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1、眼科病床的眼科病床的 合理安排合理安排问题重述问题重述v 医院就医排医院就医排队队是我是我们们熟悉的熟悉的现现象，它以各种象，它以各种形式出形式出现现在我在我们们面前，例如，患者到面前，例如，患者到门诊门诊就就诊诊、到收到收费处费处划价、到划价、到药药房取房取药药、到注射室打、到注射室打针针、等、等待住院等，往往需要排待住院等，往往需要排队队等待接受某种服等待接受某种服务务。v 为为此考此考虑虑以某医院眼科病床的合理安排以某医院眼科病床的合理安排经经行行数学模型的建立。数学模型的建立。v 假假设设：v 该该医院眼科医院眼科门诊门诊每天开放，住院部共有每天开放，住院部共有病床病床79张张。该该医
2、院眼科手医院眼科手术术主要分四大主要分四大类类：白内障、白内障、视视网膜疾病、青光眼和外网膜疾病、青光眼和外伤伤。问题重述问题重述v白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。v外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安
3、排住院，住院后第二天便会安排手术。住院后第二天便会安排手术。v其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，因此这些眼科疾病可不周一、周三。由于急症数量较少，因此这些眼科疾病可不考虑急症。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症考虑急症。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症
4、病除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，因此院方希望能住院，但等待住院病人队列却越来越长，因此院方希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。以提高对医院资源的有效利用。问题重述问题重述v 以下是题目的五个问题：以下是题目的五个问题： v 问题问题一：一：试试分析确定合理的分析确定合理的评评价指价指标标体系体系，用，用以以评评价价该问题该问题的的病床安排模型病床安排模
5、型的的优优劣。劣。v 问题问题二：二：试试就就该该住院部当前的情况，建立合理住院部当前的情况，建立合理的的病床安排模型病床安排模型，以根据已知的第二天以根据已知的第二天拟拟出院病人出院病人数来确定第二天数来确定第二天应该应该安排哪些病人住院安排哪些病人住院。并。并对对你你们们的模型利用的模型利用问题问题一中的指一中的指标标体系作出体系作出评评价。价。v 问题问题三：作三：作为为病人，自然希望尽早知道自己大病人，自然希望尽早知道自己大约约何何时时能住院。能否根据当能住院。能否根据当时时住院病人及等待住院住院病人及等待住院病人的病人的统计统计情况，在病人情况，在病人门诊时门诊时即告知其大致入住即告
6、知其大致入住时间时间区区间间。 问题重述问题重述v 问题问题四：若四：若该该住院部周六、周日不安排手住院部周六、周日不安排手术术，重新回答重新回答问题问题二，医院的手二，医院的手术时间术时间安排是否安排是否应应作作出相出相应调应调整整?v 问题问题五：有人从便于管理的角度提出建五：有人从便于管理的角度提出建议议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各在一般情形下，医院病床安排可采取使各类类病人病人占用病床的比例大致固定的方案，占用病床的比例大致固定的方案，试试就此方案，就此方案，建立使得所有病人在系建立使得所有病人在系统统内的平均逗留内的平均逗留时间时间（含（含等待入院及住院等待入院及住院时间时
