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1、9.1三角形的角平分线、三角形的角平分线、中线和高中线和高22.线段中点的定义线段中点的定义：3.角平分线的定义角平分线的定义：1.垂线的定义：垂线的定义：一条射线把一个角分成两一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。做这个角的平分线。把一条线段分成两条相等把一条线段分成两条相等的线段的点的线段的点。当两条直线相交所成的四个角当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。条直线叫做另一条直线的垂线。你还记得你还记得 “过一点画已知直线的垂线
2、过一点画已知直线的垂线” 吗吗?0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5画法画法0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 过三角形过三角形的一个顶点，你能画出的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗它
3、的对边的垂线吗?BAC三角形的高三角形的高A从三角形的一个顶点从三角形的一个顶点BC向它的对边向它的对边所在直线作垂线所在直线作垂线，顶点顶点和垂足和垂足D之间的线段之间的线段叫做叫做三角形这边的高，三角形这边的高，简称简称三角形的高。三角形的高。如图如图, 线段线段AD是是BC边上的高边上的高. 任意画一个任意画一个锐角锐角ABC,和垂足的字母和垂足的字母.AB BC C请你画出请你画出BC边上的高边上的高.注意注意注意注意! ! ! ! ! 标明标明 垂直的记号垂直的记号D锐角三角形的三条高锐角三角形的三条高 每人每人画一个锐角三角形纸片。画一个锐角三角形纸片。(1) 你能画出这你能画出这
4、个三角形的三条高吗个三角形的三条高吗?(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点.(2) 你能用折纸的办法得到它们吗你能用折纸的办法得到它们吗?O锐角三角形的三条高是锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部锐角三角形的三条高都在三角形的内部锐角三角形的三条高都在三角形的内部锐角三角形的三条高都在三角形的内部。ABCDEF使折痕过顶点使折痕过顶点,顶点的顶点的对边边缘重合对边边缘重合直角三角形的三条高直角
5、三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形在纸上画出一个直角三角形。将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流. .A AB BC C(1) 画出画出直角三角形的三条高直角三角形的三条高,直角边直角边BC边上的高是边上的高是 ; ;ABAB直角边直角边AB边上的高是边上的高是 ; ;CBCB它们有怎样的位置关系？它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高直角三角形的三条高交于直角顶点交于直角顶点.D D斜边斜边AC边上的高是边上的高是 ; ;BDBD钝角三角形的三条高钝角三角形的三条高ABCDEF议一议议一议(1) (1) 钝角三角形的钝角三角形的 三条高交于一点吗？三条高交于一点吗？钝钝钝钝
6、 角三角形的角三角形的角三角形的角三角形的三条高不相交于一点三条高不相交于一点三条高不相交于一点三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.钝角三角形的三条高所钝角三角形的三条高所在直线交于一点在直线交于一点O小结小结:三角形的高三角形的高从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段顶点和垂足之间的线段 叫做叫做三角形这边的高。三角形这边的高。三角形的三条高的特性：三角形的三条高的特性：v高所在的直线是否相交高所在的直线是否相交v高之间是否相交高之间是
7、否相交v高在三角形内部的数量高在三角形内部的数量v钝角三角形钝角三角形v直角三角形直角三角形v锐角三角形锐角三角形311 1相交相交相交相交相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条高所在直线交于一点三条高所在直线的三条高所在直线的交点的位置交点的位置三角形内部三角形内部直角顶点直角顶点三角形外部三角形外部三角形的中线三角形的中线在在三角形中三角形中,连接一个连接一个顶点与它对边中点的线段顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线叫做这个三角形这边的中线.ABCDAD是是 ABC的中线的中线 BD=CD= 12BC 任意画一个三角形任意画一个三
