锐角三角函数(正切)

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1、1 1. .1 1 锐角三角函数锐角三角函数(1)(1)第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为线与水平线的夹角为45度，并已知目高为度，并已知目高为1.5米然后米然后他很快就算出旗杆的高度了。他很快就算出旗杆的高度了。 1.5米10米米? 你知道小明怎样算你知道小明怎样算出的吗？出的吗？新课引入新课引入你还会算吗？你还会算吗？ABCDE我们首先回顾一下，与直角三角形有关的知识。我们

2、首先回顾一下，与直角三角形有关的知识。1 1、边的关系：、边的关系：2 2、角的关系：、角的关系：3 3、其他结论：、其他结论：RtRtABCABC中，中，C=90C=90， A ,B, CA ,B, C的的对边分别是对边分别是a,b,c.a,b,c. a abACBaC复习回顾复习回顾 梯子梯子, ,地面与墙之间就形成一个直角地面与墙之间就形成一个直角三角形，梯子的三角形，梯子的铅直高度铅直高度及梯子的水及梯子的水平平宽度宽度可以看做是它的直角边，梯子可以可以看做是它的直角边，梯子可以看做是斜边。看做是斜边。铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度你如何判断这个梯子陡不陡？你如何判断这个梯子陡不陡？

3、梯子与地面的梯子与地面的夹角（倾斜角）夹角（倾斜角）探索新知探索新知倾斜角越大倾斜角越大梯子梯子陡陡实例实例1:1:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？还可以用梯子的顶端放在还可以用梯子的顶端放在墙上位置的高低墙上位置的高低及及梯子的底梯子的底端离墙的远近端离墙的远近来判断来判断。探索新知探索新知（铅直高度）（铅直高度）（水平宽度）（水平宽度） 3m3m2m4m 实例实例2:2:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？梯子的铅直高度与其水平距离梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就

4、一样陡的比相同时，梯子就一样陡。比值大的梯子陡比值大的梯子陡。探索新知探索新知AB1C1B2C2(1)(1)如何判断梯子如何判断梯子 陡不陡？陡不陡？（2 2）仅有一把刻度尺，如何描述梯子）仅有一把刻度尺，如何描述梯子 的倾斜程度的倾斜程度探索新知探索新知 AB1 C1 C2B2想一想想一想 AB1 C1 C2B2想一想想一想(2) 和和 有什么关系有什么关系?(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么关系有什么关系?(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? AB1 C1 C2B2想一想想一想(1

5、)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么关系有什么关系?(2) 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? AB1 C1 C2B2想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么关系有什么关系?(2) 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? AB1 C1 C2B2想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2

6、C2有什么关系有什么关系?(2) 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? AB1 C1 C2B2想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么关系有什么关系?(2) 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?AA的大小确定的大小确定, A, A的的_边与边与 _边的比值不变边的比值不变。w如果改变如果改变A A 的大小的大小, , AA的对边与邻边的比值会的对边与邻边的比值会随之

7、改变吗随之改变吗? ? C2AB1C1B2w由此你得出什么结论由此你得出什么结论? ?AA的大小改变的大小改变, A, A的对边与邻边的比值随之改变。的对边与邻边的比值随之改变。当直角三角形的锐角当直角三角形的锐角确定确定后，它的后，它的对边对边与与邻边邻边的比的比值也随之值也随之唯一确定唯一确定；比值和三角形的大小无关，只；比值和三角形的大小无关，只和倾斜角的大小有关。和倾斜角的大小有关。B探索新知探索新知对对邻邻正切正切: :在在RtABCRtABC中中, ,如果锐角如果锐角A A确定，那么确定，那么A A的对边的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做与邻边的比随之确定，这个比叫做A A的的正

8、切正切, ,记作记作tanAtanAABCA的对边A的邻边总结新知总结新知梯子梯子ABAB1 1的倾斜程度与的倾斜程度与tanAtanA有关吗有关吗? ?tanAtanA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .定义的几点说明：定义的几点说明：1）初中阶段，初中阶段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的， A是一个是一个锐角锐角. 2） tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A A的正切，的正切，记号里习惯省去角的符号记号里习惯省去角的符号“”。但。但BAC的正切的正切表示为表示为:tan BAC, 1的正切表示为的正切表示为:tan 1.3

9、） tanA0 且且没有单位，它表示一个比值，即直没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A的对边与邻边的比（的对边与邻边的比（注意顺序：注意顺序： ）.4）tanA不表示不表示“tan”乘以乘以“A ”.5） tanA的大小只与的大小只与A的大小有关的大小有关，而与而与直角三直角三角形的边长角形的边长无关无关正切定义的几点说明：正切定义的几点说明：1）初中阶段，初中阶段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的， A是一个是一个锐角锐角. （正切值只能在直角三角形中求）（正切值只能在直角三角形中求）2） tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示

