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1、第三章第三章 机器人运动学机器人运动学已知关节变量已知关节变量 ，求末端执行器位姿，求末端执行器位姿本章要解决的问题：本章要解决的问题： 运动学正问题：运动学正问题：运动学正问题：运动学正问题：运动学逆问题：运动学逆问题：运动学逆问题：运动学逆问题：已知已知 ，求，求3.1 杆件、关杆件、关节、标架、杆件架、杆件变换一、基本概念（图一、基本概念（图31）图图 3-11、杆件杆件杆件杆件（Link):操作机器人的每个运动单元，称为操作机器人的每个运动单元，称为图图 3-1机座，固定不动，称为机座，固定不动，称为0号杆件；号杆件；与机座相联的第一个杆件；与机座相联的第一个杆件；与第一个杆件相联的后
2、一个杆件；与第一个杆件相联的后一个杆件；与一般机构不同，在谈起机器人时，常说机器人是多少个与一般机构不同，在谈起机器人时，常说机器人是多少个自由度的，而不说是几杆机构自由度的，而不说是几杆机构！开式链机器人用此标法，并联机器人有专用方法开式链机器人用此标法，并联机器人有专用方法。2、关节关节关节关节（Joint):连接相邻两个杆件的运动副，称为连接相邻两个杆件的运动副，称为习惯上，习惯上，连接连接 与与 ；连接连接 与与 ；关节分类：关节分类：考虑到运动精度以及技术实现等原因，操作机器人一般考虑到运动精度以及技术实现等原因，操作机器人一般只用两种形式的关节！只用两种形式的关节！回转关节回转关节
3、回转关节回转关节（R Revolute):evolute):棱柱关节（棱柱关节（棱柱关节（棱柱关节（P Prismatic):rismatic):只能单自由度回转而不能移动的低副；只能单自由度回转而不能移动的低副；只能单自由度移动而不能回转的低副；只能单自由度移动而不能回转的低副；3、标架标架标架标架（Frame):在机器人学中，常将在机器人学中，常将杆件坐标系杆件坐标系杆件坐标系杆件坐标系称为。称为。4、自由度自由度自由度自由度（DOFD Degree-OOf-F Freedom): 机器人末端执行器所具有的独立运动能力，称为机器人机器人末端执行器所具有的独立运动能力，称为机器人的的5、活动
4、度活动度活动度活动度（Mobility):机器人所具有的关节数，称为机器人的机器人所具有的关节数，称为机器人的自由度与活动度间的关系？（人自腰部以上到手腕为多少？）自由度与活动度间的关系？（人自腰部以上到手腕为多少？）二、基本参数二、基本参数1、杆件参数杆件参数杆件参数杆件参数 （ i=1,2,n-1 i=1,2,n-1 ) )（图（图32）杆长杆长杆长杆长： ，杆件，杆件i上两条轴线间公法线长度，称为上两条轴线间公法线长度，称为扭扭扭扭角角角角： ，杆杆件件i上上两两条条轴轴线线在在垂垂直直于于公公法法线线平平面面内内的的夹角，称为（）夹角，称为（）图图 3-2用这两个参数就可以确定相邻两条
5、轴用这两个参数就可以确定相邻两条轴线的相互位置！；线的相互位置！；杆件结构确定了，这杆件结构确定了，这2 2个参数为常量；个参数为常量；i=0 及及i=n 时的参数呢？（仅时的参数呢？（仅1根轴线）根轴线） 待标架建立后才待标架建立后才能确定！能确定！若若杆杆件件的的两两根根轴轴线线平平行行，杆杆件件参参数数是是多多少少？（扭角：（扭角：纵向左右扭！）纵向左右扭！）杆件参数可能是负值吗？杆件参数可能是负值吗？2、关节参数关节参数关节参数关节参数 （ i=1,2,n-1 i=1,2,n-1 ) )（图（图33）图图 3-3关节角关节角关节角关节角 ：关节：关节 上上相邻两条公法线在垂直于相邻两条
