《2023年圆锥曲线题型全面汇总归纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年圆锥曲线题型全面汇总归纳（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。1212,y22xxyyx, x y1122(,)(,)A x yB xy，2、弦长公式：若点在直线上，1122(,)(,)A x yB xy，(0)ykxb k则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，1122ykxbykxb，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)()4kxxx x或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk。2121221(1)()4yyy yk3、两条直线垂直：则111
2、222:,:lyk xb lyk xb121k k 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v r rg4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。20(0)axbxca 12,x x1212,bcxxx xaa 常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围:1l ykx22:14xyCmm解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆过动点，如果直线:1l ykx22:14xyCm0),4mm（，且和椭圆始终有交点，则，即。:1l ykx22:14xyCm14mm，且14mm且规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直
3、线的特点：:101l ykx 过定点（，）:(1)1l yk x 过定点（， 0）:2(1)1l yk x 过定点（， 2）题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线与曲线 N ：交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点E(,0) ，使得是等边三角形，若存l2yx0xABE在，求出；若不存在，请说明理由。0x解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。设直线，。:(1)l yk x0k 11(,)A x y22(,)B xy由消 y 整理，得2(1)yk xyx 2222(21)0k xkxk由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk 即 2104k由韦
4、达定理，得：。212221,kxxk 121x x 则线段 AB 的中点为。22211(,)22kkk线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk 令 y=0, 得，则021122xk211(,0)22Ek为正三角形，ABEQ到直线 AB 的距离 d 为。211(,0)22Ek32AB221212()()ABxxyyQ222141kkkg212kdk22223 141122kkkkkg解得满足式3913k 此时。053x 题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆 C：的离心率为，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。22221(0)xyabab 32（I）
5、求椭圆的方程；（II）若直线与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线:(2)l xt tlMN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆 C 的离心率，,则得。32cea 2a 3,1cb从而椭圆的方程为2214xy（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消 y 整理得11(,)M x y22(,)N xy1AM1k1AM1(2)yk x122(2)44yk xxy222121(14)161640kxk xk 是方程的两个根，12xQ和21121164214kxk则，211212814kxk1121
6、414kyk即点M 的坐标为，2112211284(,)1414kkkk同理，设直线 A2N 的斜率为k2，则得点N 的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyk tyk tQ，12122kkkkt 直线 MN 的方程为：，Q121121yyyyxxxx令 y=0，得，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：211212x yx yxyy4xt又，2t Q402t 椭圆的焦点为Q( 3,0)，即43t4 33t 故当时，MN 过椭圆的焦点。4 33t 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A是椭圆的右顶点，直
7、线 BC 过椭圆的中22221xyab(0)ab (2 3,0)心 O，且，如图。0AC BC uuu r uuu rg2BCACuuu ruuu r(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线对称，求直线 PQ 的斜率。3x 解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCACuuu ruuu rQOCACuuu ruuu r0AC BC uuu r uuu rQg2ACO又A (2 3,0)Q点 C 的坐标为。( 3, 3)A是椭圆的右顶点，Q(2 3,0)，则椭圆方程为：2 3a 222112xyb将点C代入方程，
8、得，( 3, 3)24b 椭圆E 的方程为221124xy(II) 直线PC 与直线QC 关于直线对称，Q3x 设直线PC 的斜率为，则直线QC 的斜率为，从而直线PC 的方程为：kk，即3(3)yk x，3(1)ykxk由消 y，整理得：223(1)3120ykxkxy是方程的一个根，222(13)6 3 (1)91830kxkk xkk 3x Q22918331 3Pkkxkg即2291833(13)Pkkxk同理可得：2291833(13)Qkkxk3(1)3(1)PQPQyykxkkxk Q()2 3PQk xxk2123(13)kk2222918391833(13)3(13)PQkk