7、间）最短的病床比例分配模型。）最短的病床比例分配模型。符号说明与模型假设符号说明与模型假设v2.1符号符号说说明明v ：t时时刻挂号的刻挂号的m(1为为外外伤伤、2为为白内障双眼、白内障双眼、3为为白内障白内障单单眼、眼、4为为青光眼、青光眼、5为视为视网膜疾病网膜疾病)类类病人中未住院的第病人中未住院的第j个病人在个病人在n+1天是否被安排入天是否被安排入住；住；0表示未安排入住、表示未安排入住、1表示安排入住。表示安排入住。v ：t时时刻注册的刻注册的m类类病人中未住院的第病人中未住院的第j个病个病人到人到n+1天已等待的天数；天已等待的天数；v ：第：第n+1天出院的人数。天出院的人数。
8、v ：外：外伤伤病人在病人在n+1天安排入院的天安排入院的优优先先级级系数。系数。v ：白内障双眼病人在：白内障双眼病人在n+1天安排入院的天安排入院的优优先先级级系数。系数。v ：白内障：白内障单单眼病人在眼病人在n+1天安排入院的天安排入院的优优先先级级系数。系数。v ：青光眼病人在：青光眼病人在n+1天安排入院的天安排入院的优优先先级级系数。系数。v ：视视网膜疾病病人在网膜疾病病人在n+1天安排入院的天安排入院的优优先先级级系数。系数。符号说明与模型假设符号说明与模型假设符号说明与模型假设符号说明与模型假设v2.2 模型假设模型假设v1、假设白内障手术在周一、三做；、假设白内障手术在周
9、一、三做；v2、假设白内障手术与视网膜疾病、青光眼手术不、假设白内障手术与视网膜疾病、青光眼手术不安排在同一天做。安排在同一天做。v3、假设术前准备时间白内障手术为、假设术前准备时间白内障手术为1、2天，视天，视网膜疾病、青光眼手术为网膜疾病、青光眼手术为2、3天；天；v4、假设该医院每天出院安排在早上，住院安排在、假设该医院每天出院安排在早上，住院安排在出院之后。出院之后。v5、假设外伤病人，住院后第二天即安排手术。、假设外伤病人，住院后第二天即安排手术。问题分析和基本思路问题分析和基本思路v3.1 问题问题分析和建模思路分析和建模思路v该题该题目中，目中，虽虽然有五个然有五个问题问题，但他
10、，但他们们之之间间是相是相互互联联系的。我系的。我们们在分析及解决在分析及解决问题时应问题时应兼兼顾顾五个五个问题进问题进行系行系统统的思考，而不能独立的考的思考，而不能独立的考虑虑某一个某一个问题问题，这样这样既不全面也不利于所有既不全面也不利于所有问题问题的合理解的合理解决。决。问题分析和基本思路问题分析和基本思路v思路流程图思路流程图问题分析和基本思路问题分析和基本思路v问题一由于该医院以前采用问题一由于该医院以前采用FCFS方案方案安排住院，造安排住院，造成未住院病人等待时间过长、队列也越来越长和医院资源成未住院病人等待时间过长、队列也越来越长和医院资源利用率太低。我们在问题一中建立的
11、利用率太低。我们在问题一中建立的评价指标体系评价指标体系可较好可较好的评价出原有的评价出原有FCFS结果的优劣。不仅如此，我们还可以结果的优劣。不仅如此，我们还可以用此评价体系来评价问题二及以后的问题中模型的优劣。用此评价体系来评价问题二及以后的问题中模型的优劣。v 对对于于问题问题二，首先我二，首先我们们根据各根据各类类病人以前病人以前术术后后观观察的察的情况来推断当前的前情况来推断当前的前术术后后观观察的情况，察的情况，得到第二天的得到第二天的拟拟出出院病人数。然后，才能确定第二天院病人数。然后，才能确定第二天应该应该安排哪些病人住院安排哪些病人住院。我我们们可以以第二天是否安排某一病人住
12、院可以以第二天是否安排某一病人住院为为决策决策变变量，量，以以优优先因子大的先因子大的优优先服先服务务 (为为了使病床的安排更加合理，我了使病床的安排更加合理，我们们按按时间时间分情况分情况讨论讨论，不同的病人在不同的，不同的病人在不同的时间应该时间应该有不有不同的同的优优先先级级系数，我系数，我们们的目的目标标是使是使总总的的优优先先级级最大。最大。)和和等待住院病人的等待住院病人的总总和等待和等待时间时间最小最小两个目两个目标为标为目目标标函数，函数，考考虑虑指派指派约约束、手束、手术时间约术时间约束、等待束、等待时间约时间约束束，建立，建立双目双目标标0-1规规划模型划模型。模型的建立模