6、公法线在垂直于 轴线平面内的夹角，称为轴线平面内的夹角，称为偏距偏距偏距偏距 ：关节：关节 上相邻两上相邻两条公法线沿条公法线沿 轴线测得的距轴线测得的距离，称为离，称为（ 轴上两条公法线间的最短距轴上两条公法线间的最短距离）离）如同杆件参数一样，关节参数也为非负值！如同杆件参数一样，关节参数也为非负值！对回转关节：对回转关节： 是常量，是常量， 是变量；是变量；对棱柱关节：对棱柱关节： 是变量，是变量， 是常量；是常量；i=0 及及i=n 时的参数呢？时的参数呢？ 待标架建立后才能确定！待标架建立后才能确定！关节参数物理含义？关节参数物理含义？ 决定了相邻两个杆件间相互位置；决定了相邻两个杆
7、件间相互位置；若相邻若相邻3根轴线平行，可直接可以看出关节角即是根轴线平行，可直接可以看出关节角即是i+1杆杆 相对于相对于i 杆转过的角度；杆转过的角度； （图（图3-4）图图 3-4在机器人中常用回转关节，若在机器人中常用回转关节，若 意意味味着着相相邻邻两两个个杆杆件件不不上上下下交交错错，将将可可能能导导致致关关节节角角小于小于360。人臂结构如何？人臂结构如何？三、三、Denavit-Hartenberg标架（简称标架（简称D-H标架）标架）1、杆件上标架的建立、杆件上标架的建立杆杆件件标标架架建建立立方方法法不不一一样样，位位姿姿描述含义与结果也不一样！描述含义与结果也不一样！为为
8、统统一一起起见见，均均采采用用本本讲讲义义D-HD-H方法（其它方法？）方法（其它方法？）1.1 中间杆件标架中间杆件标架 （i=1,2,n-1)（图（图3-5）(1) ：与：与 轴线重合，正方向按照机器人轴线重合，正方向按照机器人构型构型构型构型确定确定；(2) ：与：与 杆件公法线重合，由杆件公法线重合，由 指向指向 ；当；当；当；当 时，取时，取时，取时，取（3） ：按照右手法则确定；：按照右手法则确定；（4） ： 与与 交点。交点。图图 3-5构型：左构构型：左构构型：左构构型：左构（左臂）、（左臂）、右右右右构构构构（右臂）。使机器人初（右臂）。使机器人初始转动角度为正值！始转动角度
9、为正值！特殊情况：特殊情况：当当 ，即，即 与与 相交时，相交时， 取在交点处；取在交点处；当当 时，时， 取在使取在使 处；处；杆件标架的建立需要两根特殊的线：关节轴线、公法线！杆件标架的建立需要两根特殊的线：关节轴线、公法线！杆件的标架位于杆件前一个关节轴线上！杆件的标架位于杆件前一个关节轴线上！基座、末杆只有基座、末杆只有1 1根轴线，其标架需按照特殊的方法建立！根轴线，其标架需按照特殊的方法建立！1.2 机座标架机座标架 机机座座标标架架 与与机机座座固固联联，用用来来描描述述机机器器人人各各个个杆杆件件及及末末端端执行器的位姿；执行器的位姿； 的的建建立立可可随随意意，但但为为了了方
10、方便便起起见见，一一般般规规定定：当当第第一一个个关节变量为零值时，关节变量为零值时， 与与 重合重合。因此，有：因此，有：当第一个关节为回转关节时，还有：当第一个关节为回转关节时，还有：当第一个关节为棱柱关节时，还有：当第一个关节为棱柱关节时，还有：1.3 末杆标架末杆标架 机机器器人人末末杆杆一一端端与与前前一一个个杆杆件件相相联联，另另一一端端是是机机机机械械械械接接接接口口口口，用用以连接末端工具，因此只有以连接末端工具，因此只有1根轴线。根轴线。其标架建立原则与机座标架相类似：其标架建立原则与机座标架相类似：为了便于计算为了便于计算！(1) ：与：与 轴线重合轴线重合；(2) ：当其
