2021年中考数学第三轮压轴题冲刺复习：二次函数 综合练习题（含答案）

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1、2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：二次函数 综合练习题1、如图，已知抛物线 = 依2过点A(-3,2).4( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 已知直线/ 过点A, 0)且与抛物线交于另一点3 , 与y 轴交于点C,求证：MC2 = MA.MB ;(3 )若点P , 。分别是抛物线与直线/ 上的动点， 以OC为一边且顶点为O, C,P ,。的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线, = 6 2 + 公 -2 交x 轴于A, B两点，交y 轴于点C , 且。 A = 2OC = 8。 8 . 点尸是第三象限内抛物线上的一动点.( 1 )

2、 求此抛物线的表达式；( 2 ) 若PC/AB,求点P 的坐标；( 3 ) 连接A C ,求AE4c面积的最大值及此时点尸的坐标.3、如图，抛物线y=ax2+bx - 1 与 x 轴交于A (1, 0)、B (6, 0 ) 两点，D是y 轴上一点，连接D A ,延长DA交抛物线于点E.( 1 )求此抛物线的解析式；( 2 )若E点在第一象限，过点E作EFx轴于点F, AADO与4AEF的面积比为也 些 = 工 ，求出点E的坐标;2AAEF (3 )若D是y轴上的动点， 过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D ,使DA2=DMDN?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理

3、由.4、已知抛物线y = -L x 2 - x的图象如图所示：2 2(1 )将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C,则平移后的解析式为.(2 )判断aABC的形状，并说明理由.(3 )在抛物线对称轴上是否存在一点P ,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.5、 如图, 抛物线 y=ax2+bx - 5 与坐标轴交于 A ( - 1, 0), B (5, 0), C (0, - 5)三点，顶点为D .( 1 ) 请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；( 2 ) 连接B C 与抛物线的对称轴交于点E , 点 P 为线段B

4、 C 上的一个动点( 点P不与B 、C 两点重合) ，过点P 作 PF D E 交抛物线于点F , 设点P 的横坐标为m .是否存在点P , 使四边形PE D F 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.过点F 作 F H L B C 于点H , 求A PF H 周长的最大值.6 、 如图， 已知抛物线丁 = 加 + 乐 + 。 ( 0 ) 的对称轴为直线 = 1 , 且抛物线与工轴交于A、8两点，与y 轴交于C点，其中A ( 1 , O ) , C ( 0 , 3 ) .( 1 ) 若直线 = 侬+ 经过8、C两点，求直线8 C 和抛物线的解析式;( 2 ) 在抛物线的对

5、称轴x = T 上找一点M , 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；( 3 ) 设点P 为抛物线的对称轴x = -l上的一个动点，求使A B PC 为直角三角形的点P的坐标.7、如图，抛物线的顶点为4人-1），与y轴交于点3（ 0 ,-：） ,点F（ 2,l）为其对称轴上的一个定点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2 ）已知直线/ 是过点C（ 0,-3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点PG%”） 到直线/ 的距离为d,求证：PF = d;（3 ）已知坐标平面内的点54,3） ,请在抛物线上找一点Q ,使DFQ的周长最小,并求此时 尸 。周长的最小值及点Q的坐

6、标.8、如图，直线y= - 3x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y= - x?+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P ,连接P B ,得4PCB之 BOA （ 0为坐标原点） . 若抛物线与x轴正半轴交点为点F ,设M是点C, F间抛物线上的一点（ 包括端点） ，其横坐标为m.（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时， M A B面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（ 3 ）求满足N M P 0=N P 0A的点M的坐标.备用图9、如图，已知抛物线y=ax2+|x+4的对称轴是直线x = 3 ,且与x轴相交于A, B两 点 （B点在A点

7、右侧）与y轴交于C点 .（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（ 不与B、C重合） ，则是否存在一点P ,使4P B C的面积最大. 若存在，请求出4P B C的最大面积；若不存在，试说明理由；（3 ）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N,10、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+ax+c的图象经过点C （ 0, 2）和点D3（4, - 2 ） .点E是直线y = -L x + 2与二次函数图象在第一象限内的交点.3（1）求二次函数的解析式及点E的坐标.（2 ）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，

