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1、第二章 个别保单的理赔额与理赔次数模型第一节第一节 理赔额的分布理赔额的分布一、常用名词? 投保人（insurer）? 承保人, 保险公司（insurance）? 损失事件,理赔（loss event or claim） 注意：事故不等于损失事件? 损失额（loss）? 理赔事件（payment event）? 赔付额，理赔额（amount paid） 注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失额保险公司的理赔过程保险公司的理赔过程（1）发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡；）发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡；（2）被保险人提出索赔，保险公司根据保险事故的实际）被保险人提出索赔，保险公
2、司根据保险事故的实际发生情况进行理赔。但并不是所有的保险事故都必然引起发生情况进行理赔。但并不是所有的保险事故都必然引起索赔，而且保险公司的理赔额也并不总是等于实际的损失索赔，而且保险公司的理赔额也并不总是等于实际的损失额。额。? 记号：记号： X表示投保人实际损失额（表示投保人实际损失额（ground-up loss ）。）。 I(X) 表示投保人每次损失事件中获得的实际索表示投保人每次损失事件中获得的实际索赔额赔额(amount paid per loss) 。 YP表示保险人每次理赔事件的赔付额表示保险人每次理赔事件的赔付额 (amountpaidperpayment )，简称理赔额，简
3、称理赔额;二、常见的部分赔偿形式2.1.1保单限额（保单限额（Policylimit）含义：每次保险事故中按保险单所约定的最高赔含义：每次保险事故中按保险单所约定的最高赔偿金额。偿金额。若规定保单限额为若规定保单限额为 L数学形式：数学形式：P,?1, y? LFP(y) ? P(Y ? y)YFYP(y) ? P(X ? y) ? FX(y), y ? L?XY ?LPX ? LX ? L?fX(y)fYP(y) ?P(X ? L)y ? Ly ? L有限期望函数E(X ? d) ?xf(x)dx? d(1? F(d)?d? 性质lim E(X ? d) ? E(X)1.d?2.对于非负随机
4、变量X, E(X ? d) ?xf(x)dx? d(1? F(d)0d3、对非负随机变量X,E(X ? d) ?(1? F(x)dx0d证明：E(X ? d) ?xf(x)dx?d(1?F(d)0d ? ?x(1? F(x)| ?(1?F(y)dy?d(1?F(d)0d0d ?(1? F(x)dx0d4、E(X ? L)? E(X ? d) ?(1?F(x)dxdL例例1 1：设某险种的损失额X具有密度函数324f (x) ?,x05(3? x)假定最高理赔额为 L=4万元, 求理赔额的期望是多少?解解：设理赔额为Y，则?XY ?LX ? LX ? L? Y ? X ? L由F(x) ?0x3
5、2432481?4xdy? ?(3? y)|0?1?54(3? y)4(3? x)知E(X ? L) ?L027(1? F(x)dx?1?3(3? L)27E(Y) ? E(X ? 4)?1? 0.92123(3?4)2.1.2 、免赔额（、免赔额（deductible ）?含义：当损失额低于某一限额时不做赔偿，含义：当损失额低于某一限额时不做赔偿，这一限额称为免赔额（或自付额），当损这一限额称为免赔额（或自付额），当损失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。如失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。如果同时规定了最高保单限额果同时规定了最高保单限额 L和免赔额和免赔额d，则投保人实际能得到的最高赔偿金额
6、为则投保人实际能得到的最高赔偿金额为 L-d.X为一次保险事故造成的实际损失，假设保单规定免赔额为d，每次损失事件中被保险人获得的实际赔付额为：Id(X),则X?d?0Id (X)?X?dX ?d投保人自留的风险为：?X X?dX?Id(X)?(X?d)?d X?d? 当索赔额Xd时，被保险人不会提出索赔要求，保险人无需进行理赔，理赔额也就不存在。只有当Xd时，才进行理赔，理赔额为X-d。Yp? IX ? d ?未定义Xd?X ?dX? d? dYp的分布是在Xd的条件下， Xd的条件分布。记Yp的分布函数记为FYp(y)， 当y0时为，FYp(y) ? P(Y ? y) ? P(X ?d ?