11、关节变量为：当其关节变量为0时，时， 与与 重合。重合。机座标架看杆机座标架看杆1，末杆标架看的是，末杆标架看的是n-1杆！杆！二者不同之处：二者不同之处： 与与 原点不重合！原点不重合！具体地：具体地：当当 为回转关节且为回转关节且 时，取时，取 与与 重合重合；因此因此当当 为棱柱关节且为棱柱关节且 时，取时，取 与与 重合重合；因此因此1.4 末端执行器标架末端执行器标架 末端执行器不同，其标架不同，详见教科书。末端执行器不同，其标架不同，详见教科书。 末端执行器标架与末杆标架是平移关系末端执行器标架与末杆标架是平移关系！同同一一台台机机器器人人可可以以使使用用不不同同的的末末端端执执行
12、行器器，为为此此，在在样样本本中中一般只给出杆件标架参数。末端执行器标架视情况而定。一般只给出杆件标架参数。末端执行器标架视情况而定。2、D-HD-H参数参数参数参数采采用用D-H标标架架，用用来来描描述述机机器器人人各各杆杆件件标标架架间间相相对对位位姿姿关关系的参数，称为系的参数，称为为何要采用为何要采用D-HD-H参数？参数？如果要确定坐标系间相对位姿关系，需要几个参数？如果要确定坐标系间相对位姿关系，需要几个参数？共有共有4 4 4 4个个个个D-H参数（图参数（图3-6）！）！图图 3-6 从从 到到 ，沿，沿 的距离；的距离； 从从 到到 ，绕，绕 的角度；的角度； 从从 到到 ，
13、沿，沿 的距离；的距离； 从从 到到 ，绕，绕 的角度；的角度；D-H参参数数仍仍然然借借用用杆杆件件参参数数、关关节节参数的参数的符号符号符号符号，但有正负号了！但有正负号了！仅用仅用4个参数！个参数！3、杆件变换矩阵杆件变换矩阵杆件变换矩阵杆件变换矩阵对一台机器人讲，可有如下坐标系：对一台机器人讲，可有如下坐标系： 机座标架（参考坐标系）；机座标架（参考坐标系）； 杆件杆件1标架；标架； 杆件杆件n标架；标架； 末端执行器坐标系；末端执行器坐标系； 世界坐标系世界坐标系世界坐标系世界坐标系；研究机器人运动学时，一般只讨论机器人本身杆件标架！研究机器人运动学时，一般只讨论机器人本身杆件标架！
14、所涉及的所涉及的杆件变换杆件变换杆件变换杆件变换有：有：通式为：通式为：习惯上，习惯上，杆件变换矩阵杆件变换矩阵杆件变换矩阵杆件变换矩阵写成写成 形式形式! !变换过程（？尝试一下变换过程（？尝试一下D-H参数！）：参数！）：变换顺序（？）：变换顺序（？）：（1）绕）绕 旋转旋转 ，使得，使得 ；（3）绕）绕 旋转旋转 ，使得，使得（4）沿）沿 移动移动 ，使得，使得 与与 重合。重合。杆件变换矩阵杆件变换矩阵杆件变换矩阵杆件变换矩阵（通式，学生做）：（通式，学生做）：仅包含一个变量（回转关节：关节角。棱柱关节：偏距）！仅包含一个变量（回转关节：关节角。棱柱关节：偏距）！（2）沿）沿 移动移动
15、 ；使得；使得 与与 重合重合 ； 仅仅仅仅需需要要4 4次次变变换换即即可可！（D-H参参数数的的优优点点！4个个参参数数即即可可确确定相对位姿！定相对位姿！样本、论文中通常只给这样本、论文中通常只给这4 4个参数！个参数！）3.2 3.2 机器人运机器人运机器人运机器人运动动学学学学一、一、运动学基本方程运动学基本方程运动学基本方程运动学基本方程机器人末杆标架相对于机座的齐次变换矩阵为：机器人末杆标架相对于机座的齐次变换矩阵为：简记为：简记为：上式即为上式即为机器人机器人运动学基本方程运动学基本方程运动学基本方程运动学基本方程。二、二、运动学反解（？）运动学反解（？）运动学反解（？）运动学