9、kkxxkk2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线 PQ 的斜率为定值。13题型五：共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M：于 P、Q 两点，且,求实数的取值范围。22194xyDPDQl=uuu ruuu rl解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),QDPDQl=uuu ruuu r(x1,y1-3)= (x2,y2-3)l即12123(3)xxyyll = =+-方法一：方程组消元法又P、Q 是椭圆+=1 上的点Q29x24y22222222194()(33 )194xyxylll+=+-+=消去 x2，可得222222(33 )14yyllll+-=-
10、即 y2=1356ll-又2y22，Q221356ll-解之得：155 则实数的取值范围是。l1,55方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，3,0ykxk由消 y 整理后，得2234936ykxxy22(49)54450kxkxP、Q 是曲线 M 上的两点Q22(54 )4 45(49)kk 2144800k 即 295k 由韦达定理得：1212225445,4949kxxx xkk 212121221()2xxxxx xxxQ222254(1)45(49)kk即 22223694415(1)99kkk 由得，代入，整理得211095k，236915(1)5解之得155 当
11、直线 PQ 的斜率不存在，即时，易知或。0x 515总之实数的取值范围是。l1,55题型六：面积问题例题6、已知椭圆 C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为 。12222byax,363（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆C 交于A、B 两点，坐标原点 O 到直线l 的距离为，求 AOB面积的最大值。23解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意c633caa，所求椭圆方程为。1b 2213xy（）设，。11()A xy，22()B xy，（1）当轴时，。ABx3AB （2）当与轴不垂直时，ABx设直线的方程为。ABykxm由已知，得。2321mk223(1)4mk把代入椭圆方
12、程，整理得，ykxm222(31)6330kxkmxm ，。122631kmxxk21223(1)31mx xk22221(1)()ABkxx 22222223612(1)(1)(31)31k mmkkk 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk 。2422212121233(0)3419612 3696kkkkkk 当且仅当，即时等号成立。当时，2219kk33k 0k 3AB 综上所述。max2AB当最大时，面积取最大值。ABAOBmax133222SAB 题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线
13、与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。（）依题意，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x1,y1）,B（x2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得消.22pkxypyx去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是21221xxpSSSACNBCNABN21221214)(xxxx
14、pxxp. 228422222kppkpp.222min0pSkABN与与与与与（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为径的圆相交于点 P、Q，PQ 的中点为 H，则与与与ACtO , 与与与与与与与2,2,11pyxOPQHO2121)(2121pyxACPOQ.22121py ,221211pyapyaHO222HOPOPH=21221)2(41)(41pyapy),()2(1apaypa22)2( PHPQ=.)()2(42apaypa令，得为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为，02papPQpa与与,22py 即抛物线的通径所在的直线.解法 2：（）前
15、同解法 1，再由弦长公式得22222122122128414)(11pkpkxxxxkxxkAB. 21222kkp又由点到直线的距离公式得.212kpd从而，,2212212212122222kpkpkkpABdSABN.22max02pSkABN与与与与与（）假设满足条件的直线 t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为将直线方程 y=a 代入得, 0)()(0(11yypyxxx).(1)2(4)( 4, 0)(121112apaypayapaxyapaxxx与与设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有. )()2(2)()2(
16、41143apaypaapaypaxxPQ令为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为.pPQpapa与与与,2, 022py 即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8、 （如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN（）求点P的轨迹方程；（）若, 求点P的坐标.21 cosPMPNMPN解：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M 、N为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，225ac 所以椭圆的方程为221.95xy ()由得2,1 cosPMPNMPNg cos2.PMPNMPNPMPNgg 因为不
17、为椭圆长轴顶点，故P、M 、N构成三角形. 在PMN中，cos1,MPNP4,MN 由余弦定理有 2222cos.MNPMPNPMPNMPNg 将代入，得 22242(2).PMPNPMPNg 故点P在以M 、N为焦点，实轴长为的双曲线上.2 32213xy 由()知，点P的坐标又满足，所以22195xy 由方程组 解得22225945,33.xyxy3 3,25.2xy 即P点坐标为3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（-，）或（，-）.问题九：四点共线问题例题 9、设椭圆过点，且着焦点为2222:1(0)xyCabab ( 2,1)M1(2,0)F （）求椭圆