8、角形,然后利用然后利用刻度尺刻度尺画出画出 这个三角形三条边的中线这个三角形三条边的中线,你发现了什么你发现了什么?三角形的三条中线相交于一三角形的三条中线相交于一点点,交点在三角形的内部交点在三角形的内部.三角形中线的理解三角形中线的理解EFO三角形的角平分线三角形的角平分线叫做三角形的角平分线。叫做三角形的角平分线。ABCD AD是是 ABC的角平分线的角平分线 BAD = CAD = BAC 任意画一个三角形任意画一个三角形,然后利用然后利用量角器量角器画出画出 这个三角形三个角的角平分线这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么你发现了什么?在三角形中，一个在三角形中，一个内角的角平分线
9、与它的对边相交，内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于三角形的三条角平分线相交于一点一点,交点在三角形的内部交点在三角形的内部12ACBFEDO BE是是ABC的角平分线的角平分线 _=_= _ACB=2_=2_ ABE CBE ABC ACF CF是是ABC的角平分线的角平分线 BCF 三角形的角平分线与角的三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别平分线有什么区别？思思考考三角形的角平分线是一条线段三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线角的平分线是一条射线角平分线的理解角平分线的理解现在做中考题现在做中
10、考题如图如图,在在ABC中中, 1= 2,G为为AD中点中点,延长延长BG交交AC于于E,F为为AB上一点上一点,CF AD于于H,判断下列判断下列说法那些是正确的说法那些是正确的,哪些是错误的哪些是错误的.ABCDE12FGHAD是是 ABE的角平分线的角平分线 ( )BE是是 ABD边边AD上的中线上的中线 ( )BE是是ABC边边AC上的中线上的中线 ( )CH是是ACD边边AD上的高上的高 ( )三角形的高、中线与角平分线都是线段三角形的高、中线与角平分线都是线段拓展练习拓展练习2 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么
11、这个三角形是顶点，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D.锐角三角形锐角三角形1 1、下列各组图形中下列各组图形中，哪一组图形中哪一组图形中AD是是ABC 的高的高( )A AD DC CB BA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD D( (A A) )( (B B) )( (C C) )( (D D) )BD3、三角形的三条高相交于一点，三角形的三条高相交于一点， 此一点定在此一点定在（ ） A. 三角形的内部三角形的内部 B.三角形的外部三角形的外部 C.三角形的一条边上三角形的一条边上 D. 不
12、能确定不能确定 D课堂探究课堂探究拓展练习拓展练习4、如图，在、如图，在ABC中，中，AE是中线，是中线，AD是角平是角平分线，分线，AF是高。填空：是高。填空：（1）BE= = ；（2）BAD= = ；（3）AFB= =90；CEBCCADBACAFC拓展练习拓展练习5.如图如图2所示所示,D,E分别是分别是ABC的边的边AC,BC的中点的中点,则下列说法不正确的是则下列说法不正确的是( ) A.DE是是BCD的中线的中线 B.BD是是ABC的中线的中线 C.AD=DC,BD=EC D.C的对边是的对边是DEC拓展练习拓展练习3、填空：、填空： （1）如图（）如图（1），），AD，BE，CF
13、是是ABC的三条中线，则的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。 （2）如图（如图（2），）， AD，BE，CF是是ABC的三条角平分线，的三条角平分线，则则1= , 3= , ACB=2 。 AFCDAC 2 ABC46、填空：、填空： （1）如图（）如图（1），），AD，BE，CF是是ABC的三条中线，则的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。 （2）如图（如图（2），）， AD，BE，CF是是ABC的三条角平分线，的三条角平分线，则则1= , 3= , ACB=2 。 2、同上题图，若、同上题图，若ACD的面积为的面积为 ，则，则ABC的面积为的面积为 . 1、如图，已知：、