16、反解（？） 运动学反解是机器人控制的基础！运动学反解是机器人控制的基础！运动学反解是机器人控制的基础！运动学反解是机器人控制的基础！1、解存在域、解存在域 在在工作空间工作空间工作空间工作空间外，无解！外，无解！ 在工作空间内，？在工作空间内，？使用时首先使用时首先要选择合适的要选择合适的机器人，且安机器人，且安装位置要恰当！装位置要恰当！2、求解分析（以、求解分析（以6DOF机器人为例！？）机器人为例！？）已知：已知：分析：分析：（1）方程右端每个杆件矩阵中含有）方程右端每个杆件矩阵中含有1个变量，共有个变量，共有6个未知数；个未知数；（2）矩阵相等，其每个对应元素相等，共有）矩阵相等，其每
17、个对应元素相等，共有1212个有效等式。个有效等式。C如何从如何从12个等式中挑出个等式中挑出6个个独立的方程独立的方程独立的方程独立的方程来？来？C 要求解的方程为要求解的方程为超越方程（超越方程（超越方程（超越方程（三角函数方程），如何求解？三角函数方程），如何求解？3、求解方法、求解方法（1）数值法。任意）数值法。任意6自由度串联机器人都有自由度串联机器人都有迭代解迭代解迭代解迭代解。缺点：。缺点：求解时间不固定，不适合控制应用（？）。求解时间不固定，不适合控制应用（？）。（2）解析法。可以得到）解析法。可以得到闭式解闭式解闭式解闭式解，适合控制应用（？）。适合控制应用（？）。4、解析解
18、存在条件、解析解存在条件不是任意情况的机器人都有闭式解！不是任意情况的机器人都有闭式解！必要条件：必要条件：或或物理含义？物理含义？由于运动学反解是控制的基础，因此操作机器人一般都要由于运动学反解是控制的基础，因此操作机器人一般都要满足此必要条件！（在结构上进行了限制！）满足此必要条件！（在结构上进行了限制！）充分条件（充分条件（Pieper条件）：条件）：机器人机构中有机器人机构中有3个相邻的关节轴线相交于一点或平行。个相邻的关节轴线相交于一点或平行。若若3根相邻的关节轴线相交于一点，其结构将很紧凑。常将根相邻的关节轴线相交于一点，其结构将很紧凑。常将此形式的机构称为此形式的机构称为手腕手腕
19、手腕手腕（或（或球腕球腕球腕球腕），放在机器人末端使用！），放在机器人末端使用！典型操作机器人形式：典型操作机器人形式：操作臂手腕操作臂手腕实现位置实现位置实现姿态实现姿态带球腕的机器人还有特殊解法，后面将讨论！带球腕的机器人还有特殊解法，后面将讨论！ 解析解存在的充要条件？至今还未给出！解析解存在的充要条件？至今还未给出！5、重解问题、重解问题对于给定的一个位姿，常常有多组关节变量相对应，这种现对于给定的一个位姿，常常有多组关节变量相对应，这种现象称为。象称为。示例（图示例（图3-7）图图 3-7都可行。哪一组最好？都可行。哪一组最好？（必须作出选择！）（必须作出选择！）最小能量约束，关节运
20、动范围限制，最小能量约束，关节运动范围限制，6、分离关节变量法分离关节变量法分离关节变量法分离关节变量法分离关节变量法分离关节变量法分离关节变量法分离关节变量法基本思想：基本思想： 关节变量以三角函数形式出现；关节变量以三角函数形式出现； 若若能能将将等等式式一一端端化化为为某某一一关关节节变变量量的的三三角角函函数数，另另一一端端为常量，则可以用反三角函数法求出待求变量。为常量，则可以用反三角函数法求出待求变量。小结：反解时需解决的问题：小结：反解时需解决的问题：求解方法问题，解析解存在条件问题，求解方法问题，解析解存在条件问题， 6个独立方程选个独立方程选择问题，超越方程问题，重解问题，择
