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1、精品资料 欢迎下载 分类讨论思想在一元二次方程中的运用 在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。 例 1. 已知方程m xmx222110 有实数根，求 m 的取值范围。 分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。 解：（1）当m20，即m 0，方程为一元一次方程x 10，有实数根x 1； （2）当m20，即m 0时，方程为二次方程。由有实根的条件得： 2144101422mmmm 所以m 14，且m 0 综合（1）、
2、（2），得：m 14 评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。 例 2. 当 m是 什 么 整 数 时 ， 关 于 x的 一 元 二 次 方 程mxx2440 与xmxmm2244450 的根都是整数。 解析： 由于给出的关于 x 的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m 0。又由于方程均有实数根，所以 精品资料 欢迎下载 124440 m 解得：m 1 又 2224414450 mm
3、m 解得：m 54 所以541 m 又 m 是整数，且m 0，且m 1或 1 当m 1时 ， 方 程mxx2440 为xx2440 ， 解 得 方 程 的 根 为x 22 2，它的根不是整数，故m 1舍去。 当m 1时 ， 方 程mxx2440 的 根 为xx122， 方 程xmxmm2244450 根为xx1251，均为整数，所以m 1。 评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。 例 3. 已知关于 x 的方程：xmxm22240 （1）求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 （2） 若这个方程的两个实数根xx12、满足xx212， 求 m 的值及相应的xx12、。
4、 解：（1） mmm244212222 所以不论 m 取何值，总有 2102m 实数根求的取值范围分析字母系数的取值范围问题首先引起警觉想到分评注字母系数的取值范围问题是否要讨论要看清题目的条件一般设问方例当是什么整数时关于的一元二次方程与的根都是整数解析由于给出的精品资料 欢迎下载 所以 21202m ，即 0 所以方程总有两个相异的实根。 （2）因为xxm12240 所以xx1200，或xx1200， 若xx1200，则xx212 所以xx122 所以m 4 此时xx2240 所以xx121515 ， 若xx1200，则xx212 所以xx122 所以m 1，此时xx220 所以xx120
5、2， 评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。 例 4. 若实数 a、b 满足aabb22850850 ，求baab1111的值。 解：由方程根的定义，知 a、b 是方程xx2850 的两个根 实数根求的取值范围分析字母系数的取值范围问题首先引起警觉想到分评注字母系数的取值范围问题是否要讨论要看清题目的条件一般设问方例当是什么整数时关于的一元二次方程与的根都是整数解析由于给出的精品资料 欢迎下载 所以abab 85， 所以 baabababababab 11112221202 事实上，题设中的 a 与 b 是可以相等的，当ab时，原式2 综上所述：当ab时，原式 20，当
6、ab时原式2 评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。 从上面例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：分类应按同一标准进行，分类应当没有遗漏，分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳并作出结论。 练习题 1若方程 x2-2x+3（2-3）=0 的两根是 a 和 b（ab），方程 x2-4=0的正根是 c，试判断以 a、b、c 为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由 2已知关于 x 的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0 的两根之和为-1，两根之差为 1
7、， 其中 a，b，c 是ABC的三边长 （1）求方程的根；（2）试判断ABC的形状 实数根求的取值范围分析字母系数的取值范围问题首先引起警觉想到分评注字母系数的取值范围问题是否要讨论要看清题目的条件一般设问方例当是什么整数时关于的一元二次方程与的根都是整数解析由于给出的精品资料 欢迎下载 3某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20% ，第二个月比第一个月提高 6% ，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 4李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程 11 公
8、里，应收29.10 元”出租车司机说：“请付 29.10 元”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价 N（N12 ）是多少元 里程（公里） 0x3 36 价格（元） N 22N 25N 实数根求的取值范围分析字母系数的取值范围问题首先引起警觉想到分评注字母系数的取值范围问题是否要讨论要看清题目的条件一般设问方例当是什么整数时关于的一元二次方程与的根都是整数解析由于给出的精品资料 欢迎下载 参考答案 1解：解方程 x2-2x+3（2-3）=0，得 x1=3，x2=2-3 方程 x2-4=0的两根是 x1=2，x2=-2 所以 a、b、c 的值分别是3，2-3，2 因为3+2-3=2，所以
9、以 a、b、c 为边的三角形不存在 点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断 2解：（1）设方程的两根为 x1，x2（x1x2），则 x1+x1=-1，x1-x2=1，解得 x1=0，x2=-1 （2）当 x=0 时，（a+c）02+2b0-（c-a）=0 所以 c=a当 x=-1 时，（a+c）（-1）2+2b（-1）-（c-a）=0a+c-2b-c+a=0， 所以 a=b即 a=b=c，ABC为等边三角形 点拨：先根据题意，列出关于 x，x 的二元一次方程组，可以求出方程的两个根 0 和-1进而把这两个根代入原方程，判断 a、b、c 的关系，确定三角形的形状
10、3解：设该产品的成本价平均每月应降低 x 625（1-20% ）（1+6% ）-500（1-x）2=625-500 整理，得 500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81 1-x=0.9 ，x=10.9 ， x1=1.9 （舍去），x2=0.1=10% 答：该产品的成本价平均每月应降低 10% 点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化， 要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到 125 元， 关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价 4解：依题意，N+ （6-3）22N+（11-6）25N=29.10 ， 整理，得 N2-29.1N+191=0，解得 N1=19.1 ，N2=10， 由于 N12 ，所以 N1=19.1 舍去，所以 N=10 答：起步价是 10 元 点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过 3 公里时，价格是 10 元，当行车里程超过了 3 公里而不超过 6 公里时，除付 10 元外，超过的部分每公里再22N付元；若行车里程超过 6 公里，除了需付以上两项费用外，超过 6 公里的部分，每公里再付25N元 实数根求的取值范围分析字母系数的取值范围问题首先引起警觉想到分评注字母系数的取值范围问题是否要讨论要看清题目的条件一般设问方例当是什么整数时关于的一元二次方程与的根都是整数解析由于给出的