14、如图，已知：AD是是ABC的中线，的中线，ABC的面积为的面积为 ,则则ABD的面积是的面积是 .ABCD50cm225cm280cm240cm260cm2120cm230cm260cm2填一填填一填3、如图，在、如图，在ABC中，中，CE，BF是两条高，若是两条高，若A= ，BCE= ，则，则EBF的度数的度数是是 ，FBC的度的度数是数是 .2520403050652540207040ABCEF填一填填一填例例1 1 如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是ABCABC的高的高AEAE 是是ABCABC的角平分线的角平分线. .已知已知BAC=82BAC=82 C=40C=40，求
15、，求DAEDAE的大小。的大小。解：解： AEAE是是BCBC边上的角平分线边上的角平分线, , 且且BAC=82 EAC= BAC=41 ADAD是是ABC的高的高, , ADC=90 DAC+ C =90(根据什么根据什么?) DAC=90C =9040=50 DAE= DACC=5041=9 ABCED例例2 如图如图1-15,在在ABC中中,AE,AD分别是分别是BC边上边上中线和高中线和高,说明说明ABE的面积与的面积与AEC的面积相等的面积相等.从这个例题你有什么发现吗从这个例题你有什么发现吗?ABDEC图图1-15解：解： AEAE是是BCBC边上的中线边上的中线 BE = EC
16、BE = EC例例3 3：如图：如图,AEAE是是 ABCABC的角平分线的角平分线.已知已知 B=40B=400 0, C=60C=600 0 ,求下列角的求下列角的大小大小. ( (1) 1) CAECAE (2) BEA (2) BEAA AC CB BE E例例4 4：如图，如图，ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的中边上的中线，若线，若ABCABC的周长为的周长为3535cmcm，BC=11cmBC=11cm，且且ABDABD与与ACDACD的周长差为的周长差为3 3cmcm，求求ABAB与与ACAC的长的长。ACDB1 1：如图，在：如图，在ABCABC中，中， AFAF
17、是是ABCABC的角的角 平分线，平分线，AEAE是是BCBC边上的中线。在选择边上的中线。在选择“”，“”“”号填空。号填空。（1 1）BEBEECEC；（2 2）CAFCAF BAC；BACE F2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABCABC的角平分线与的角平分线与ACBACB的角平分线交于点的角平分线交于点P P。（。（1 1）若若A=50A=500 0，求求BPCBPC的的度数度数 ；ACPB（2 2）若）若A=A=，试用试用的代数式表示的代数式表示BPCBPC。3.如图，如图，AD是是ABC的中线，的中线，AB=8，AC=6，则则ABD 与与ACD的的周长差为周长差为多少？
18、多少？ ABD 与与ACD的的面积差为多少面积差为多少？ABCD1、如图，、如图， 分别是分别是ABC的高和角平线，的高和角平线， ， 则则 =_度度.2、如图、如图 ， 平平分分 ，交，交AB于于E，则则 =_ 度度.看你会不会看你会不会今天我们学了什么呀？今天我们学了什么呀？1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法。及它们的画法。2. .三角形的高、中线、角平分线三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应用。几何表达及简单应用。知识小结知识小结三角形的三角形的重要重要线线段段概念概念图图形形表示法表示法三角形三角形的高的高线线从三角形的一个从
19、三角形的一个顶顶点向它的点向它的对边对边所在的直所在的直线线作垂作垂线线, ,顶顶点和垂足之点和垂足之间间的的线线段段ADAD是是ABCABC的的BCBC上的上的高高线线.ADBCADBCADB=ADC=90ADB=ADC=90.三角形三角形的中的中线线三角形中三角形中, ,连结连结一一个个顶顶点和它点和它对边对边中的中的线线段段 AD是ABC的BC上的中线. BD=CD= BC. 三角形的三角形的角平分角平分线线三角形一个内角三角形一个内角的平分的平分线线与它的与它的对边对边相交相交, ,这这个角个角顶顶点与交点之点与交点之间间的的线线段段.AD是ABC的BAC的平分线 1=2= BAC 归纳小结归纳小结名称名称 基本图形基本图形画法画法性质性质高高三角板或量三角板或量角器画垂线角器画垂线的一部分的一部分三条线相交于三条线相交于三角形内、外三角形内、外或边上一点或边上一点中线中线得用刻度尺得用刻度尺画两点之间画两点之间的线段的线段三条中线相交三条中线相交于三角形内一于三角形内一点，且把三角点，且把三角形分成面积相形分成面积相等的两部分等的两部分角平角平分线分线利用量角器利用量角器画角的平分画角的平分线的一部分线的一部分三条角平分线三条角平分线相交于三角形相交于三角形内一点，且这内一点，且这点到三边的距点到三边的距离相等离相等DACBDACBDACB