21、问题，超越方程问题，重解问题，不用数值计算法；解前验证条件；与下一个问题一起解决！关不用数值计算法；解前验证条件；与下一个问题一起解决！关键是反三角函数问题；应用附加约束条件，例如最小能量约束键是反三角函数问题；应用附加约束条件，例如最小能量约束等；等；求解关键：如何能化成上述情况求解关键：如何能化成上述情况！采用的是逆向思维方法进行求解！采用的是逆向思维方法进行求解！基本过程：基本过程：（2）方程两端同时左乘以）方程两端同时左乘以 ，得：，得：（1）先试探一下可否根据运动学基本方程解出某些变量；）先试探一下可否根据运动学基本方程解出某些变量；若不能，则继续步骤（若不能，则继续步骤（2）；）；
22、上上式式左左端端只只含含有有杆杆件件1的的关关节节变变量量；若若在在方方程程右右端端能能找找到到一一个个对对应应的的常常数数项项，则则可可以以求求出出杆杆件件1的的关关节节变变量量了了。解解得得后后，再再看看一一下下能能否否解解出出其其它它变变量量，能能解解出出，解解之之；否否则则继继续续左左乘乘下下一个杆件矩阵的逆，依次类推，直到解得全部变量。一个杆件矩阵的逆，依次类推，直到解得全部变量。用左乘的方法将变量依次隔离出来，因此，称为用左乘的方法将变量依次隔离出来，因此，称为。有些学者建议一开始就进行左乘分离！（名副其实）有些学者建议一开始就进行左乘分离！（名副其实）矩阵乘法操作小窍门！（从右端
23、开始！？减少计算量）矩阵乘法操作小窍门！（从右端开始！？减少计算量）例题：例题：已知：已知：解：解：解法解法1：结果出来了，结果出来了，可以吗？可以吗？存在的问题：存在的问题：例如：例如：（1）反三角函数多值问题。）反三角函数多值问题。当当 时，其反函数值至少有两个（限定为时，其反函数值至少有两个（限定为1转时）：转时）：及及（2）反三角函数值精度问题：当取一些值时，误差较大。）反三角函数值精度问题：当取一些值时，误差较大。例如：例如：与与但但对对于于一一些些定定位位精精度度要要求求较较高高的的机机器器人人来来说说，可可能能造造成成较较大的位置误差。大的位置误差。不宜用反正弦或反余弦函数求关节
24、角度值！不宜用反正弦或反余弦函数求关节角度值！解法解法2：解法解法2可行吗？可行吗？反正切、反余切采用了反正切、反余切采用了2 2个参数求角度值，其结果唯一。个参数求角度值，其结果唯一。反正切、反余切灵敏度高，误差小！反正切、反余切灵敏度高，误差小！要采用反正切或反余切计算关节角度值！要采用反正切或反余切计算关节角度值！7、带球腕机器人运动学反解、带球腕机器人运动学反解球腕运动学特点分析：球腕运动学特点分析：球腕：球腕：3个关节轴相交于一点。个关节轴相交于一点。球腕球腕3个杆件的标架原点重合在一起。个杆件的标架原点重合在一起。球腕球腕3 3个关节变量不影响末杆的位置！（只影响姿态）个关节变量不
25、影响末杆的位置！（只影响姿态）末杆位置完全由前末杆位置完全由前3 3个杆件确定。个杆件确定。带球腕机器人运动学反解方法：带球腕机器人运动学反解方法：（1）将将 、 、 相相乘乘，由由这这三三个个矩矩阵阵相相乘乘得得到到的的位位置置值即是整个机器人的位置值。据此，可以解得值即是整个机器人的位置值。据此，可以解得（2） 求出后，求出后， 变为常量，将它们分离出，根变为常量，将它们分离出，根据据 可以进一步求出可以进一步求出将将6 6个联立方程变成个联立方程变成2 2组组3 3元联立方程，求解难度自然降低了！元联立方程，求解难度自然降低了！带球腕机器人运动特点：带球腕机器人运动特点： 球腕一般放在机