18、的方程；C（）当过点的动直线 与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点(4,1)PlC,A BABQAP QBAQ PBuuu r uuu ruuu r uuu rgg总在某定直线上Q解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 2222222211cabcab 224,2ab22142xy(2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为。1122( , ),(,),(,)x yx yxy由题设知均不为零，记,则且,APPBAQ QBuuu ruuu ruuu ruuu rAPAQPBQBuuu ruuu ruuu ruuu r01又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB
19、uuu ruuu r uuu ruuu r于是 ， 1241xx1211yy ， 121xxx121yyy从而 ，（1） ，（2）22212241xxxL L2221221yyyL L又点 A、B 在椭圆 C 上，即 221124,(3)xy L L222224,(4)xy L L （1）+（2）2 并结合（3） ， （4）得424sy即点总在定直线上( , )Q x y220xy 方法二设点，由题设，均不为零。1122( , ),(,),(,)Q x yA x yB xy,PAPBAQ QBuuu ruuu ruuu ruuu r且 PAPBAQQBuuu ruuu ruuu ruuu r又
20、 四点共线，可设,于是, ,P A Q B,(0, 1)PAAQ PBBQ uuu ruuu r uuu ruuu r （1）1141,11xyxy （2）2241,11xyxy由于在椭圆 C 上，将（1） ， （2）分别代入 C 的方程整理得1122(,),(,)A x yB xy2224,xy （3）222(24)4(22)140xyxy (4)222(24)4(22)140xyxy (4)(3) 得 8(22)0xy 0,220xy 即点总在定直线上( , )Q x y220xy 问题十：范 围问题（本 质是函数问题）设、分别是椭圆的左、右焦点。1F2F1422yx（）若是该椭圆上的一个
21、动点，求的最大值和最小值；P1PF2PF（）设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点） ，求直线 的斜率的取值) 2 , 0(MlABAOBOlk范围。解：（）解法一：易知2,1,3abc所以，设，则 123,0 ,3,0FF ,P x y22123,3,3PFPFxyxyxy uuu r uuu u r2221133844xxx 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 2,2x0x P12PFPFuuu r uuu u r2当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值2x P12PFPFuuu r uuu u r1解法二：易知，所以，设，则2,1,3abc 123,0 ,3
22、,0FF ,P x y22212121212121212cos2PFPFF FPFPFPFPFF PFPFPFPFPFuuu ruuu u ruuuu ruuu r uuu u ruuu ruuu u ruuu ruuu u ruuu ruuu u r（以下同解法一） 2222221331232xyxyxy （）显然直线不满足题设条件，可设直线，0x 1222:2,l ykxA x yB xy联立，消去，整理得：22214ykxxyy2214304kxkx 12122243,1144kxxxxkk 由得：或2214434304kkk 32k 32k 又000090cos000A BA BOA
23、OB uuu r uuu r12120OA OBx xy yuuu r uuu r又 2121212122224y ykxkxk x xk xx22223841144kkkk22114kk ，即 2223101144kkk 24k 22k 故由、得或322k 322k 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角） ，四边形（矩形、菱形、正方形） ，圆）设椭圆 E: 22221xyab（a,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
24、E 恒有两个交点 A,B,且OAOBuuu ruuu r？若存在，写出该圆的方程，并求| AB | 的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆 E: 22221xyab（a,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab 椭圆 E 的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOBuuu ruuu r,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm , w.w.w.k.s.5.u.c
25、.o.m 则=222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm ,即22840km 12221224122812kmxxkmx xk ,22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要使OAOBuuu ruuu r,需使12120x xy y,即2222228801212mmkkk,所以223880mk ,所以223808mk又22840km ,所以22238mm,所以283m ,即2 63m 或2 63m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,22222
26、8381318mmrmk,2 63r ,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足2 63m 或2 63m ,而当切线的斜率不存在时切线为2 63x 与椭圆22184xy的两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33满足OAOBuuu ruuu r,综上, 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点A,B,且OAOBuuu ruuu r.因为12221224122812kmxxkmx xk ,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxx xkkk ,2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk422424232 45132134413441kkkkkkk, 当0k 时22321|11344ABkk因为221448kk 所以221101844kk,所以223232111213344kk,所以46| 2 33AB当且仅当22k 时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当0k 时,4 6|3AB .当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33,所以此时4 6|3AB ,综上, | AB | 的取值范围为46| 2 33AB即: 4| 6,2 33AB