7、 y|X ? d)p?P(X ?d ? y,X ? d)P(X ? d)?FX(y?d)?FX(d)1? FX(d)当y0时，FYP(0) ? 0Yp的分布密度函数可以写为?fX(y?d)fy) ?d?,y ? 0YP(dyFYP(y) ?1? F?X(d)?0,y ? 0例例1：已知某风险标的的原始损失额如下：XP(X ? x)012340.40.20.20.150.5假设免赔额为1，求每次理赔事件的赔付额Y和每次损失事件的赔付额的分布。XP(X ? x)00.410.220.230.1540.05I1YP0011220.375330.125PP(Y? y)000.5注意：如果同时规定最高保
8、单限额为L，免赔额为d，则投保人所能得到的最高赔偿金额为 Ld。则每次损失事件的实际赔付额 I(X)可表示为：X ? d?0,?I(X) ?X ?d,d ? X ? L?L?d,X ? L?每次理赔事件的理赔额表示为：X ? d?未定义,?PY ?X ?d,d ? X ? L?L ?d,X ? L?的分布容易计算，FPYP(y) ? P(Y ? y) ? P(X ?d ? y X?FX(d ? y)?FX(d)?P(X ? d), 0yL-d ?1,y? L-d 密度函数为?fX(d ? y),f(y) ?1? fX(d) 0yd时，保险人对损失事件进行全额P：赔付，理赔额为Y?未定义,X ?
9、 dPY ?L,X ? L分布为?0, 0? y ? d?FYP(y) ?FX(y)?FX(d) ,yd ?1? F (d)?XfX(y)fYP(y) ?, yd1? FX(d)2.1.4、比例分担含义：在保险单中约定一个比例常数，当损失事故中的实际损失额为X时，保险公司只赔付 aX，例如，a0.8PY?Y ?aXfY(y) ?1afX()ya当免赔额、保单限额和比例分担三者同时存在时X ? d?0,?I(X) ?a(X ?d),d ? X ? L?a(L?d),X ? L?未定义,p?a(X ?d),?a(L?d),X ? dd ? X ? LX ? LY例例: 设某医疗保险单上规定了免赔额
10、为 100, 保单限额为5,000， 有三个投保人看病花费分别为50, 4000, 和5500,问他们获得的赔付额各是多少?解解：设Xi表示第i个投保人的损失额 , Yi表示他所获得的赔付, 则0,Xi?100?Yi?Xi?100, 100? Xi? 5000?5000?100,X ? 5000i?所以，由X1=50, X2=4000, X3=5500, 得Y1=0,Y2=4000-100=3900, Y3=5000-100=4900例例3：假设某险种的保单规定免赔额为 100元，保单限额为1,000 元。假设损失服从Weibull分布，F(x) ?1?e?x?,x?0,?0,?0求理赔额Y的
11、分布。解解：设X表示实际损失额，Y表示理赔额，则X ?100?未定义,?Y ?X ?100, 100? X ?1000?900,X ?1000?Y的分布函数和分布密度分别为?0,y? 0?FX(y?100)? FX(100)FY(y) ?,0? y? 9001?FX(100)?y? 900?1,?fX(y?100)?1? F (100), 0? y ?900X? 1? FX(1000)fY(y) ?, y ?900 ?1? FX(100)?0, y ? 900?当y900时，1?FX(1000)exp?(1000 ?) fY(900)?1?FX(100)exp?(100?) ?0? y ? 9
12、00fX(y?100)? ?(y?100)exp?(x?100) fY(y) ?1?FX(100)exp?(100?) ?1?2.1.5 通货膨胀效应1、通货膨胀率已知为r?对损失额的影响设X表示过去时期内损失额 , Z表示现在或未来时期内的损失额, 则两者的关系为Z=(1+r)X。容易计算得到zFZ(z) ? FX()(1?r)1zf Z(z) ? fX()(1?r)(1?r)E(Z) ? (1?r)E(X), var(Z) ? (1?r) var(X)2? 对理赔额的影响：定理：定理：设X表示实际损失额 , 免赔额为d, 最高保单限额为L和比例分担额a, 通货膨胀率为r, 则明年每次损失赔
13、付额为0,X ? d/(1?r)?I(Z) ?a(1?r)X ?d),d/(1?r) ? X ? L/(1?r)?a(L?d),X ? L/(1?r)?每次理赔的理赔额为未定义X ? d /(1?r)?pZ?a(1?r)X ?d),d /(1?r) ? X ? u/(1?r)?a(u?d),X ? u/(1?r)?E(I(Z) ? a(1?r)EX ? (L/(1?r)- EX ? (d /(1?r)a(1?r)EX ? (L/(1?r)- EX ? (d/(1?r)E(Z ) ?d1? FX()1?rp例例:假设某险种在 2003年的实际损失额服从离散P(X ?1000k) ?1/6,k ?
