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1、第第 6 章章 矩阵的矩阵的Kronecker积和积和Hadamard积积The Kronecker Product and Hadamard Product1a教类概述概述： 主要内容：主要内容：介绍介绍Kronecker积和积和Hadamard积积讨论讨论 K-积，积，H-积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系 K-积，积，H-积的矩阵性质积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系应用：应用：求解矩阵方程求解矩阵方程 向量化算子向量化算子重点重点：K-积及其应用积及其应用2a教类 6.1 Kronecker积和积和Ha
2、damard积的定义积的定义定义定义6.1（P. 136） 设矩阵设矩阵 A=aijm n和和 B=bijs t ，则，则A和和B的的 Kronecker被定义为被定义为 AB： AB=aijBms nt 设设A =aijm n和和 B=bijm n为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A和和B的的Hadamard被定义为被定义为 AB： AB= aijbijm n3a教类 6.1 K-积和积和H-积的定义积的定义例题例题1 设设 ，计算，计算 AB，BA，I2B，AB，I2A4a教类例题例题1 设设 ，计算，计算 AB，BA，I2B，AB，I2A分块对角矩阵分块对角矩阵对角矩阵对角矩阵 6.1 K-积
3、和积和H-积的定义积的定义5a教类例题例题2 设分块矩阵设分块矩阵A = (Ast)，则，则 AB = (Ast B)特别地，若特别地，若A = (A1, A2, , An)，则，则 AB = (A1B, A2B, AnB)例题例题3 快速快速Walsh(Hadamard)变换变换 yN = HNxN， 其中其中于是有于是有 6.1 K-积和积和H-积的定义积的定义6a教类例题例题2 设分块矩阵设分块矩阵A = (Ast)，则，则 AB = (Ast B)特别地，若特别地，若A = (A1, A2, , An)，则，则 AB = (A1B, A2B, AnB)例题例题3 快速快速Walsh(H
4、adamard)变换变换 yN = HNxN， 其中其中于是有于是有 6.1 K-积和积和H-积的定义积的定义7a教类K-积，积，H-积的基本结果：积的基本结果： A和和B中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则 AB=0，AB=0 I I=I，II=I 若若A为对角矩阵，则为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，为分块对角矩阵，AB为对角矩阵。为对角矩阵。K-积的基本性质积的基本性质 定理定理6.1（P. 138）设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意义，则(kA) B = A (kB)A (B + C) = A B + A C(A B) C = A (B C)(A B)H = AH BH
5、AB BA8a教类H-积的基本性质：积的基本性质： 设设A，B为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则 AB = BA (kA)B = A(kB) A(B + C) = AB + AC (AB)C = A(BC) (AB)H = AH BHKronecker和和Hadamard的关系：的关系： 定理定理6.3（P. 139） AB 可由可由AB的元素构成。的元素构成。9a教类K-积积与矩阵乘法与矩阵乘法 定理定理6.2（P. 138）设矩阵设矩阵A，B，C，D使得使得下列运算有意义，则有下列运算有意义，则有 (A B) (C D) = (AC) (BD) 意义：意义：建立建立Kronecker积和矩阵乘法
6、的相互转换。积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形：特别情形：设设 A Fm m ，B Fn n，则则 AB = (ImA)(BIn) = (AIm)(InB) = (Im B) (A In) = (A In) (Im B) (AB) k = Ak Bk(A1 B1 C1)(A2 B2 C2) = (A1A2) (B1B2) (C1C2)(A1 B1)(A2 B2)(A3 B3) = (A1A2A3) (B1B2B3)10a教类6.2 Kronecker积和积和Hadamard积的性质积的性质Kronecker积的矩阵性质积的矩阵性质定理定理6.4 （P. 140）设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵
7、使下列运算有意义，则当当A，B分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，A B和和B A均均为可为可逆矩阵，而且有逆矩阵，而且有 (A B)1 = A1 B1当方阵当方阵A Fm m，B Fn n时，方阵时，方阵A B Fmn mn的行列式为的行列式为 |A B| = |B A| = |A|n |B|m若若A，B是是Hermite矩阵，则矩阵，则A B 和和B A均均是是Hermite矩阵矩阵若若A，B是酉矩阵，则是酉矩阵，则A B和和B A均均是酉矩阵。是酉矩阵。11a教类Kronecker与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系定理定理6.5（P. 141）设矩阵设矩阵A，B，为等价矩阵，则为等
8、价矩阵，则(A I)等价于等价于(B I)设方阵设方阵A相似与相似与JA，方阵方阵B相似于相似于JB，则则(A B) 相相似于似于(JA JB) K-积特征值和特征向量积特征值和特征向量定理定理6.6（P . 142）设设A Fm m 的特征值、特征向量的特征值、特征向量分别是分别是 i，xi，B Fn n的特征值、特征向量分别的特征值、特征向量分别是是 j ， yj，则则(A B) 的特征值是的特征值是 i j 。特征向量是。特征向量是(xi yj) 。(A In) +(Im B) 的特征值是的特征值是 i + j ，特征向量是，特征向量是(xi yj) Kronecker和，记为和，记为A
