《数学五 几何变换压轴题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学五 几何变换压轴题（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题五几何变换压轴题专题五几何变换压轴题 几何变换问题是近几年每年必考的压轴类试题，出现在几何变换问题是近几年每年必考的压轴类试题，出现在试卷的倒数第二题，它多以三角形、四边形为载体，结合平试卷的倒数第二题，它多以三角形、四边形为载体，结合平移、旋转、翻折、相似等变换，集中考查学生对几何知识的移、旋转、翻折、相似等变换，集中考查学生对几何知识的综合掌握情况试题的设问往往是由小到大、由易到难，在综合掌握情况试题的设问往往是由小到大、由易到难，在应用勾股定理、三角形全等、三角形相似、特殊四边形的判应用勾股定理、三角形全等、三角形相似、特殊四边形的判定及性质的过程中，通过逐步探索新知的方式解答问题此
2、定及性质的过程中，通过逐步探索新知的方式解答问题此类问题注重对探索、创新能力的考查，是近年来中考命题的类问题注重对探索、创新能力的考查，是近年来中考命题的新趋势新趋势 东营市中考试题中每年都会出现考查几何变换类的压轴东营市中考试题中每年都会出现考查几何变换类的压轴题目例如：题目例如：20162016年第年第2424题以正方形、等腰直角三角形为载题以正方形、等腰直角三角形为载体，考查了几何图形的旋转问题；体，考查了几何图形的旋转问题；20152015年第年第2424题以两个全等题以两个全等三角形为载体，考查了几何图形的平移、折叠问题三角形为载体，考查了几何图形的平移、折叠问题类型一类型一 图形的
3、平移变换图形的平移变换 在图形的平移过程中，除了对应线段、对应角等有关几在图形的平移过程中，除了对应线段、对应角等有关几何量始终保持相等外，对应线段的位置也是保持平行何量始终保持相等外，对应线段的位置也是保持平行的对于一些较为复杂的图形运动问题，借助示意图的直观的对于一些较为复杂的图形运动问题，借助示意图的直观性能很好地降低对问题理解上的难度此外，还要借助空间性能很好地降低对问题理解上的难度此外，还要借助空间想象能力对图形运动作深刻的理性分析，全面剖析各种可能想象能力对图形运动作深刻的理性分析，全面剖析各种可能性性例例1 (20161 (2016荆州荆州) )如图，将一张直角三角形如图，将一张
4、直角三角形ABCABC纸片沿斜边纸片沿斜边ABAB上的中线上的中线CDCD剪开，得到剪开，得到ACDACD，再将，再将ACDACD沿沿DBDB方向平移到方向平移到ACDACD的位置，若平移开始后点的位置，若平移开始后点DD未到达点未到达点B B时，时，ACAC交交CDCD于点于点E E，DCDC交交CBCB于点于点F F，连接，连接EFEF，当四边形，当四边形EDDFEDDF为菱形时，试探究为菱形时，试探究ADEADE的形状，并判断的形状，并判断ADEADE与与EFCEFC是否全等？请说明理由是否全等？请说明理由【分析分析】当四当四边形形EDDFEDDF为菱形菱形时，ADEADE是等腰三角是等
5、腰三角形，形，ADEEFC.ADEEFC.先先证明明CDCDDADADBDB，得到，得到DACDACDCADCA，由，由ACACACAC即可得到即可得到DAEDAEDEADEA，由此即，由此即可判断可判断DAEDAE的形状由的形状由EFABEFAB推出推出CEFCEFEADEAD，EFCEFCADCADCADEADE，再根据，再根据ADADDEDEEFEF即即可可证明明【自自主主解解答答】当当四四边形形EDDFEDDF为菱菱形形时，ADEADE是是等等腰腰三三角形，角形，ADEEFC.ADEEFC.理由如下：理由如下：BCABCA是直角三角形，是直角三角形，ACBACB9090，ADADDBD
6、B，CDCDDADADBDB，DACDACDCA.DCA.ACACACAC，DAEDAEA A，DEADEADCADCA，DAEDAEDEADEA，DADADEDE，ADEADE是等腰三角形是等腰三角形四四边形形DEFDDEFD是菱形，是菱形，EFEFDEDEDADA，EFDDEFDD，CEFCEFDAEDAE，EFCEFCCDA.CDA.CDCDCDCD，ADEADEADCADCEFC.EFC.在在ADEADE和和EFCEFC中，中， ADEEFC.ADEEFC.1 1(2016(2016沈阳沈阳) )如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，AOBAOB的顶的顶点点O O为坐标原
