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1、*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积 第七章第七章 1一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积、内积点积、内积) ，引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s ,则力F 所做的功为读作点乘 。 2记作故有注：此两式也可以用点积来计算投影的公式注：此两式也可以用点积来计算投影的公式例例求向量求向量在向量方向上的投影 解解故故32. 性质性质为两个非零向量,则有 43. 运算律运算律(1) 交换律(2)
2、结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;5例. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理证证:则如图 . 设64. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式两向量的夹角公式 , 得7例. 已知三点已知三点 AMB . 解解:则求故例. 在xoy面求一向量 ，使得 且 。,其中 ，答案：答案： 8例已知某向量模为2，与轴、轴的夹角相等，与轴的夹角是前者的两倍，求此向量 解 设所求向量为，则其方向角则且有,所以或，即或，从而或又 或9例例设为单位向量，且满足，求解解 将上面的三式相加,得 此题也利用等式点乘 得出结果。10二、两向量的向量积二、两向量的向量积
3、引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力111. 定义定义定义向量方向 :(叉积、外积叉积、外积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称思考思考: 右图三角形面积S右手规则右手规则读作叉乘 。 的几何意义：以、为边的平行四边形的面积 注：注：122. 性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)证明证明:13 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中 i i j j k k ? i j ? j k ? k i ?讨论：讨论：提示：提示： i i j j k
4、 k 0, , i j k, , j k i, , k i j. .144. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则15向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法( 行列式计算见 P339P342 ) 16 例例 设设 a (2, , 1, , 1), , b (1, , 1, , 2), , 计算计算 a b . . 设设 a axi ay j azk, , b bxi by j bzk, , 则则 (aybz azby)i (azbx axbz)j (axby aybx)k. . 解解 2i i 4j j 2k k i 5j 3k. . 注：注：设为非零向量，则 17例. 已知三点已知三点
5、角形 ABC 的面积。 解解: 如图所示,求三18例例已知已知，求一个单位向量，使之既垂直于又垂直于 ，解一解一 根据向量积的定义，满足既垂直于又垂直于 可得： 解二解二 设所求向量为 ，利用题中条件解三个方程组，可得 ，即 19*三、三、向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其202. 混合积的坐标表示设213. 性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)22内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:23混合积混合积:2. 向量关系:24思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .2. 用向量方法证明正弦定理:3 3设设，求向量间的夹角 4. 已知向量的夹角且25思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:26证: 由三角形面积公式由三角形面积公式所以因273 3设设，求向量间的夹角 ：， ：两式相减解得 且, 且解解2841. 已知向量的夹角且解：解：29在顶点为三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：解：三角形 ABC 的面积为 5.而故有30 作业作业 P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 1231