8、连接MC,OE, M E .求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F ,求点F的坐标.图11、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴相交于人( - 1, 0), B (3, 0)两点，与 y 轴相交于点C (0, -3 ).(1)求这个二次函数的表达式；( 2 ) 若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH，x 轴于点H , 与BC交于点M ,连接PC.求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标.(1)求抛物线的解析式；(2 ) 点P 是抛物线上 一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与

9、直线8 c 及 x 轴分别交于点D、M . P N 工BC ,垂足为N.设M ( T, O ) .点P 在抛物线上运动，若 P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点( 三点重合除外) . 请直接写出符合条件的m的值；当点P 在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P , 使 PN C 与 A O C 相似. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.1 3 、综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y = # + b x + c经过点A ( -4 , 0 ) , 点M为抛物线的顶点，点 8在y 轴上，且 。 4=。 8 , 直线A 3 与抛物线在第一象限交于点C ( 2 , 6 )

10、, 如图.( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 直线4?的 函 数 解 析 式 为 ，点M的 坐 标 为 , c o s Z A B O =；连接O C ,若过点。的直线交线段A C于点P ,将 A O C 的面积分成1 ： 2的两部分，则点P 的坐标为；( 3 ) 在y 轴上找一点Q,使得 4 W 。的周长最小. 具体作法如图，作点A关于y轴 的 对 称 点 连 接M A 交y轴于点Q ,连接AM. A Q ,此时 A M 0的周长最小. 请求出点。的坐标；( 4 ) 在坐标平面内是否存在点N,使以点A 、0 、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请

11、说明理由.1 4 、如图，二次函数y = / + b x + 3 的图像与y 轴交于点A,过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点5 , 抛物线过点0 ( 1 , 0 ) , 且顶点为。， 连接AC、B C、B D、CD.( 1 ) 填空：b=；( 2 ) 点尸是抛物线上一点， 点尸的横坐标大于1 , 直线P C 交直线8 。于 点 若Z C Q D = Z A C B ,求点P 的坐标；( 3 ) 点E在直线AC 上，点E关于直线对称的点为产，点 F关于直线8 c 对称的点为G,连接AG.当点尸在x 轴上时，直接写出AG的长.参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：二次函数综合练习

12、题1 、如图，已知抛物线卜= 火2 过点A ( -3 , 2 ) .4( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 已知直线/ 过点A , M ( | , 0 ) 且与抛物线交于另一点3,与y 轴交于点C ,求证：MC2 = MA.MB ；( 3 ) 若点P ,。分别是抛物线与直线/ 上的动点， 以O C 为一边且顶点为O , C,P ,。的四边形是平行四边形，求所有符合条件的尸点坐标.【 解答】解：（ 1）把点A（ - 3,2）代入卜=依2,4得到2 = 9a,41a ,4 抛物线的解析式为4（ 2）设直线/ 的解析式为y = + ，则有- = -3k + b4O = -k+ b2解得k = -

13、 -27 3b =4直线/ 的解析式为y = -g x + ；,令x = 0 ,得到y3.*.C(0,-),4y =由 y =4x = x = -3解得 1或 95（ i,一 ） ,4如图1中，过点A作轴于4 ，过8作 网_Lx轴于耳, 则阴 0C/A4,图13BM MB, _ 2 - _ 1MC - MO 3 -32MC _ MO _ 2 _ 1而 = 福 = g _ （ _3） =. BM MCl, M C M AfB P MC2 = MAMB .图2 OC为一边且顶点为O, C, P。的四边形是平行四边形,.P D /O C9 PD = OC,。 （ 兀 - -1 H ） ,2 4, 1

14、 2 z 1 3、I 3匕/ 一 （ 一三十二* ; ，4 2 4 4整理得：产+2r-6 = 0或r+ 21= 0,解得/ = 一1- 我 或T = V7或一2或0 （ 舍弃） ,. . 尸（ -1 -7 7 , 2 + ）或（ -1 + V7, 2- 与 或 （ 一2,1） .2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线, =办2 + -一2交工 轴于A, 8两点，交y轴于点C,且。4 = 2OC = 8OB . 点P是第三象限内抛物线上的一动点.( 1 ) 求此抛物线的表达式；( 2 )若PCHAB,求点P的坐标；( 3 ) 连接AC,求A ftA C 面积的最大值及此时点尸的坐标.解： 由 y