7、点，点为坐标原点，点A A的坐标为的坐标为(4(4，0)0)，点，点B B的坐标为的坐标为(0(0，1)1)，点，点C C为边为边ABAB的中点，正方形的中点，正方形OBDEOBDE的顶点的顶点E E在在x x轴的正半轴轴的正半轴上，连接上，连接COCO，CDCD，CE.CE.(1)(1)线段段OCOC的的长为_；(2)(2)求求证：CBDCOECBDCOE；(3)(3)将正方形将正方形OBDEOBDE沿沿x x轴正方向平移得到正方形正方向平移得到正方形O O1 1B B1 1D D1 1E E1 1，其，其中点中点O O，B B，D D，E E的的对应点分点分别为点点O O1 1，B B1
8、1，D D1 1，E E1 1，连接接CDCD1 1，CECE1 1，设点点E E1 1的坐的坐标为(a(a，0)0)，其中，其中a2a2，CDCD1 1E E1 1的面的面积为S.S.当当1 1a a2 2时，请直接写出直接写出S S与与a a之之间的函数解析式；的函数解析式；在平移在平移过程中，当程中，当S S 时，请直接写出直接写出a a的的值 解：解：(1) (1) (2)AOB(2)AOB9090，点，点C C是是ABAB的中点，的中点，OCOCBCBC ABAB，CBOCBOCOB.COB.四四边形形OBDEOBDE是正方形，是正方形，BDBDOEOE，DBODBOEOBEOB90
9、90，CBDCBDCOE.COE.在在CBDCBD和和COECOE中，中， CBDCOE(SAS)CBDCOE(SAS) 类型二类型二 图形的旋转变换图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合解决旋转变换问题，首先要明确旋转角形、四边形相结合解决旋转变换问题，首先要明确旋转中点、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，中点、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题利用旋转前后两图形全等等性质解题例例2 2 (2016(2016龙东) )已已知知点点P P是是平平行
10、行四四边形形ABCDABCD对角角线ACAC所所在在直直线上上的的一一个个动点点( (点点P P不不与与点点A A，C C重重合合) )，分分别过点点A A，C C向向直直线BPBP作垂作垂线，垂足分，垂足分别为点点E E，F F，点，点O O为ACAC的中点的中点(1)(1)当点当点P P与点与点O O重合重合时如如图1 1，易，易证OEOEOF(OF(不需不需证明明) )；(2)(2)直直线BPBP绕点点B B逆逆时针方方向向旋旋转，当当OFEOFE3030时，如如图2 2、图3 3的的位位置置，猜猜想想线段段CFCF，AEAE，OEOE之之间有有怎怎样的的数数量量关关系系？请写出你写出你
11、对图2 2、图3 3的猜想，并的猜想，并选择一种情况一种情况给予予证明明【分析分析】图2 2中的中的结论为：CFCFOEOEAEAE，延，延长EOEO交交CFCF于点于点G G，只要，只要证明明EOAGOCEOAGOC，OFGOFG是等是等边三角形，即可解决三角形，即可解决问题；图3 3中的中的结论为：CFCFOEOEAEAE，延，延长EOEO交交FCFC的延的延长线于点于点G G，证明方法明方法类似似【自主解答自主解答】(2)(2)图2 2中的中的结论为：CFCFOEOEAE.AE.图3 3中的中的结论为：CFCFOEOEAE.AE.选图2 2中的中的结论证明如下：明如下：如如图，延，延长E
12、OEO交交CFCF于点于点G G，AEBPAEBP，CFBPCFBP，AECFAECF，EAOEAOGCO.GCO.在在EOAEOA和和GOCGOC中，中，EOAGOCEOAGOC，EOEOGOGO，AEAECG.CG.在在RtEFGRtEFG中，中，EOEOOGOG，OEOEOFOFGO.GO.OFEOFE3030，OFGOFG909030306060，OFGOFG是等是等边三角形，三角形，OFOFGF.GF.OEOEOFOF，OEOEFG.FG.CFCFFGFGCGCG，CFCFOEOEAE.AE.选图3 3的的结论证明如下：明如下：如如图，延，延长EOEO交交FCFC的延的延长线于点于点