14、1,L ,6。保单上规定每分布，次损失 的免赔 额为 1500元。假 设从 2003年到2004年的通货膨胀额为 5，2004年的免赔额保持不变，求 2004年的每次损失赔付额的期望是多少。比今年相比，增长率是多少？解解121000E(X) ?(1?2?3?4?5?6)?1000?6615?15008500E(X ?1500)?1000?666150015?15008550E(X ?) ?1000?1.0566?1.056?1.05今年每次损失的索赔额为E(Y ) ? E(X)?E(X ?1500)? (21000?8500)/6?12500/6P明年每次损失的索赔额为P增长率为81500E(
15、Y1) ?1.05?E(X)? E(X ?) ?13500/61.052、 通货膨胀率是随机的考虑模型Y=CX, 随机变量C和X是独立的, C1，C表示随机通货膨胀, 一般是主观预测得来，设其分布函数为FC(c), 密度为fC(c)。若X的分布函数为F (x,?) ? F (x,c?)cXX满足，则F(x,?)FY(y) ?P(cX ? y|C ? c) fC(c)dc0?FX(y,c?) fC(c)dc0fY(y) ?fX(y,c?) fC(c)dc0?容易计算出，明年的损失额的期望和方差为E(Y) ? E(CX) ? E(C)E(X)Var(Y) ?Var(X)E(C )? E(X) Va
16、r(C)这是因为Var(Y) ? E(C X )? E(C) E(X)22222222 ? E(C2)E(X2)? E(C2)E(X)2? E(C2)E(X)2? E(C)2E(X)2 ? E(C )Var(X)? E(X) Var(C)例：例： 预测明年的通货膨胀率在 2%到6%之间，而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失X服x?1从均值为10的指数分布，f (x) ?e10，求明年损失额的期望。X10解解：不妨考虑这样一个密度函数1fC(c) ?,1.02? c?1.06ac其中a?1.061.0211.06dc? ln() ? 0.038466c1.02这个密度函数满足低通货膨胀率的可能性
17、更大这个条件。经计算得到 C的期望和方差为1 11.06?1.02E(C) ?c? ? dc?1.03991.02a ca221.061.06 ?1.02221 1E(C ) ?c ? ? dc?1.08151.02a c2a1.06于是由公式计算得到E(Y) ? E(C)E(X) ?1.0399(10)?10.399var(Y) ? var(X)E(C )?(EX) var(C) ? (1.0815)(102) ?(10)2(0.00013) ?108.1622第二节 理赔次数的分布? 2.2.1（a,b,0）分布族? 定义2.2 设随机变量N的分布列pk满足：1.pk? 0且p0? 0,?