15、 = 可得点。 ( 0 , - 2 ) , 即 O C = 2 .( 1 、V OA = 2OC = SOB , 二 4 - 4 , 0 ) , B , 0 .7把A , 8两点坐标代入y = o ? + 法一2,解得a = I , b = ：,7 抛物线的表达式为y = /+ ；x 2 .( 2 ) PCI IAB, C ( 0 , 2 ) , . . 点 P 的纵坐标为 一2 ,7 - 2 = x H x- 2 .27解得西二一鼻，兀 2 =。( 舍 ) .( 3 ) 设直线AC的表达式为了 =履 - 2 ( 女工0 ) ,把A ( - 4 , 0 ) 代入可得 = - ; ，直线AC的表

16、达式为y = - - x- 2 .过点尸作x 轴的垂线，垂足为O,交线段AC于点E；过点C作C M L P E , M 为垂足.设点尸 加, / + g 加一2)( 4 加 0 ) , 则点 PE - PD-ED = - f m2 +m -2 f m + 2 - -m2 -4/n.(2 J (2 J* iXPiAC = S ZPE + S刖 E C = PE , AD H P E , MC PE , AOZiV 4V1I L A I C v 2 2 2= - x-m2 - 4m)x4 = -2m2一 8m=-2(m + 2)2+8当m= 2时,S /S P A C最 大=8 7 77 7 22

17、 + m -2 = (-2)2 + x(-2 )-2 = -52 2故点尸( 2, 5).3、如图，抛物线y=ax2+bx - 1 与 x 轴交于A (1, 0)、B (6, 0 ) 两点，D 是y 轴上一点，连接D A ,延长DA交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2 ) 若 E 点在第一象限，过点E 作 EFx轴于点F, A A D 0与AAEF的面积比为也 独 =工 ，求出点E 的坐标;5AEF 9(3 )若 D 是y 轴上的动点， 过 D 点作与x 轴平行的直线交抛物线于M、 N两点，是否存在点D , 使 DA2=DMDN?若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【

18、解答】解：(1 ) 将 A (1, 0), B (6, 0 ) 代入函数解析式，得9a + b -=0936a+6b 号二 0解得34抛物线的解析式为y= - Wx2+ x - 1；4 4(2 ) ,.,EF_Lx 轴于点 F,ZAFE=90.V ZAOD=ZAFE=90, NOAD=/FAE,/ .AODAAFE. SAAD0 _AO_1 - -，AAEF 葩 9VAO=1,，AF=3, OF=3+1=4,当 x=4 时，y =- 上X42+9X 4 - 2 = 2 ,4 4 2 2；.E点坐标是(4, 2 ) ,( 3 )存在点D ,使DA2=DMD N ,理由如下:设D点坐标为(0, n

19、),AD2=l+n2,当 y=n 时，- 工x2+& x - 2=n4 4化简，得- 3X2+21X - 18 - 4n=0,设方程的两根为Xi，X2,DM=Xi， DN=X2,DA2=DM*DN, gp l+M =18+4n ,化简，得3n2 - 4n - 15=0,解得 ni=，ri2=3,3.D 点坐标为（0 , 一至）或（0, 3） .34、已知抛物线y = -1 x2 -W x的图象如图所示：2 2（1）将该抛物线向上平移2 个单位，分别交x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点C,则平移后的解析式为Y= - 1X2 - Wx+2 .2 2_（ 2）判断A B C的形状，并说明理由.（

20、3）在抛物线对称轴上是否存在一点P , 使得以A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.故答案为：y= - - x2 - -x+2；2 2( 2 ) 当 y=0 时，- l x2 - Wx+2=0,解得 xi= - 4, x2= l , 即 B ( - 4, 0), A (1,2 20).当 x=0 时，y = 2 ,即 C (0, 2).AB=1 - ( - 4)=5, AB2=25,AC2= (1 - 0) 2+ (0 - 2) 2=5, BC2= ( - 4 - 0) 2+ (0 - 2) 2=20,VAC2+BC2=AB2,.ABC是直角三角

21、形；( 3 ) y = - -x2 - -x+ 2 的对称轴是 x=-,设 P ( - W , n ) ,2 2 2 2A P2= ( 1 + 为) 2 + n 2 =J l + M , C P 2 =2 + ( 2 - n ) 2, A C2=l2+ 22=52 4 4当A P =A C 时，A P2=A C2,空 + / =5 , 方程无解;4当 A P =C P 时 , A P 2 =C P 2 , 空 + M =2 + ( 2 - n ) 2,解得 n =0 , 即 P i ( - 2 , 0 ) ,4 4 2当 A C =C P 时 A C 2 =C P 2 , 旦+ ( 2 - n