13、G.G.AEBPAEBP，CFBPCFBP，AECFAECF，AEOAEOG.G.在在AOEAOE和和COGCOG中，中，AOECOGAOECOG，OEOEOGOG，AEAECG.CG.在在RtEFGRtEFG中，中，OEOEOGOG，OEOEOFOFOG.OG.OFEOFE3030，OFGOFG909030306060，OFGOFG是等是等边三角形，三角形，OFOFFG.FG.OEOEOFOF，OEOEFG.FG.CFCFFGFGCGCG，CFCFOEOEAE.AE.2 2(2017(2017潍坊坊) )边长为6 6的等的等边ABCABC中，点中，点D D，E E分分别在在ACAC，BCBC
14、边上，上，DEABDEAB，ECEC2 .2 .(1)(1)如如图1 1，将，将DECDEC沿射沿射线ECEC方向平移，得到方向平移，得到DECDEC，边DEDE与与ACAC的交点的交点为M M，边CDCD与与ACCACC的角平分的角平分线交于点交于点N.N.当当CCCC多大多大时，四，四边形形MCNDMCND为菱形？并菱形？并说明明理由理由(2)(2)如如图2 2，将将DECDEC绕点点C C旋旋转(0(0360360) )，得得到到DECDEC，连接接ADAD，BE.BE.边DEDE的中点的中点为P.P.在在旋旋转过程程中中，ADAD和和BEBE有有怎怎样的的数数量量关关系系？并并说明明理
15、理由；由；连接接APAP，当，当APAP最大最大时，求，求ADAD的的值( (结果保留根号果保留根号) )解：解：(1)(1)当当CCCC 时，四，四边形形MCNDMCND为菱形菱形理由：由平移的性理由：由平移的性质得得CDCDCDCD，DEDE.DEDE.ABCABC为等等边三角形，三角形，B BACBACB6060，ACCACC1801806060120120. .CNCN是是ACCACC的角平分的角平分线，NCCNCC6060. .ABDEABDE，DEDEDEDE，ABDEABDE，DECDECB B6060，DECDECNCCNCC，DECN.DECN.四四边形形MCNDMCND为平
16、行四平行四边形形MECMECMCEMCE6060，NCCNCCNCCNCC6060，MCEMCE和和NCCNCC为等等边三角形，三角形，故故MCMCCECE，NCNCCC.CC.又又ECEC2 2 ，CCCC ，CECECCCC ，MCMCCNCN，四四边形形MCNDMCND为菱形菱形(2)AD(2)ADBE.BE.理由：当理由：当180180时，由旋，由旋转的性的性质得得ACDACDBCE.BCE.由由(1)(1)知知ACACBCBC，CDCDCECE，ACDBCEACDBCE，ADADBE.BE.当当180180时，ADADACACCDCD，BEBEBCBCCECE，即即ADADBE.BE
17、.综上可知，上可知，ADADBE.BE.连接接CPCP，在，在ACPACP中，中，由三角形三由三角形三边关系得，关系得，APACAPACCPCP，当当A A，C C，P P三点共三点共线时APAP最大，如最大，如图所示所示此此时，APAPACACCP.CP.在在DCEDCE中，由中，由P P为DEDE中点，得中点，得APDEAPDE，PDPD ，CPCP3 3，APAP6 63 39.9.在在RtAPDRtAPD中，由勾股定理得中，由勾股定理得ADAD 类型三类型三 图形的翻折变换图形的翻折变换 在翻折问题中，折痕是翻折前后两个图形的对称轴，利在翻折问题中，折痕是翻折前后两个图形的对称轴，利用
18、用“连接对称点的线段被对称轴垂直平分连接对称点的线段被对称轴垂直平分”这条性质，找到这条性质，找到有关的数量关系，抓住图形在翻折变换中的全等不变性是非有关的数量关系，抓住图形在翻折变换中的全等不变性是非常重要的另外，在翻折问题中还经常结合勾股定理、相似常重要的另外，在翻折问题中还经常结合勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识共同解决问题三角形、锐角三角函数等知识共同解决问题例例3 3 (2016 (2016襄阳襄阳) )如图，将矩形如图，将矩形ABCDABCD沿沿AFAF折叠，使点折叠，使点D D落在落在BCBC边的点边的点E E处，过点处，过点E E作作EGCDEGCD交交AFAF于点于点