26、器人末端；球腕一般放在机器人末端； 前三个自由度用于实现位姿，后三个用于调整姿态；前三个自由度用于实现位姿，后三个用于调整姿态； 反解简单；反解简单； 示教方便，便于应用！示教方便，便于应用！拟人式机器人（图拟人式机器人（图3-8）？）？图图 3-8 拟人式机器人拟人式机器人3.3 机器人工作空机器人工作空间一、概念：一、概念：1.1.工作空间工作空间工作空间工作空间：机器人反解存在的区域，称为机器人反解存在的区域，称为 为机器人可达位姿的集合。为机器人可达位姿的集合。2. 2. 灵活工作空间灵活工作空间灵活工作空间灵活工作空间：在工作空间中，机器人的末端执行器能够在工作空间中，机器人的末端执
27、行器能够从机构允许从机构允许的各个的各个方向到达的位姿点的集合，称为方向到达的位姿点的集合，称为3. 3. 可达工作空间可达工作空间可达工作空间可达工作空间：机器人末端执行器至少能以某一姿态到达的区域，称机器人末端执行器至少能以某一姿态到达的区域，称为为灵活工作空间灵活工作空间可达工作空间工作空间可达工作空间工作空间对机器人应用有意义的空间：灵活工作空间！对机器人应用有意义的空间：灵活工作空间！机器人样本中给出的工作空间：机械接口的位姿空间机器人样本中给出的工作空间：机械接口的位姿空间二、示例：二、示例：平面平面2杆杆2DOF机器人（图机器人（图39）设设图图 3-9 示例示例半径为半径为2l
28、的圆面的圆面原点原点无无外径为外径为 ，内径为，内径为 的圆环的圆环可达空间可达空间灵活工作空间灵活工作空间在边界上，只有一种姿态；在边界上，只有一种姿态；在可达空间内，只有在可达空间内，只有2种姿态；种姿态；若不可灵活地工作，则会大大降低机器人使用价值若不可灵活地工作，则会大大降低机器人使用价值！对图例机器人，只需在腕部再增加一个回转关节自由度，则对图例机器人，只需在腕部再增加一个回转关节自由度，则可使可达空间变成灵活工作空间（见黑板）。可使可达空间变成灵活工作空间（见黑板）。设计机器人时，应该保证设计机器人时，应该保证可达空间即为灵活工作空间可达空间即为灵活工作空间！鉴于此，习惯上只用鉴于
29、此，习惯上只用“工作空间工作空间”术语！术语！三、工作空间绘制三、工作空间绘制机器人只能在其工作空间中运动，因此，了解其工作空间机器人只能在其工作空间中运动，因此，了解其工作空间形状、大小等是必须的！形状、大小等是必须的！绘制方法：绘制方法：1.计算机绘图。由计算机根据其运动学方程绘出位姿计算机绘图。由计算机根据其运动学方程绘出位姿点图集，例如点图集，例如蒙特卡罗法。蒙特卡罗法。蒙特卡罗法。蒙特卡罗法。2.手工绘制。对一些简单的情况，可以人工绘出工作手工绘制。对一些简单的情况，可以人工绘出工作空间，关键是给出空间，关键是给出工作空间边界工作空间边界。因结构上的限制，机器人关节变量范围一般有所限制因结构上的限制，机器人关节变量范围一般有所限制！习题习题: Daikin s1400 SCARA型机器人型机器人图图 3-9 s1400问题：问题：1.什么因素影响关节运动范围？什么因素影响关节运动范围？2.回转关节有无必要可以整周回转？回转关节有无必要可以整周回转？3.工作空间形状、大小与哪些因素有关？工作空间形状、大小与哪些因素有关？4.试讨论一下试讨论一下SCARA机器人大、小臂各自的作用。机器人大、小臂各自的作用。5.试讨论一下搬运、平面装配、点焊、弧焊、垂直面喷试讨论一下搬运、平面装配、点焊、弧焊、垂直面喷漆所需工作空间形状。漆所需工作空间形状。