22、 ) 2 =5 , 解得 m =2 + S , n 2=2 - 2 , p2 ( - 2 ,_ 4 2 2 22 + 2 / H ) , P 3 ( 一旦，2 - 且 1 ) .2 2 2综上所述：使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P的坐标（ （0 ) , ( - 之，2 + 1 1 ) , ( - 空 , 2 -2 2 2叵 )25 、如图， 抛物线 y =ax2+ bx - 5 与坐标轴交于 A ( - 1 , 0 ) , B ( 5 , 0 ) , C ( 0 , - 5 )三点，顶点为D .（ 1 ）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（ 2 ）连接B C 与抛

23、物线的对称轴交于点E , 点 P为线段B C 上的一个动点（ 点 P不与B 、C 两点重合） ，过点P 作 P FD E 交抛物线于点F , 设点P的横坐标为m .是否存在点P ，使四边形P E D F为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.过点F 作 FH J _ B C 于点H , 求4 P FH 周长的最大值.【 解答】解：( 1 ) 把 A ( - 1 , 0 ) , B ( 5 , 0 ) 代入抛物线y =ax? + bx - 50 - a- b- 5。 二 2 5 a+ 5 b- 5解得/ . y =x - 4 x - 5，顶点坐标为D ( 2 , - 9 )(

24、2 ) 存在设直线B C 的函数解析式为 y =k x+ b ( k W O )把 B ( 5 , 0 ) , C ( 0 , - 5 ) 代入得A B C 解析式为y =x- 5当 x=m 时，y =m - 5. . P ( m , m - 5 )当 x=2 时，y =2 - 5 = - 3A E ( 2 . - 3 )；P FD E y 轴. . 点F 的横坐标为m当 x=m 时,y =m2 - 4 m - 5. . F ( m , m - 4 m - 5 )P F= ( m - 5 ) - ( m2 - 4 m - 5 ) = - m2+ 5 mV E ( 2 , - 3 ) , D (

25、 2 , - 9 )/ . D E = - 3 - ( - 9 ) =6如图，连接D FV P F/ 7D E. . . 当P F=D E 时，四边形P E D F为平行四边形即 - m2+ 5 m =6解得m i =3 , m , =2 ( 舍去)当 m =3 时，y =3 - 5 =2此时 P ( 3 , - 2 ). . . 存在点P ( 3 , - 2 ) 使四边形P E D F为平行四边形.由题意在 R tZX B O C 中 , O B =O C =5，B C =5 后CA BO C= 1 0 + 5A/ 2；P FD E y 轴. , . ZFP E =ZD E C =ZO C

26、BV FH B C/ . ZFH P =ZB 0 C =9 0 . , . P FH A B C O.CA P FH _P F, B C O B C艮 口 CA PI：H= ( - m + 5 m ) =( V 2 + 1 ) (-m + 5 i n )W2V 0 m =吠+ 的解析式为y = x + 3 .( 2)直线BC与对称轴x = T的交点为M,则此时M 4 + MC的值最小， 把x = - l代入直线y = x + 3得y = 2,. . . . 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为( - 1 , 2) .( 注：本题只求M坐标没说要证明为何此时M 4 + MC的值

27、最小，所以答案没证明M 4 + MC的值最小的原因) .( 3 )设又例 3 , 0) , C ( 0, 3 ) ,二 8。2 = 1 8, P B 2=( 1 + 3 +产= 4 +产，P C2 =( - l )2+ ( f - 3 )2 =r2- 6 + 1 0,若点8为直角顶点，则BCPBPC?即：1 8 + 4 + / = / _ 6 / + 1 0解之得：t = -2 ,若点。为直角顶点， 则8。2 + ?。2 =依2即：1 8 +产 一 6 7 + 1 0 = 4+ 产解之得：f = 4,若点P为直角顶点，则P 82 + P C 2 = 5 C 2即：4 +产+ 产6 ， + 1

28、0 = 1 8解之得:3 + V 1 7 3 - V 1 74 = - - - -2- - - ， , 22 = - - - -2- - - -综上所述P的坐标为( - 1 , - 2)或( - 1 , 4)或( - 1 ,三 普 ) 或( - 1 ,三 普 ) .7、如图，抛 物 线 的 顶 点 为 与y轴交于点5( 0, - g ) ,点尸( 2, 1 )为其对称轴上的一个定点.( 1 )求这条抛物线的函数解析式；(2 )已知直线/ 是过点C Q - 3 )且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P ( 2)到直线/ 的距离为d,求证：PF = d ；( 3 )已知坐标平面内的点。 (4