19、G G，连接，连接DG.DG.(1)(1)求证：四边形求证：四边形EFDGEFDG是菱形；是菱形；(2)(2)探究线段探究线段EGEG，GFGF，AFAF之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；(3)(3)若若AGAG6 6，EGEG2 2 ，求，求BEBE的长的长【分析分析】(1)(1)先利用翻折的性先利用翻折的性质和平行和平行线的性的性质证明明DGFDGFDFGDFG，从而得到，从而得到GDGDDFDF，再利用翻折的性，再利用翻折的性质可可证明明DGDGGEGEDFDFEFEF；(2)(2)连接接DEDE，交，交AFAF于点于点O.O.由菱形的性由菱形的性质可知可知GFDE
20、GFDE，OGOGOFOF GFGF，从而，从而DOFADFDOFADF，由相似三角，由相似三角形的性形的性质可可证明明DFDF2 2FOFOAFAF，于是可得到，于是可得到GEGE，AFAF，FGFG的数的数量关系；量关系；(3)(3)过点点G G作作GHDCGHDC，垂足，垂足为H.H.利用利用(2)(2)的的结论可求可求得得FGFG4 4，然后在，然后在ADFADF中依据勾股定理可求得中依据勾股定理可求得ADAD的的长，然，然后再后再证明明FGHFADFGHFAD，利用相似三角形的性，利用相似三角形的性质可求得可求得GHGH的的长，最后依据，最后依据BEBEADADGHGH求解即可求解即
21、可【自主解答自主解答】(1)GEDF(1)GEDF，EGFEGFDFG.DFG.由翻折的性由翻折的性质可知可知GDGDGEGE，DFDFEFEF，DGFDGFEGFEGF，DGFDGFDFG.GDDFG.GDDF.DF.DGDGGEGEDFDFEF.EF.四四边形形EFDGEFDG为菱形菱形(2)EG(2)EG2 2 GFGFAF.AF.理由：理由：如如图1 1所示，所示，连接接DEDE，交，交AFAF于点于点O.O.四四边形形EFDGEFDG为菱形，菱形，GFDEGFDE，OGOGOFOF GF.GF.DOFDOFADFADF9090，OFDOFDDFADFA，DOFADF.DOFADF.
22、，即，即DFDF2 2FOFOAF.AF.FOFO GFGF，DFDFEGEG，EGEG2 2 GFGFAF.AF.(3)(3)如图如图2 2所示，过点所示，过点G G作作GHDCGHDC，垂足为，垂足为H.H.EGEG2 2 GFGFAFAF，AGAG6 6，EGEG2 2 ，2020 FG(FGFG(FG6)6)，整理得：，整理得：FGFG2 26FG6FG40400.0.解得解得FGFG4 4，FGFG10(10(舍去舍去) )DFDFGEGE2 2 ，AFAF1010，ADAD GHDCGHDC，ADDCADDC，GHAD.GHAD.FGHFAD.FGHFAD.3 3(2017(201
23、7淄淄博博) )如如图，将将矩矩形形纸片片ABCDABCD沿沿直直线MNMN折折叠叠，顶点点B B恰恰好好与与CDCD边上上的的动点点P P重重合合( (点点P P不不与与点点C C，D D重重合合) )，折折痕痕为MNMN，点点M M，N N分分别在在边ADAD，BCBC上上连接接MBMB，MPMP，BPBP，BPBP与与MNMN相交于点相交于点F.F.(1)(1)求求证：BFNBCPBFNBCP；(2)(2)在在图2 2中，作出中，作出经过M M，D D，P P三点的三点的O(O(要求保留作要求保留作图痕迹，不写作法痕迹，不写作法) )；设ABAB4 4，随着点，随着点P P在在CDCD上
24、的运上的运动，若，若中的中的O O恰好与恰好与BMBM，BCBC同同时相切，求此相切，求此时DPDP的的长(1)(1)证明明：将将矩矩形形纸片片ABCDABCD沿沿直直线MNMN折折叠叠，顶点点B B恰恰好好与与CDCD边上的上的动点点P P重合，重合，MNMN垂直平分垂直平分线段段BPBP，BFNBFN9090. .四四边形形ABCDABCD为矩形，矩形，C C9090，BFNBFNC.C.又又FBNFBNCBPCBP，BFNBCP.BFNBCP.(2)(2)解：解：如如图所示所示如图，设如图，设O O与与BCBC的交点为的交点为E E，连接，连接OBOB，OE.OE.MDPMDP为直角三角形，直角三角形，MPMP为O O的直径的直径 BMBM与与O O相切，相切，MPBM.MPBM. MB MBMPMP，BMPBMP为等腰直角三角形等腰直角三角形 AMBAMBPMDPMD180180BMPBMP9090，MBAMBAAMBAMB9090，PMDPMDMBA.MBA.在在ABMABM和和DMPDMP中，中，ABMDMPABMDMP，DMDMABAB4 4，DPDPAM.AM.设DPDP2a2a，则AMAM2a2a，OEOE4 4a a，BMBM BMBMMPMP2OE2OE， DPDP2a2a3.3.
