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1、名校版中考数学【 二次函数】考点最值4 种解法1题目如图1 , 抛物线y = -x 2 + b x + c 与 x 轴交于A(1, 0), B(3, 0)两点。图1 图2求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q , 使得 QAC的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2 , 在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使4 PBC的面积最大？若存在， 求出点P 的坐标及 PBC的面积最大值：若没有，请说明理由。解答：抛物线解析式为y = -x 2 2x4-3；(2)Q (T，2)；下面着重探讨求第(3)小
2、题中面积最大值的几种方法.解法1补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。方法一如图 3 , 设 P 点(x, -x 2 -2 x + 3 ) (-3x0).图3 一 。四边形 APC。 a B O CQ9一o 四边形2PC。 2 ，若S四边形8PC0有最大值， 则 S&BM就最大,* , S四边形B P C O S R iA B P E + S直角樽形PEQC1 1= -BE - PE + y-OE( PE + 0C)1 0 1=% + 3)( - % 2% +3) + -( , ,x)( - x2 -
3、2% + 3 +3)1当 =- 5时,sn四边形月匐。最大值= 427； SA BPC最大值9 27 9 27VWBWaaaaiMBBB2 8 2 - 8此时， 一 了 一 2% + 3 = ,4, 二点P坐标为（ - 六， 竽，方法二 如图 4 ,设 P 点(X, x22x+3)(3vxv0).图4SPBC = S AOBP + S A0cp 一 S AO BC= J x 3( -，- 2% + 3) + ； x 3( - z)x 3 x 3= 3 / 3 2 9 27T(x + T)+ T + T( 下 略 . )解 法2“ 铅垂高，水平宽” 面积法如图5 ,过 ABC的三个顶点分别作出与
4、水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫 ABC的“ 水平宽” (a ),中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC的“ 铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：SA ABC = 1/2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。a图5根据上述方法，本题解答如下:解 如 图 6 , 作 P E x轴于点E , 交 BC于点F.图6设 P 点 (x, 一x22x+3) (-3 x 0 ).SAPBC = AFBP + S N CP= P尸 BE + 4-Pr OE2 21 , 1= y P F ( BE + OE) = PF OB= - 2%+ 3 - (x
5、+ 3 )2_ 3 V 27 2 r + T ) 8 ，.* S 4BPC 最大9 27 9 272 8 2 - 8.当 = - 时,L-%2 - 2x + 3 =竽,. - . 点 P 坐标为(-3/2, 15/4)解法3切线法若要使 PBC的面积最大，只需使BC上的高最大. 过点P 作 BC的平行线I , 当直线I与抛物线有唯一交点（ 即点P） 时，BC上的高最大，此时APBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。解 如 图 7 , 直线BC的解析式是y=x+3,过点P 作 BC的平行线I , 从而可设直线I的解析式为：y=x+b.图74 - f y = x + b,= - x -2x +3
6、.2,. % + 6 = - % - 2% + 3,即 / + 34 + b 3 = 0.由 A = 3? -4 (6 -3 ) = 0,得 ”. 9= _ * ( 。 寻 )此时s c 上的高九最大，h = MC sin Z CMP= MC sinZOCB9 立 9户= - x - - = 4 2 8SAPBC = gBC hZ A z 91= 5 x 3 #9中* 丁=27/8解法4三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得.解 如 图 8 , 作 PE，x 轴交于点E , 交 BC于点F , 作 PM_LBC于点M.设 P 点(x, -x 2 -2 x + 3 ) (-3 x 0 ),则 F(x, x+3).一 2% + 3 ) ( 兀 + 3) xsin Z.BFE- x - 2% + 3) - (% + 3) xsin L OCB=- - 3% ).s O ABPC最大9 27 9 272 8 2 - 8- 当 = - 今 时 ， - x2 - 2% + 3 =竽,. 二点P 坐标为（ - | , 竽）从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。