18、pk?1i?0?pkb2.? a?,k ?1,2,3,Lpk?1k则称分布pk，k=1,2,L 属于（a,b,0）分布族。分布泊松分布二项分布几何分布pn?ne?n!Cnpnqm?nm?n(1?)n?1n?nn?r?1(1?)n?ra0?p1? p?1?1?b?(m?1)p1? p0(r ?1)?1?p0e?(1? p)m11?11?)r负二项分布C(? 2.2.2 （a,b,1 ）分布族? 在保险实践中，有时(a,b,0) 分布不能充分反映经验数据的特征，特别是在0点的特征。理赔事件在0点的概率表示保单在观察期内没有发生索赔的概率，由于保险事故发生的比率一般都很低，所以理赔次数在0点的概率很
19、大。但有时也可能出现在0点的概率低于预期或为0的情况。为了更准确的拟合零点的概率值，要对(a,b,0) 分布在0点的值做调整。定义2.3 设随机变量N的分布列满足：pkb? a?,k ? 2,3,Lpk?1k1.p0? 0时，此类分布称为零点截断分布，记为 ZT-(a,b,0),T概率分布函数用 pk表示。这类分布包括零点截断泊松分布、零点截断负二项分布、零点截断几何分布、零点截断二项分布。2.p0? 0时，此类分布称为零点调整分布，记为 ZM-(a,b,0),概率分布函数用 p 表示。这类分布包括零点调整泊松分布、零点调整负二项分布、零点调整几何分布、零点调整二项分布。Mk(a,b,1)分布
20、族与(a,b,0)分布族的本质区别就是分布在0点的取值p0，这个值使得(a,b,1)分布族包含三个参数a,b, p0,而(a,b,0)只包含两个参数a,和b。若给定参数a,b的值，由于(a,b,1)与(a,b,0)在从k ?1到k ? ?的概率值之间存在一致的递推关系，因此它们的概率值之间存在倍数关系。据此可以推导出零点截断ZT-(a,b,0)、零点调整ZM -(a,b,0)与(a,b,0)之间的关系式。1.ZM -(a,b,0)分布与(a,b,0)分布的关系(分布及母函数)1? pp =cpk?pk,k ?1,2,3,L1? p0MkM01? p1? pP (z) ? E(z ) ? (1?
21、)?P(z)1? p01? p0MNM0M0其中pk、P(t)、p 、P (t)分别为(a,b,0)与ZM -(a,b,0)的概率分布和概率母函数。MkM2.ZT-(a,b,0)分布与(a,b,0)分布的关系(分布及母函数)1Tpk=cpk?pk,k ?1,2,3,L1? p01P (z) ? E(z ) ?(P(z)? p0)1? p0TN其中pk、P(t)、p 、P (t)分别为(a,b,0)与ZT -(a,b,0)的概率分布和概率母函数。3.ZT -(a,b,0)与ZM -(a,b,0)之间的关系式。p =（ 1? p ）p ，k ?1,2,3,LMMTPM(z) ? E(zN) ? p
22、0?1? p0P (z)MkM0TkTkT? 2.2.3理赔次数分布的混合模型? 设每张保单的理赔次数的分布属于同一类型，但参数不同，参数可以分为离散和连续两类。当参数?为离散型随机变量时，利用全概率公式，N的分布为：P(N ? k) ?P(N ? k ? =?i)P(? =?i)i?1?当参数?为连续型随机变量时，概率密度为u(?),利用全概率公式，N的分布为：P(N ? k) ?P(N ? k ? =?)u(?)d?0?母函数分别为：PN(z) ? E(z ) ?E(z? =?i)P(? =?i)NNi?1?PN(z) ? E(z ) ?E(z? =?)u(?)d?0N?N均值分别为：E(