13、型的建立v4.1 问题问题一一评评价体系分析与建立价体系分析与建立v医院医院进进行床位安排就是要行床位安排就是要充分利用医院充分利用医院资资源源和和使等待住院病人人数尽量少使等待住院病人人数尽量少，这样这样既可以提高医既可以提高医院院资资源利用率，又可以提高病人源利用率，又可以提高病人满满意度。意度。v对对于医院来于医院来说说，为为充分、合理利用病床充分、合理利用病床资资源，源，病人就不能在医院住得太久病人就不能在医院住得太久；如果；如果平均每天入平均每天入院院人数越大人数越大，则则等待住院的病人就会越少。等待住院的病人就会越少。对对于病于病人来人来说说，他，他们们希望的是希望的是等待等待时间
14、时间尽可能少尽可能少。v综综上，可确定以上，可确定以人均等待人均等待时间时间、人均住院人均住院时间时间、平均每天的入住量平均每天的入住量为为评评价指价指标标体系体系，来，来评评价价该问该问题题病床安排模型的病床安排模型的优优劣。劣。模型的建立模型的建立v各指标规范如下：各指标规范如下：模型的建立模型的建立v4.2 问题问题二模型的建立二模型的建立v由模型准由模型准备备的的随机随机拟拟合合，我，我们们可以得到第二天可以得到第二天拟拟出院的人数，然后再安排哪些病人住院，以等待住院出院的人数，然后再安排哪些病人住院，以等待住院的某个病第二天住院与否的某个病第二天住院与否为为决策决策变变量建立量建立规
15、规划模型划模型。v假假设设现现在是在第在是在第n天考天考虑虑第第n+1天的安排住院情天的安排住院情况况。v首先首先确定目确定目标标函数函数：v医院医院进进行床位安排有两个目的：行床位安排有两个目的：v一是按病种合理安排病床，一是按病种合理安排病床，使病人等待住院使病人等待住院时间时间尽量少和在医院等待手尽量少和在医院等待手术术的的的的时间时间尽量少尽量少；另一个是；另一个是使未安排住院的病人使未安排住院的病人总总和等待和等待时间时间尽量小尽量小。模型的建立模型的建立v由此，将建立一个由此，将建立一个双目双目标规标规划模型划模型，其目标任，其目标任务如下务如下v、优优先先级级大的病种大的病种优优
16、先服先服务务，为为了使病床的安了使病床的安排合理，我排合理，我们们按按时间时间分情况分情况讨论讨论，不同病种的病，不同病种的病人人应该应该有不同的有不同的优优先先级级系数，我系数，我们们的目的目标标是使得是使得总总的的优优先先级级最大最大。v、使、使等待住院的病人的等待等待住院的病人的等待时间时间尽量短尽量短，即使，即使第二天第二天还还没有安排住院的病人的没有安排住院的病人的综综合等待合等待时间时间最最小小。即：。即：v目目标标函数一：函数一：v其中其中 为为第第1到到5类类病人病人（单、双眼（单、双眼白白内障、内障、视视网膜疾病、青光眼和外网膜疾病、青光眼和外伤伤）的的优优先先级级因因子，而
17、且子，而且这这些因子的些因子的值值是随着是随着时间时间而而变变化的，在化的，在约约束条件中我束条件中我们们将具体叙述。将具体叙述。模型的建立模型的建立v目目标标函数函数二二：v 其中其中 表示表示t时时刻刻门诊门诊的的m(1为为外外伤伤、2为为白内障双眼、白内障双眼、3为为白内障白内障单单眼、眼、4为为青光眼、青光眼、5为为视视网膜疾病网膜疾病)类类病人中未住院的第病人中未住院的第j个病人在个病人在n+1天是否被安排入住，天是否被安排入住，0表示未安排入住、表示未安排入住、1表示安表示安排入住。排入住。 表示表示t时时刻刻门诊门诊的的m类类病人中未住病人中未住院的第院的第j个病人到个病人到n+
18、1天已等待的天数。天已等待的天数。模型的建立模型的建立v然后我们然后我们挖掘约束条件挖掘约束条件，下面将挖掘的约束，下面将挖掘的约束条件进行分析：条件进行分析：v（1） n+1天入住的人数不能超过天入住的人数不能超过n+1天出天出院的人数，我们以表示院的人数，我们以表示n+1天出院的人数。该约天出院的人数。该约束可以表示为：束可以表示为：模型的建立模型的建立v（2）假如是星期六、日，对于白内障（双眼）假如是星期六、日，对于白内障（双眼）病人，他们在星期一就要开始做手术，而且他们病人，他们在星期一就要开始做手术，而且他们术前准备时间为术前准备时间为12天，他们只能是在星期六或天，他们只能是在星期