9、 B 12a教类Kronecker与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系推论推论 若若A，B正定（半正定），则正定（半正定），则A B和和A B均正定均正定（半正定）；（半正定）； 若若A相似于相似于JA，B相似于相似于JB，则则 A B 相似于相似于 JA JB，A B 相似于相似于 JA JB。更一般的结果：更一般的结果：定理定理6.7（P. 142） 的特征值为的特征值为13a教类Kronecker积的矩阵函数性质积的矩阵函数性质定理定理6.8（P. 143）设是设是f(z)解析函数，解析函数，f(A)有意义，则有意义，则 f(I A) = I f(A) f(A I) = f(A) I
10、特例：特例： 定理的证明思路：利用定理定理的证明思路：利用定理5.12，矩阵函数可由多，矩阵函数可由多项式表示。也可以直接用极限性质证明。项式表示。也可以直接用极限性质证明。SN(I A) = I SN(A)SN(A I) = SN(A) I14a教类例题例题1 设设 A Fm n，B Fs t ，证明证明 rank (A B) = rank (A) rank (B)例题例题2（P . 144） ，设设 ， 求求(A B)的特征值和特征向量的特征值和特征向量 求求(A I) +(I B)的特征值和特征向量的特征值和特征向量 例题例题3：证明对任何方阵证明对任何方阵A, B, 有有15a教类Ha
11、damard积的性质积的性质定理定理6.9（Schur积定理）积定理）设设A、B为同同阶方方阵。若。若A和和B半正定（正定），则半正定（正定），则AB亦半亦半正定（正定）。正定（正定）。证明思路：利用定理证明思路：利用定理3.6，有，有推出推出 AB可表示为可表示为16a教类6. 3 矩阵的向量化算子和矩阵的向量化算子和K-积积向量化算子向量化算子Vec: Fmn Fmn定义定义（P . 143）设设 A = aijm n , 则则 Vec(A) = (a11 a21 am1； a12 a22 am2 ； a1n a2n amn)T 性质：性质：（P. 146）Vec是线性算子，并保持线性关系
12、不变：是线性算子，并保持线性关系不变： Vec (k1A+k2B) = k1Vec (A) + k2Vec (B) 2. 定理定理6. 10（P. 146）Vec(ABC) = (CT A)VecB 3. Vec(AX) = (I A)VecX4. Vec(XC) = (CT I)VecX令令 B = X, C = I令令 B = X, A = I17a教类用向量化算子求解矩阵方程用向量化算子求解矩阵方程思想思想：用：用Vec算子，结合算子，结合Kronecker积将矩阵方积将矩阵方程化为线性方程组求解。程化为线性方程组求解。 1、A Fm m，B Fn n，D Fm n，AX+XB = D分
13、析：分析： AX + XB = D (I A + BT I)VecX = VecDG = (I A + BT I)，方程有惟一解的充要条件是方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即为可逆矩阵，即A和和-B没有共同的特征值。没有共同的特征值。例题例题1 （P. 147）18a教类用向量化算子求解矩阵方程用向量化算子求解矩阵方程2、A，X Fn n，AX XA = kX分析：分析： AX XA = kX (I AAT I)VecX = kVecX H = (I A AT I)，方程方程 (kI H)y = 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是k为为H的特征值，的特征值，k = i j。例题
14、例题2 求解矩阵方程求解矩阵方程 AX XA = 2X 19a教类用向量化算子求解矩阵方程用向量化算子求解矩阵方程3 A，B，D，X Fn n ，AXB = D分析：分析：AXB = D (BT A)VecX = VecD L = BT A ，方程有惟一解的充要条件是方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵为可逆矩阵.例题例题3 求解方程求解方程 A1XB1+ A2XB2 = D20a教类例题例题4 设设A Cm m，B Cn n，D Fm n，证证明谱半径明谱半径 (A) (B) 1 时方程：时方程： X = AXB + D 的解为的解为证证21a教类用向量化算子求解矩阵微分方程用向量化算子求解
15、矩阵微分方程4A，B，X Fn n ， X(t) = AX(t) +X(t)B, X(t0) = C VecX(t) = (I A+BT I)VecX(t), VecX(t0) = VecC。22a教类交换矩阵交换矩阵Kmn及其性质及其性质定理定理6.11 (1) (2) (3) 定理定理6.12 设设 则则 定理定理6.13 设设 则则 23a教类复习选讲：复习选讲：线性空间的表示线性空间的表示线性变换与变换矩阵线性变换与变换矩阵线性变换的确定方法线性变换的确定方法相应变换矩阵的求法相应变换矩阵的求法矩阵分解与空间分解矩阵分解与空间分解准对角矩阵分解与不变子空间的分解准对角矩阵分解与不变子空
16、间的分解可对角化矩阵的分解与特征子空间的分解可对角化矩阵的分解与特征子空间的分解幂等矩阵的空间分解幂等矩阵的空间分解JA，mA( ) ，f( ) =| I-A | 之间的关系之间的关系A与与f(A)在在Jordan标准形上的关系标准形上的关系f(A)的矩阵性质的矩阵性质24a教类复习选讲复习选讲正规矩阵的性质与应用正规矩阵的性质与应用向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数 向量的向量的p范数范数 矩阵的矩阵的F范数和范数和p范数范数矩阵幂级数和矩阵函数矩阵幂级数和矩阵函数 矩阵幂级数的收敛与矩阵函数的意义矩阵幂级数的收敛与矩阵函数的意义 矩阵幂级数的求和与矩阵函数的计算矩阵幂级数的求和与矩阵函数的计算 矩阵函数与矩阵多项式矩阵函数与矩阵多项式25a教类习题选讲习题选讲P150：9P31: 1(3), 17,P58：6, 11，20P92：11，12 ，15，26a教类