29、, 3 ) ,请在抛物线上找一点Q ,使DFQ的周长最小，并求此时A D尸 。周长的最小值及点Q的坐标.【 解答】(1)解：由题意抛物线的顶点A ( 2, - l ) ,可以假设抛物线的解析式为y o ( x 2) 1 , .抛物线经过8( 0, 5 ) ，2 = 4 - 1 ,21 . 。 = 一,8抛物线的解析式为y = J( x - 2) 2 - 1 .8( 2 )证明：,.P( 九 ) ,n = -l(zm 。-、22 ) 1 ， 1 1-1 = -m m ,8 8 2 21 . 1 1、 m ),8 2 2:.d = - n r - m - - - ( - 3 ) = -/n2 m

30、+ ,8 2 2 8 2 2 F (2 ,l),PF = J (m -2 )2 + (-7H2 TH- - - I )2 = J-A?4 - - n r1 + m2 m + ,V 8 2 2 V 64 8 8 2 4m 1 4 1 3 7 2 5 25 ” 1 4 1 3 7 2 5 2564 8 8 2 4 64 8 8 2 4:.d2 = PF2,:.P F = d .( 3 )如图，过点Q作Q H ,直线/ 于H ,过点。作 直 线 /于N.DFQ的周长=。 / + 2 2 +尸 。，。 尸是定值= 也2+22 = 26,.DQ + Q尸的值最小时，ADR2的周长最小， QF = QH

31、,/. DQ + DF = DQ + QH ,根据垂线段最短可知，当。，Q , H共线时，OQ + Q”的值最小，此时点与N重合，点Q在线段ON上，/. OQ + Q”的最小值为6,. . 她 尸 。的周长的最小值为2 0 + 6,此时。(4 ,-； ).ODB8、如图，直线y = -3 x + 3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y= - x?+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P ,连接P B ,得4PCB之 BOA （ 0为坐标原点） . 若抛物线与x轴正半轴交点为点F ,设M是点C, F间抛物线上的一点（ 包括端点） ，其横坐标为m.（1）直接写出点P的坐

32、标和抛物线的解析式；（ 2 ）当m为何值时，A M A B面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（ 3）求满足NMPO=NPOA的点M的坐标.【 解答】解：（1）当y=c时 , 有c= - x2+bx+c,解得：xi=0, X2=b,. , . 点C的坐标为（0, c） ,点P的坐标为（b, c） . . 直线y= - 3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,二点A的坐标为（1, 0 ） ,点B的坐标为（0, 3） ,，0B=3, OA=1, BC=c - 3, CP=b.V A PC B A B O A ,ABC=OA, CP=OB,b=3, c=4,. . 点P的坐标为(3, 4 ) ,抛

33、物线的解析式为y= - X2+3X+4.( 2 )当 y=0 时 , 有 -X2+3X+4=0,解得：Xl= - 1, X2=4,二点F的坐标为(4, 0).过点M作MEy轴，交直线AB于点E ,如图1所示.点M的横坐标为m (0 m W 4 ),. . . 点M的坐标为(m, - m 2+3m +4),点E的坐标为(m, - 3m+3),/ . ME= - m2+3m+4 - ( - 3m+3) = - m2+6m+l,/.S=OA*ME= - rr)2+3m+= - (m - 3) 2+5.2 2 2 2*/ - - | x + 4的对称轴是直线x =3 , 且与x轴相交于A , B两 点

34、 （ B点在A点右侧）与y 轴交于C点 .（ 1 ）求抛物线的解折式和A 、B 两点的坐标；（ 2）若点P是抛物线上B 、C两点之间的一个动点（ 不与B 、C重合） ，则是否存在一点P , 使A P B C 的面积最大. 若存在，请求出A P B C 的最大面积；若不存在，试说明理由；（ 3 ）若 M是抛物线上任意一点，过点M作 y 轴的平行线，交直线B C 于点N ,当 M N =3 时，求 M点的坐标.【 解答】解：(1 ) . 抛物线丫=2*2+2*+4的对称轴是直线x=3,23_- - i =3 解得：a= - ,2a 4二抛物线的解析式为y= - l x2+-x+4.4 2当 y=0

