《勾股定理》典型练习题1142

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1、勾股定理典型例题分析 一、知识要点： 1 、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a 、b ，斜边为 c ，那么 a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。 2 、勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC的三边长分别是 a ，b ，c ，且满足 a2+b2=c2，那么三角形 ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度. 满足的条件：最大边的平方= 最小边的平方+ 中间边的平方. 得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最

2、大边的对角是直角. 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3 、勾股数 满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3 ，4 ，5?）(5，12，13?)(?6，8 ，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)? 4 、最短距离问题：主要 5 、运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1 、求阴影部分面积： （1 ）阴影部分是正方形； （2 ）阴影部分是长方形； （3 ）阴影部分是半圆 2.如图，以 RtA

3、BC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系 3 、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、S3，则它们之间的关系是（） A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S31） ，那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n21 D 、1n2 7 、在 RtABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（） A.222abcB.222acbC.222cbaD.以上都有可能 8 、 已知 RtABC中， C=90， 若a+b=14cm， c=10cm， 则 RtABC的面积是 （ ） A 、242cm B 、362

4、cm C 、482cm D 、602cm 9 、已知 x 、y 为正数，且x2-4+ （y2-3）2=0，如果以 x 、y 的长为直角边作一个S3S2S1直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 10、已知在ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高 AD=12cm，求ABC的周长。 （提示：两种情况） 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、 如图 1 所示， 等腰中，是底边上的高， 若，求AD 的长；ABC的面积 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1 、下列各组数据

5、中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（） A.4，5 ，6B.2，3 ，4C.11，12，13D.8，15，17 2 、若线段 a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2 3 4 B 、3 4 6 C 、5 1213 D 、4 6 7 3 、下面的三角形中： ABC中，C=A B ； ABC中，A ：B ：C=1：2 ：3 ； ABC中，a ：b ：c=3：4 ：5 ； ABC中，三边长分别为 8 ，15，17 其中是直角三角形的个数有（） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 、若三角形的三边之比为21:122，则这个三角形一定是（） A.等腰三角形B.

6、直角三角形 C.等腰直角三角形D.不等边三角形 5 、 已知 a ， b ， c 为ABC三边， 且满足(a2b2)(a2+b2c2) 0 ，则它的形状为 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6 、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是() A 钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7 、若ABC的三边长a,b,c满足222abc20012a16b20c，试判断ABC的形状。 8 、ABC的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形为。 例 3 ：求 （1 ）

7、若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。 （2 ）已知三角形三边的比为 1 ：3：2 ，则其最小角为。 ? 考点五: 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为? 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想） 、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 2 、一架长 2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7m（如图） ，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4m，那么梯子底端将向

8、左滑动米 3 、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑1 米， 那么， 梯子底端的滑动距离 1 米， （填 “大于” ， “等于” ，或“小于” ） 4 、在一棵树 10m高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m处的池塘 A 处；另外一只爬到树顶D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 86A B C 5 、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为. 6 、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，

9、两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米 xzx 7 、如图 18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走 8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走 3km，再折向北方走到 5km处往东一拐，仅 1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？ 考点七：折叠问题（较难的一类） 1 、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CE 等于（） A.425B.322C.47D.35 2 、如图所示，已知ABC中，C=90，AB 的垂直平分线交BC于 M

10、，交 AB 于 N ，若AC=4，MB=2MC，求 AB 的长 3 、折叠矩形 ABCD的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处, 已知 AB=8CM,BC=10CM, 求 CF和 EC。 4 、如图，在长方形 ABCD中，DC=5，在 DC 边上存在一点 E ，沿直线 AE 把ABC折叠，使点 D恰好在 BC 边上，设此点为 F ，若ABF的面积为 30，求折叠的AED的面积 5 、如图，矩形纸片ABCD的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？ 6 、如图，在长方形 ABCD中，将ABC沿 AC 对折至AEC位置，CE 与 A

11、D 交于点 F 。 60 120 140 B 60 A C 第 5 题图 7 8 米 2 米 8 米 第 6 题图 图 18-15 15328BAA B C E F D （1 ）试说明：AF=FC； （2 ）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长 7 、如图 2 所示，将长方形 ABCD沿直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_ 8 、如图 2-3，把矩形 ABCD沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C 的位置上，已知 AB=3 ，BC=7，重合部分EBD的面积为_ 9 、 （难）如图 5 ，将正方形 ABCD折

12、叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E ，交 BC 于 F ，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 。如果 M 为CD 边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4 ：5 。 10、如图 2-5，长方形 ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C点与 A 点重合，则折叠后痕迹 EF 的长为（） A 3.74B3.75C3.76D3.77 2-5 11、 （稍难）如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm， 将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点 P 落在 AD 边上 （不与 A 、 D 重合） ，在 AD 上适当移

13、动三角板顶点 P ： 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C ？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B ，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q ，与 BC 交于点 E ，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由. （提示：根据勾股定理，列出一元二次方程，超初二范围） 12、 （难）如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E 、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF

14、 的长。 （提示：连接 AD，证AEDCFD,可得 AE=CF=5，AF=BE=12，即可求） 13、 （好）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学， AP160m。 假设拖拉机行驶时， 周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由， 如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 1 、如图所示，所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，其中 最大的正方形的边长为5，则正方形 A ，B ，C ，D

15、 的面积的和为 2 、 （好，稍难）已知ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtADE， ， 依 此 类 推 ， 第n个 等 腰 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 是 （2）n 考点九、图形问题 1 、如图 1 ，求该四边形的面积 2 、已知，在ABC中，A=45，AC= ，AB=+1，则边 BC 的长为 3 、 （好，稍难）某公司的大门如图所示, 其中四边形是长方形, 上部是以为直径的半圆, 其中=2.3， =2, 现有一辆装满货物的卡车, 高为 2.5, 宽为1.6, 问这辆卡

16、车能否通过公司的大门并说明你的理由 . 4 、将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 ，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h ，则 h 的取值范围。 ABCDEFG431213BCDA5 、如图，铁路上 A 、B 两点相距 25km，C 、D 为两村庄，DA垂直 AB 于 A ，CB 垂直 AB于 B ，已知 AD=15km，BC=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得 C 、D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站建在距 A 站多少千米处？ 考点十：其他图形与直角三角形 如图是一块地，已知 AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=

17、24m，求这块地的面积。 考点十一：与展开图有关的计算 1 、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 的表面上，求从顶点 A 到顶点 C 的最短距离 2 、如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm 3 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A 、B 、C 、D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 33223+1 考点十二、航海问题 1 、一轮船以

18、16 海里/ 时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/ 时的速度从 A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里 2 、 （不难，考一元二次方程，超初二范围）如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处， 此时又测得该岛在北偏东 30的方向上， 已知在 C 岛周围 9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。 东北30 60 BACMD3 、如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km的

19、B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 考点十三、网格问题 1 、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1 ，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是（） A 0B1C2D3 2 、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1 ，则ABC是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 3 、如图，小方格都是边长为 1 的正方形, 则四边形 ABCD的面积是() A 25B.12.5C.9D.8.5 （图 1 ） （图 2 ） （图 3 ） 4 、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 ，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： 使三角形的三边长分别为 3 、8、5（在图甲中画一个即可） ； 使三角形为钝角三角形且面积为4 （在图乙中画一个即可）