23、N) ? E(E(N ? ) ?E(N ? =?i)P(? =?i)i?1?E(N) ? E(E(N ? ) ?E(N ? =?)u(?)d?0?方差为：Var(N) ? EVar(N ? )?VarE(N ? )若N : P(? ),其中?为随机变量，称 N的分布为混合泊松分布，当?为离散型随机变量时， N的分布为：P(N ? k) ?P(N ? k ? =?i)P(? =?i)=?aii?1i?1?n?ikk!e,?ik ? 0,1,2,L ,ai? P(?=?i)母函数为：PN(z) ? E(z ) ?E(z? =?i)P(? =?i)=?eNNi?1i?1?n(?i(z?1)u(?i)
24、均值为：E(N) ? E(E(N ?)=E(? )方差为：Var(N) ? EVar(N ?) ?VarE(N ? ) ? E(?)?Var(?)当?为连续型随机变量时， N的分布为：P(N ? k) ?P(N ? k ? =?)u(?)d?=?0?kk!0e?u(?)d?,k ? 0,1,2,L ,?nkz?i?1N的母函数为：PN(z) ? E(zN) ? E(E(zN? ) ?=?(e(z?1)?u(?)d? P?(e(z?1)0?kk!0e?u(?)d?在精算模型中，最常用来描述理赔次数的连续结构有伽玛结构和逆高斯结构。1.伽玛结构定理2.3 设保单组合中每张保单的理赔次数 N : P
25、(?),其中?为?aa ?1 ?随机变量，若?服从伽玛分布，即 ? : f?(?) ?e,则N : NB(a,)?(a)1?2.逆高斯结构当理赔次数的经验直方图的尾部较厚时，伽玛分布作为结构函数不是特别理想。逆高斯分布是一个比较理想的选择，即 :? : f?(?) ? r(2?)er1(1?2?)2?11?32(?r)2?2?,r ? 0,? 0则保单组合中任意一份保单损失次数分布为泊松 -逆高斯分布，即：p0? e?k?m?rkk?1(k ?m?1)!?m, pk? p0?() ?(1?2?)2,k ?1,2,3,Lk!m?0(k ?1)!m!2r均值为：E(N) ? r;方差为：Var(N
26、) ? r(1?)22(?-?)偏度为：?=?33?2-2?+3? 2.2.4 免赔额对理赔次数的分布的影响设X表示损失，N 表示损失次数，d表示免赔额，v ? P(X ? d),N 表示理赔次数。?1 ，第i个保单理赔发生令Ii?0，第i个保单理赔没有发生则P(I ?1)? v，P(I ? 0)?1?v,N?IiPi?1NLPLIi的母函数PI(z) ?1?v(z?1),N 的母函数PNP(z) ? PNL(PI(z) ? PNL(1?v(z?1)P命题2.1 假设N 的母函数为PN(z；?)=B(?(z?1),其中B(? )是与参数?无关的函数，则N 和N 的分布类型没有变化。证明：PNP
27、(z)=PNL(1?v(z?1)=B(?(1?v(z?1)?1)=B(v?(z?1)? PNL(z;v?)可以证明，所有的(a,b,0)分布都保持原来的类型。对于(a,b,1)分布，也有类似的结果。命题2.2 假设N 的母函数具有如下形式：B?(z?1)?B(?)PNL(z) ? P(z；?,a)=a+(1-a)1?B(?)式中a=PNL(0)=P(N =0)。则和N 的母函数为：PNP(z)=PNL(z;v?,a)，其中a=PNP(0)=P(N =0)=PNL(1?v;?,a)*P*LPLLPL运用此类方法可以分析当免赔额发生变化时，理赔次数发生的变化。设原来的免赔额为d,现在免赔额调整为d*,分析调整后的理赔次数发生了什么变化。以N 表示免赔额为d的理赔次数，N 表示免赔额为d*的理赔次数,v表示在免赔额提高后，以前索赔事件能1? FX(d*)够获得的赔偿比例，则v=1? FX(d)?1 ，第i个保单理赔发生令Ii?0，第i个保单理赔没有发生则Nd*dd*?Ii,d* ? d时，v?1,当N 的分布类型与N 相同。d*di?1Nd只是参数发生变化。
