ 非常距离” 为2,写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“ 非常距离” 的最小值；3（ 2 ）已知C是直线y =x + 3上的一个动点，4如图2,点D的坐标是（ 0 , 1 ） ,布 C与点D的“ 非常距离” 的最小值及相应的点C的坐标；如图3 , E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动

8、点，求点C与点E的“ 非常距离”对应训练4. （ 2012台州） 请你规定一种适合任意非零实数a, b 的新运算“aab”，使得下列算式成立:7 41 2=2 1=3, （ -3） （ -4） = （ -4） （ -3） =- - , （ -3） 5=5 （ -3） =- - .6 15你规定的新运算ab= （ 用 a, b 的一个代数式表示） .考点五：阅读材料题型中的新概念例 5 （ 2012常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O ,且NBOD=150。（ 如图） ，现按如下要求规定此平面上点的“ 距离坐标” ：（ 1）点 O 的 距离坐标 为（0, 0）；（2）在直线CD上，且到直线

9、A B 的距离为p （ p0）的点的“ 距离坐标” 为（p, 0）；线 AB上，且到直线CD的距离为q （ q0）的点的“ 距离坐标” 为（0, q）；（ 3）到直线AB、CD的距离分别为p, q （ p0, q0）的点的“ 距离坐标” 为 （ p, q） .设 M 为此平面上的点，其“ 距离坐标” 为（m, n） , 根据上述对点的“ 距离坐标” 的规定，解决下列问题：（1）画出图形（ 保留画图痕迹） ：满足m = l,且 n=0的点M 的集合；满足m=n的点M 的集合；（2）若点M 在过点。且与直线CD垂直的直线1上，求 m 与 n 所满足的关系式.（说明：图中01长为一个单位长）留用图对

10、应训练5 . ( 2 0 1 2钦州) 在平面直角坐标系中， 对于平面内任意一点( x , y ) ,若规定以下两种变换:f ( x , y ) = ( y , x ) .如 f ( 2 , 3 ) = ( 3 , 2 ) ；g ( x , y ) = ( - x , - y ) ,如 g ( 2 , 3 ) = ( - 2 , - 3 ) .按照以上变换有：f ( g ( 2 , 3 ) ) =f ( - 2 , - 3 ) = ( - 3 , - 2 ) ,那么 g ( f ( - 6, 7) )等 于 ( )A. ( 7, 6) B . ( 7, - 6) C. ( - 7, 6) D

11、. ( - 7, - 6)四、中考真题演练一、选择题1 . ( 2 0 1 2六盘 水 ) 概念：f ( a , b ) = ( b a ) , g ( m , n) = ( - m , - n) .例如 f ( 2 , 3 ) = ( 3 ,2 ) , g ( - 1 , - 4) = ( 1 , 4) .则 g f ( - 5 , 6 ) 等 于 ( )A. ( - 6, 5 ) B . ( - 5 , - 6) C. ( 6, - 5 ) D . ( - 5 , 6)2 . ( 2 0 1 2湘潭 ) 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1

12、 ，若 输 入 则 输 出 的 结 果 为 ( )A. 5 B . 6 C. 7 D . 8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键.3 . ( 2 0 1 2丽 水 ) 小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围城三角形，其棵数3 , 6, 9, 1 2,称为三角形数. 类似地，图2中的4 , 8 , 1 2, 1 6 ,称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )oO OOO3 6图1A . 20 1 0二、填空题4 . ( 20 1 2常德)规定用符号 m 表示一个实数m的整数部分，例如：号= 0 , 3 . 1 4 = 3 .按此规定 伍

13、+1 的值为.5 . ( 20 1 2随州 )概 念 ：平面内的直线4与4相交于点。，对于该平面内任意一点M,点M到直线4、4的距离分别为a、b ,则称有序非实数对( a , b )是 点M的“ 距离坐标” ，根据上述概念，距离坐标为( 2, 3 )的点的个数是( )A . 2 B . 1 C. 4 D . 36 . ( 20 1 2荆门)新概念： a , b 为一次函数y = a x + b ( a / 0 , a , b为实数)的“ 关联数” . 若 “ 关联 数 的 一 次 函 数 是 正 比 例 函 数 ， 则关于x的 方 程 一 + = 1的解为 .x - 1 m7. (2012自贡

14、 )如 图 ，4 A B C是正三角形，曲 线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、 弧DE、 弧EF的圆心依次是A、B、C ,如f t AB=1,那么曲线CDEF的长是 .8. (2012泉州)在4人8(2中，P是A B上的动点(P异于A、B ) ,过点P的直线截ABC,使截得的三角形与A A B C相似，我们不妨称这种直线为过点P的A A B C的相似线，简记为P (lx) ( x为自然数).( 1 )如图，/A =90。 ，Z B = Z C ,当 BP=2PA 时，P ( )、P (12)都是过点 P 的4ABC的相似线( 其中h_LBC, LA C ),此外，还有 条；( 2 )

15、如图，ZC=90, /B =30。 ，当 =时，P (lx)截得的三角形面积BA为AABC面积的4图 图三、解答题9. (2012铜仁地区)如图，概念：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作ctana,即ctana= j岬 邻 巴= 上，根据上述角的余切概念，解下列问角的对边 BC题：(1) c t an30 =；3( 2 )如图，已知tanA=二，其中N A为锐角，试求ctanA的值.4BaC1 0 . ( 20 1 2无锡)对于平面直角坐标系中的任意两点P i ( X 1 , y i )P2( x2)y 2)， 我们把I x i - x z l+ ly i . l

16、叫做P i 、P 2两点间的直角距离, 记作d ( P “ P2).( 1 ) 已知O为坐标原点，动点P ( x , y ) 满足d ( O , P ) = 1 , 请写出x与 y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；( 2)设 P 。( x o , y0) 是一定点，Q ( x , y ) 是直线y = a x + b 上的动点，我们把d ( P 0 , Q) 的最小值叫做P o 到直线y = a x + b 的直角距离. 试求点M ( 2, 1 ) 到直线y = x + 2的直角距离.1 1 . ( 20 1 2厦门)如图，在平面直角坐标系中，已知点

17、A ( 2, 3 )、B ( 6 , 3 ), 连 接 AB.如果点P 在直线y = x - l上， 且点P到直线AB的距离小于1 , 那么称点P 是线段AB的“ 临近点” .7 5( 1 )判断点C 是否是线段AB的“ 临近点” ，并说明理由；2,2 、( 2)若点Q ( m, n ) 是线段AB的“ 临近点” ，求 m 的取值范围.6 -1 0-1- 1 - i-1 2 3 4 5 6 x12. (2012兰州)如图，概念：若双曲线y=8 ( k 0 ) 与它的其中一条对称轴y=x相交于XA、B 两点，则线段A B的长度为双曲线y=勺 ( k 0 ) 的对径.X( 1 ) 求双曲线丫= L 的对径.X( 2 ) 若双曲线y=& ( k 0 ) 的对径是10后，求 k 的值.X( 3 ) 仿照上述概念，概念双曲线y= - ( k 0 , n 0 ,作M N Lx轴，垂足为H ,是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AAO D相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.