35、 时,- -x2+x+4=0,4 2解 得 :xi= - 2, X2=8,，点A的坐标为(-2 , 0 ) ,点B的坐标为(8, 0).( 2 )当 x=0 时，y= - - x2+x+4=4,4 2. . 点C的坐标为(0, 4).设直线BC的解析式为y=kx+b (kWO).将 B (8, 0 )、C (0, 4 )代入 y=kx+b,/ f i 1津 +b R ,解得：k = ,1 b=4 |b=4直线BC的解析式为y= - lx + 4 .假设存在，设点P的坐标为(x, - 1X2+ 1X+ 4 ) ,过点P作PDy轴，交直线BC4 2于点D ,则点D的坐标为(x, - x + 4 )

36、,如图所示.2PD= - - x2+x+4 - ( - x+4) = - -X2+2X,4 2 2 4.-.SAPBC-PD*0B=X8 ( - -x2+2x) = - x2+8x= - (x - 4) 2+16.2 2 4：- l 0 ,. . 当x=4时，P B C的面积最大，最大面积是16.V 0 x 8 ,，存在点P ,使APBC的面积最大，最大面积是16.（3 ）设点M的坐标为（m, - Lm2+Sm+4） ,则点N的坐标为（m, - Lm +4） ,4 2 2/. MN=| - - m2+m+4 - （ - m+4） | = | - - m2+2m | .4 2 2 4又.MN=3

37、,| - - m2+2m | =3.4当 0m 8 时，有 -Lm2+2m+3=0,4解得：rri3=4 - 2-/7 m4=4+2j7，. . 点P的坐标为（4 - 2沂 ，沂 -1）或 （4+2攻 ，- V 7 - 1） .综上所述：M点的坐标为（4 - 2夜 ，V 7 - 1） , （ 2, 6） 、（ 6, 4 ）或 （4+2行 ，-斤1） .10、在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+1+:的图象经过点C （ 0, 2）和点D（ 4, - 2 ） .点E是直线y = - x + 2与二次函数图象在第一象限内的交点.3（1）求二次函数的解析式及点E的坐标.（2）如图，若点M是二次函数

38、图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC,OE, M E .求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.（3 ）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F ,求点F的坐标.【 解答】 解： (1) 把C(0, 2), D(4, - 2 )代入二次函数解析式得:1 6 a +VC =-2 ,c=2解得：a -万 ，即二次函数解析式为丫 =- &2+ x+2,1c=2 3 3，1y=yx+2联立一次函数解析式得： 。匚 ，IT 亭+2消去 y 得： - x+2= - - x2+x+2,3 3 3解 得 :x=0或x=3,则 E (3, 1 )；( 2 )如图，过M作MHy轴，交CE于点H,设 M

39、(m , - - m2+m + 2 ),贝U H (m , - m+2),3 3 3/ . MH= ( - m2+m+2) - ( - m+2) = - - m2+2m,3 3 3 3S 四 边 形COEM=SAOCE+SACME= L X 2 X 3+ LMH 3= - m2+3m+3,2 2当m = -b = 3时，S最 大= 2 1 ,此时M坐标为( 工，3 )；a 2 4 2(3 )连接B F ,如图所示，当 -2x2+Cx+20=0 时，xi= , X2= ,3 3 4 4OB/ 辿4 4VZACO=ZABF, ZAOC=ZFOB,.,.AOCAFOB,氏- 5，- ，0OAF.-0

40、OCB ，即即 -541 _一 斤+_5 4解得：OF=W,211、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴相交于A ( - 1, 0), B (3, 0)两点，与y 轴相交于点C (0 , - 3).(1)求这个二次函数的表达式；( 2 ) 若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH_Lx轴于点H , 与BC交于点M ,连接PC.求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标.【 解答】解：(1)将 A, B, C 代入函数解析式，得a-b+c=0/2 - 3= - 2/2 - 1，P( , - 2& - 1).当 PM=MC 时，(- n

41、2+3n) 2=n2+ (n - 3+3) 2,解得 廿0 ( 不符合题意，舍) ，n2= -7 ( 不符合题意，舍) ，n3=l,n2 - 2n - 3=1 - 2 - 3= - 4,P (1, - 4)；综上所述：P (1, - 4 )或 2A/2 - 1)-12、如图，抛物线y = g / + A + c与x轴交于A、B两 点 ( 点A在点B左边) ,与y轴交于点C .直线y = g x - 2经过B、C两点.备用图（1）求抛物线的解析式;( 2 ) 点P 是抛物线上 一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线8C 及 x 轴分别交于点D、M. P N L B C ,垂足为N . 设点P