19、六或星期天住进去，如果未能住入，他们将再等上一星期天住进去，如果未能住入，他们将再等上一星期，所以这两天要优先安排他们入住；白内障星期，所以这两天要优先安排他们入住；白内障（单眼）的可安排住院的时间相对青光眼、视网（单眼）的可安排住院的时间相对青光眼、视网膜疾病少一些，所以前者的优先级系数也要相对膜疾病少一些，所以前者的优先级系数也要相对后者大一些；另外外伤必须有绝对的优先。该约后者大一些；另外外伤必须有绝对的优先。该约束可以表示为：束可以表示为：模型的建立模型的建立v（3）假如是星期一、二，对于白内障（单眼）假如是星期一、二，对于白内障（单眼）病人，如果还未能住入，他们将再等上一星期，病人，
20、如果还未能住入，他们将再等上一星期，所以要保证他们优先；白内障（双眼）由于两只所以要保证他们优先；白内障（双眼）由于两只眼睛分开做，所以这两天是不安排入住的；外伤眼睛分开做，所以这两天是不安排入住的；外伤必须有绝对的优先。该约束可以表示为：必须有绝对的优先。该约束可以表示为：模型的建立模型的建立v（4） 假如是星期三、四、五，对于白内障假如是星期三、四、五，对于白内障（双眼）、白内障（单眼）这三天是不安排入住（双眼）、白内障（单眼）这三天是不安排入住的；青光眼、视网膜疾病情况一样，可安排入住；的；青光眼、视网膜疾病情况一样，可安排入住；外伤必须有绝对的优先。该约束可以表示为：外伤必须有绝对的优
21、先。该约束可以表示为：模型的建立模型的建立v（5）对于同一类病人，为了合理，还是要先）对于同一类病人，为了合理，还是要先来先住院。该约束可以表示为：来先住院。该约束可以表示为：模型的建立模型的建立v（6） 0-1约束约束v 综上所述，我们得到问题二的双目标规划模综上所述，我们得到问题二的双目标规划模型为：型为：模型的建立模型的建立v目标函数：目标函数： v约束条件：约束条件：模型的求解模型的求解v4.3问题问题二的求解二的求解v4.3.1对问题对问题二模型的求解二模型的求解v （1）根据各）根据各类类病人病人术术后后时间观时间观察情况，随机模察情况，随机模拟拟出出还还未出院或未出院或门诊门诊的
22、各的各类类病人的病人的术术后后观观察情况。察情况。该该步在我步在我们们模模型准型准备备中已中已经进经进行，在此只需利用行，在此只需利用结结果。果。v （2）将双目将双目标规标规划模型划模型转转化化为单为单目目标规标规划模型。划模型。v 为为了求解了求解该该双目双目标标的的规规划模型，我划模型，我们们必必须须将其将其转转化成化成单单目目标规标规划模型。一般，划模型。一般，领导领导者在者在权权衡当前效益和衡当前效益和长远发长远发展两方面展两方面时时，总总是是选择选择一个令自己一个令自己满满意的意的组组合方式。合方式。对对二二者者赋赋予予权权重重,称称为为偏好系数。因此目偏好系数。因此目标标函数函数
23、为为：模型的求解模型的求解v 经过调查经过调查与分析，取与分析，取为为0.6是比是比较较合理的，合理的，所以我所以我们们取取为为0.6 。v（3）确定第一天，即）确定第一天，即2008年年9月月12日出院日出院病人数。病人数。v（4）经过经过用用Lingo程序程序对对模型模型计计算，得到第算，得到第一天安排哪些人入住。一天安排哪些人入住。v（6）重复（）重复（3）、（）、（4）直到将所有的）直到将所有的门诊门诊病人都安排入院。病人都安排入院。v 在算具体某一天的安排方案在算具体某一天的安排方案时时，我，我们们按照如按照如下流程下流程图进图进行行计计算：算：模型的求解模型的求解模型的求解模型的求