10、A A的正切，记的正切，记号里习惯省去角的符号号里习惯省去角的符号“”。但。但BAC的正切表示的正切表示为为:tan BAC. 1的正切表示为的正切表示为:tan 1.3） tanA0 且且没有单位，它表示一个没有单位，它表示一个比值比值，即直角，即直角三角形中锐角三角形中锐角A的对边与邻边的比（的对边与邻边的比（注意注意顺序：顺序： ）.4）tanA不表示不表示“tan”乘以乘以“A ”.5） tanA的大小只与的大小只与A的大小有关，而与的大小有关，而与直角三角直角三角形的边长形的边长无关无关.一一. . 去假存真：去假存真：1. 如图 (1)( ). ABCABC7m10m(1)(2)4

11、如图 (2)( ). 2如图 (2)( ). 3如图 (2)( ). 错错对对错错错错随堂练习随堂练习w例例1 1 下图表示两个自动扶梯下图表示两个自动扶梯, ,那一个自动扶那一个自动扶梯比较陡梯比较陡? ?w解解: :甲梯中甲梯中,乙5m13m6m8m甲乙梯中乙梯中, tan tan,甲梯更陡甲梯更陡.例题欣赏例题欣赏二二. . 填空填空: :1.tan1.tan = = tan tan = = 2.2.如图如图, C=90CDAB., C=90CDAB. tanACD= tanACD= tanB= tanB=ACBDABCBAACtanAtanB =_随堂练习随堂练习1例例2 2，在，在R

12、tABCRtABC中中,C=90,C=90 (1)AC=3,AB=6,(1)AC=3,AB=6,求求tanAtanA和和tanBtanB(2)BC=3,tanA= ,(2)BC=3,tanA= ,求求ACAC和和ABAB.ABC（3 3）AB=15,tanA= ,AB=15,tanA= ,求求ACAC和和BC.BC.例题欣赏例题欣赏w斜坡的斜坡的倾斜程度倾斜程度常用常用坡度坡度表示表示. .例如，有一山坡例如，有一山坡在水平方向上每前进在水平方向上每前进100m100m就升高就升高60m,60m,山坡的坡度山坡的坡度1.1.坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角()()叫叫坡角坡角2.2.坡面的

13、坡面的铅直高度铅直高度h h与与水平宽度水平宽度l l的比称为的比称为坡度坡度i i( (或或坡比坡比),),即即坡度坡度等于等于坡角坡角的的正切正切。3.3.坡度坡度越大越大, ,坡面越坡面越陡陡。100m60m探索新知探索新知hli例例3 如图，拦水坝的坡度如图，拦水坝的坡度i：，若坝高：，若坝高 BC=米，求坝面的长。米，求坝面的长。ACB解解: :在在RtABCRtABC中中,BC=20,BC=20米米 坡度坡度i： 则则AC= 米米. 又又AB2=BC2+AC2 AB=202+( )2=40米米例题欣赏例题欣赏四，某人沿一斜坡的底端四，某人沿一斜坡的底端B B走了走了1010米到达点

14、米到达点A A，此时点，此时点A A到到地面地面BCBC的垂直高度的垂直高度ACAC为为6 6米，则斜坡米，则斜坡ABAB的坡度为多少？的坡度为多少？正切也经常用来描述山坡的坡度正切也经常用来描述山坡的坡度BAC6m10m随堂练习随堂练习五，如图，山坡五，如图，山坡ABAB的坡度为的坡度为512512，一辆汽车从脚下，一辆汽车从脚下A A处处出发，把货物运送到距山脚出发，把货物运送到距山脚500 m500 m高的高的B B 处，求汽车从处，求汽车从A A到到B B所行驶的路程所行驶的路程 随堂练习随堂练习(2008(2008泰安泰安) )直角三角形纸片的两直角边长分别直角三角形纸片的两直角边长分别为为6 6，8 8，现将，现将ABCABC如图那样折叠，使点如图那样折叠，使点A A与点与点B B重重合，折痕为合，折痕为DE,DE,则则tanCBEtanCBE的值是多少？的值是多少？CBA68CBAED见识中考见识中考BACA的对边的对边A的邻边的邻边tanA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB越陡越陡.回顾与总结回顾与总结（1 1）锐角的正切：）锐角的正切：（2 2）坡度（坡比）：）坡度（坡比）：坡度越大坡度越大, ,斜坡越陡斜坡越陡.（2016盐城中考）已知ABC中，tanB ，BC6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BDCD21，求ABC的面积见识中考见识中考