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1、 一、基本初等函数导数公式一、基本初等函数导数公式第一节 求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1.1.的的和和、 差、差、 积积、 商 (除分母为为 0 0的点外的点外) ) 都在点都在点 可导可导, , 且且例：例：三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, , 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )例例例例2 2复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形例如例如, ,关键关键: : 搞清复合函数结
2、构搞清复合函数结构, , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导. .理论推广例3设求求解解: :练习：求下列函数的导数练习：求下列函数的导数第二节第二节 定积分定积分一、定积分的定义积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即性质性质1 常数因子可提到积分号外常数因子可提到积分号外性质性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。函数代数和的积分等于它们积分的代数和。二、定积分的简单性质二、定积分的简单性质性质性质3 若在区间若在区间 a , b 上上 f (x)k，则，则性质性质4 定积分的区间可加性定积分的区间可加
3、性 若若 c 是是 a , b 内的任一点，则内的任一点，则当当 a , b , c 的相对位置任意时的相对位置任意时, 例如例如则有则积分上限函数定理定理1. 若三、 牛顿 莱布尼兹公式定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 记作记作定理定理2.函数 , 则例1、 计算计算解解: 例例 2、设 求解解例例3其中解解:四、 定积分的换元法和 分部积分法定理定理 （定积分的换元公式）（定积分的换元公式） 设函数设函数 f (x)在在区间区间 a , b 上上连续；函数连续；函数 在在 上单值且有连续导数；当
4、上单值且有连续导数；当 时，有时，有 ，且，且 则则例1. 计算计算解解: 令则 原式 =且例2. 计算计算解解: 令则 原式 =且 例3.证证:(1) 若(2) 若偶倍奇零偶倍奇零定理定理 （定积分的分部积分公式）（定积分的分部积分公式） 设函数设函数 u (x) , v (x) 在在 a , b 上有上有连续导数，连续导数，则则例4. 计算计算解解: 原式 =第三节 广义积分（反常积分）引例引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 定义1. 设设若存在 , 则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分, 记作类似地 , 若则定义第三节 广义积分（反常积分
5、）则定义( c 为任意取定的常数 )引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式 :例1. 计算广义积分计算广义积分解解:例2. 计算广义积分计算广义积分解解:第五节第五节 二重积分二重积分其中其中D是积分区域是积分区域定理定理 设设在矩形区域在矩形区域上可积，且对每个上可积，且对每个积分积分存在，则累次积分存在，则累次积分也存在，且也存在，且特别当特别当在矩形区域在矩形区域连续时，有连续时，有例例 1 计算计算其中其中解解区域区域 定理定理 设设在在 X- 区域区域 D 上连续，上连续，y1( x ) ,y2( x ) 在在 a, b 连续，则连续，则称为称为 X 型区域型区域 区域区域 则则称为
6、称为Y 型区域型区域. 若若 D 为为Y 型区域型区域. 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 则则 例2、计算 其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 则则解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则例3、 计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解及直线及直线这是这是 Y- 区域，区域，画出积分区域的图形画出积分区域的图形先对先对 x 后对后对 y 积分积分,解法解法2D 也是也是 X- 型区域，型区域，显然解法显然解法1比解法比解法2好好 ！例4、计算 其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解: 画积分区域图形，画积分区域图形，因为因为则则若先对若先对 x 积分，积分，的原函数不能用初等函数表示，因此的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有改用另一种顺序的累次积分，于是有内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方二重积分化为累次积分的方法法 若积分区域为若积分区域为 X- 型型则则 若积分区域为若积分区域为 Y-型型则则习题习题1、求、求其中D：2、求、求其中D：3、求、求其中D：