24、解v 我我们们得到的得到的结结果如下表：果如下表：v 表表 计计算得到的每天的病床安排方案算得到的每天的病床安排方案（部分结果）（部分结果）序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间2视网膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-233青光眼2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-214视网膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-225视网膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-2710视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-
25、9-14/2008-9-2511视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2812视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2813青光眼2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2397外伤2008-9-112008-9-122008-9-13/2008-9-17模型的求解模型的求解v4.3.2用用问题问题一的一的评评价指价指标标体系体系对问题对问题二模型二模型进进行行评评价价 v 对问题对问题二模型二模型结结果的果的评评价并与价并与FCFS原原则则的的评评价价结结果果进进行比行比较较。模
26、型的求解模型的求解v 表表2 问题问题二模型二模型结结果的果的评评价并与价并与FCFS原原则则的的评评价价结结果的比果的比较较v 从上表中可以看出，我从上表中可以看出，我们们模型的模型的结结果比果比FCFS原原则结则结果果优优，但不很明，但不很明显显。原因是原来已堆。原因是原来已堆积积了很多的病人，我了很多的病人，我们们是是在在处处理理历历史史遗遗留留问题问题。为为了更明了更明显显的体的体现现我我们们模型的模型的优优越性，越性，我我们们再随机模再随机模拟拟出一段出一段时间时间的的门诊门诊病人，运用模型来病人，运用模型来进进行求行求解，得到解，得到结结果，果，结结果果见见附附录录三。然后再与上表
27、三。然后再与上表进进行行对对比，如比，如下表：下表：人均等待时间住院时间平均每天的入住量FCFS原则结果12.539.376.18问题二模型结果12.189.156.21模型的求解模型的求解v 表表3 问题问题二的三种二的三种结结果果评评价指价指标标比比较较v 从上表可以看出我从上表可以看出我们们的模型使的模型使评评价指价指标标体系体系中的每一指中的每一指标标都比都比FCFS原原则优则优，且随着，且随着时间时间的推的推移，模型的移，模型的优优越性越来越越性越来越显显著。著。人均等待时间 住院时间 T2+T3平均每天的入住量FCFS原则结果12.53 9.37 6.18 问题二模型结果12.18
28、 9.15 6.21 追加安排的结果11.66 8.70 9.60 模型的评价模型的评价v模型的模型的优优点：点：v 模型的模型的实实用性：病床的安排用性：病床的安排问题问题，实际实际上就上就是一个指派是一个指派问题问题。每位。每位门诊门诊病人在某一天无非是病人在某一天无非是住院、不住院两种情况。用住院、不住院两种情况。用0-1规规划比划比较较合适。合适。v 模型的模型的细细致性：在模型中，我致性：在模型中，我们对们对每一天的每一天的优优先分配情况都先分配情况都进进行了考行了考虑虑。v 程序的程序的简约简约性：我性：我们们采用采用Lingo软软件来件来对对模模型型进进行求解，行求解，较较Matlab等其它等其它软软件的程序件的程序简约简约。v 算法的准确性：在算法的准确性：在问题问题三中未来三中未来门诊门诊情况是情况是未知的，我未知的，我们们采用随机模采用随机模拟拟而得出，而得出，这这和和实际实际有有一些偏差。但是我一些偏差。但是我们们采用多模采用多模拟拟97位病人位病人进进行行继继续续迭代求解，然后效果很好。迭代求解，然后效果很好。模型的评价模型的评价v模型的缺点：模型的缺点：v本文的算法是对每一天进行计算，算法虽然简本文的算法是对每一天进行计算，算法虽然简单，但是要算很多次，程序的自动性不是很好。单，但是要算很多次，程序的自动性不是很好。