42、 在抛物线上运动，若 P、D、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点 ( 三点重合除外) . 请直接写出符合条件的m 的值；当点P 在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P , 使PNC与AOC相似. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【 详解】解：( 1 ) 由直线y = ； x 2经过B、C 两点得B (4, 0), C (0, -2)将 B、C 坐标代入抛物线得c _ _2 h =Q Z 解得 2 ，8 + 4/?+c = 0 i c - -2i 7，抛物线的解析式为：y = x2- x - 2；( 2 ) ：PN _LBC,垂足为 N. M(m,0)1 , 3

43、1P (m, m2), D ( m ,一， 九 一 2),2 2 2分以下几种情况：I 1 3M 是 PD 的中点时，MD=PM, B P 0- (-m -2 ) =-m2 一 一 m -22 2 2解得叫= -2 ,网 =4 ( 舍去) ;i i 3P 是 MD 的中点时，MD=2MP,即 一， ” 一2=2 ( - / 2一一m_2)2 2 2i 3 |D 是 MP 的中点时，2MD=MP,即一加2一一m-2=2 (-m -2 )2 2 2解得 4 = 1 ,生=4 （ 舍去） ;AA (-1, 0), B (4, 0), C (0, -2)，AO=1, C0=2, B0=4,又 NAOC

44、=NCOB=90。 ，CO BOAAOCSACOB ,：. ZACO=ZABC,：与AOC 相似: . ZACOZPCN ,: . ZABC=ZPCN,AB/PC ,i a点P 的纵坐标是- 2 ,代入抛物线y = 一 1 x 2 , 得x2 - - x - 2 - 22 2解得：西=。 （ 舍去） ，无2 =3,. . 点P 的坐标为：（ 3 ,-2 ）13、综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y= # + 云+c经过点A ( - 4, 0 ) , 点M 为抛物线的顶点，点 8 在y 轴上，且 。 4 = 。 8 , 直线AB与抛物线在第一象限交于点C (2, 6 ) , 如图.( 1 )

45、求抛物线的解析式；(2 )直线A B的函数解析式为y=x+4 , 点M的坐标为 ( - 2, - 2) ,cosN A B O =；连接O C ,若过点0的直线交线段AC于点P ,将AOC的面积分成1： 2 的两部分，则点P 的坐标为 ( -2, 2 ) 或 ( 0 , 4 ) ；( 3 ) 在y 轴上找一点0 , 使得AM。的周长最小. 具体作法如图，作点A关于y 轴的对称点A , 连接M4交 y 轴于点。 ，连接AM、A Q ,此时AM0的周长最小. 请求出点Q 的坐标；( 4 ) 在坐标平面内是否存在点N ,使以点A、0 、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标

46、；若不存在，请说明理由.图f l- X 1 6 4 b + c = 02工 x 4 + 2 b + c = 61 2【 解答】 解:( 1 ) 将点A 、 C 的坐标代入抛物线表达式得： 解得 ； ，故直线A B的表达式为：产( 2 ) 点 A ( - 4 , 0 ) , O B = O A = 4 ,故点 3 ( 0 , 4 ) ,由点A 、8的坐标得，直线A B的表达式为：y =x + 4 ；则 N AB O =4 5 ,故 c o s N A 3 O =j ；对于y =|x 2 + 2 x , 函数的对称轴为 = -2 , 故点M ( - 2 , - 2 ) ；O P将 AO C的面积分

47、成1 ： 2的两部分，则AP= |AC或|AC,则关= 1或3 即9 = 4/解得：”= 2或%故点尸( - 2 , 2 ) 或 ( 0 , 4 ) ；故答案为:y=x+ 4； ( - 2 , - 2 ) ； y； ( - 2 , 2 ) 或 ( 0 , 4 ) ；( 3 ) AM Q 的周长=AM + AQ + M Q =AM + A M 最小，点 A ( 4 , 0 ) ,设直线4 M的表达式为：y=kx+ b,则卜5。 ? 1。,解得I 2 k + b = 2故直线A M的表达式为：令x = 0 , 则 y = - 故点 Q ( 0 , - 1 ) ;( 4 ) 存在，理由：设点 N (

48、 m , ) ，而点 A 、C 、。的坐标分别为( - 4 , 0 ) 、( 2 , 6) 、( 0 , 0 ) ,当A C 是边时，点A 向右平移6 个单位向上平移6 个单位得到点C ,同样点O ( N ) 右平移6个单位向上平移6 个单位得到点N ( 。) ，即 0 土6 = 加，0 6= ，解得：m=n= 6,故点 N ( 6, 6 ) 或 ( - 6, - 6) ；当A C 是对角线时，由中点公式得：-4 + 2=M+0, 6+ 0 =+ 0 ,解得：加 =- 2 , =6,故点 N ( - 2 , 6) ；综上，点N的坐标为( 6, 6 ) 或 ( - 6, - 6 ) 或 ( -

49、2 , 6) .1 4 、如图，二次函数 = / + 法 + 3 的图像与y 轴交于点4,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点8 , 抛物线过点。 ( 1 , 0 ) , 且顶点为 。， 连接A C 、B C、B D、CD.( 1 ) 填空：b =；( 2 )点P 是抛物线上一点， 点 P 的横坐标大于1 , 直线P C 交直线8 。于点Q . 若N C Q D = Z A C B ,求点P 的坐标；( 3 )点E 在直线A C上，点 E 关于直线8 。对称的点为E点F 关于直线B C 对称的点为G,连接A G.当点F 在x 轴上时，直接写出A G的长.【 详解】解：( 1 ) 抛物线过点

50、C ( 1 , 0 ),. , . 将 C ( 1 , 0 ) 代入 y = x 2 +bx +3 得 0 = l +b+3 ,解得b= - 4 ,故答案为：- 4 ；( 2 )由 ( 1 )可得抛物线解析式为：y = f 一以+3 ,当 x = 0 时，y= 3 ,. . . A的坐标为( 0 , 3 ),当 y= 3 时得3 = / 一4X+3 ,解得 x i = 0 , X2 = 4 ,. . 点B 的坐标为( 4 , 3 ),y = x2 - 4 % +3 = ( x - 2 )- - 1 ,. . . 顶点D 的坐标为( 2 , - 1 ),设 B D 与 x 轴的交点为M,作CHL

51、A B 于 H , D G _ L C M 于 G ,t an ZAC H = t an ZO AC = ,3根据勾股定理可得BC = 3 后 ，C D = 0 , BD= 2 岔,.,.BD=VBC2 + CD2 -/.ZBCD=90o,/. tanZCBD=-，3.,.ZACH=ZCBM,VZHCB=ZBCM=45,NACH+NHCB=NCBM+NMCB,即 NACB=NCMD,Q 在 CD上方时：若NCQO = Z 4 C 8 ,则Q 与M 点重合，y = / -4%+3 中，令 y = 0 ,解 得 : x=l 或 3,. . 抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（ 3, 0） ,即此时P

52、 的坐标为（ 3, 0） ；Q 在 CD下方时：过点Q 作 QK，x 轴，过点C 作 CLLQM于点L , 过点A 作ANLBC 于点 N,可得：AB 4, BC= 3V2 AC= 910 , 设 C N =x,则 BN= 3-2 ,在 ABC 中，AC2- CN2 = AB2- BN2，即（ 而 一 =42 一 9 五一无，解得：x = e ,/. cos N ACN= ,AC 5设直线BD的表达式为：y=mx+n,将 B, D 代入得：3 = 4m + f m = 2 . 点C和 C关于直线B D 对称,. , . C R= C R= ；B D =6则有( p _3 1 +( q _l )

53、2 = ( 可p1 - 6 p + q1 - 2 + 5 = 0 即- 得：p = l-2 q ,代入,解得：4 = 或 0 ( 舍)，代入中，得：” = / ,17P - -解得： 即点C， ( 1 , T),0 5 51 7求得直线C，N，的表达式为：y = -x-,3 3 . 点F 在x 轴上，令y = 0 ,则x=7,. . 点 F (7, 0),又 点F 和点G 关于直线BC对称，BC： y = x -l,连接CG,可得 NBCF=45o=NBCG,.ZFCG=90o,，CG=CF=6,. . . 点G 的坐标为(1 ,6 ),又 A (0, 3),.AG的长为7 ? 行 = 而 .