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1、14321 等边三角形（一） 第九课时 教学目标 （一）教学知识点 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程 （二）能力训练要求 1经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维 2经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点 （三）情感与价值观要求 1积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲 2在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明 教学难点 1等边三角形判定定理的发现与证明 2引导学生全面、周到地思考问题 教学
2、方法 探索发现法 教具准备 多媒体课件，投影仪 教学过程 提出问题，创设情境 师 我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，叫等边三角形回答下面的三个问题 （演示课件） 1把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ 2一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 3 你认为有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形吗？ 你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流 （教师应给学生自主探索、思考的时间） 生甲 由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等
3、于 60 生乙 等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了 生丙 等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60，我认为等腰三角形的三个内角都等于 60，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了 （此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论， 教师可让同学代表发表自己的看法） 生丁 我不同意这个同学的看法， 因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形 根据等角对等边， 三个内角都是 60， 所以它们所对的边一定相等， 但这一问题中 “已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形” ， 我觉得他给的条件太多，浪费! 师 给三个角都
4、是 60，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？ 下面同学们可以在小组内交流自己的看法 导入新课 探索等腰三角形成等边三角形的条件 生 如果等腰三角形的顶角是 60，那么这个三角形是等边三角形 师 你能给大家陈述一下理由吗？ 生 根据三角形的内角和定理， 顶角是60 ， 等腰三角形的两个底角的和就是180-60=120，再根据等腰三角形两个底角是相等的， 所以每个底角分别是 1202=60，则三个内角分别相等，根据等角对等边， 则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为 60的等腰三角形为等边三角形 生 等腰三角形的底角是 60，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和
5、等角对等边、等边对等角的性质 师 从同学们自主探索和讨论的结果可以发现： 在等腰三角形中， 不论底角是 60，还是顶角是 60，那么这个等腰三角形都是等边三角形 你能用更简洁的语言描述这个结论吗？ 生 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 （这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点， 难点是意识到分别讨论 60的角是底角和顶角两种情况这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法） 师 你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？ 生 我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是 60” ，在等腰三角形中有两种
6、情况： （1）这个角是底角； （2）这个角是顶角也就是说我们思考问题要全面、周到 师 我们来看有多少同学意识到分别讨论 60的角是底角和顶角的情况， 我们鼓掌表示对他们的鼓励 今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形， 我们在证明这个定理的过程中， 还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？ 生 三个角都相等的三角形是等边三角形 师 下面就请同学们来证明这个结论 （投影仪演示学生证明过程） 已知：如图，在ABC中，A= B=C 求证：ABC是等边三角形 证明：A= B， CAB想证明的数学活动过程发展合情推理能力和初步的演绎推理能力能有条教
7、学重点等边三角形判定定理的发现与证明教学难点等边三角形判定定形的性质和判定定理我们知道在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形 BC=AC （等角对等边） 又A= C， BC=AC （等角对等边） AB=BC=AC，即ABC是等边三角形 师 这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到 （演示课件） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60； 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 师 有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理 （演示课件） 例 4 如图， 课外兴趣小组在一次测量活动中， 测得APB=60 ，AP=BP=200m ， 他们
8、便得出一个结论：A、B 之间距离不少于 200m ，他们的结论对吗？ 分析：我们从该问题中抽象出APB ，由已知条件APB=60 且AP=BP ， 由本节课探究结论知APB为等边三角形 解：在APB中，AP=BP ，APB=60 ， 所以PAB= PBA=12（180-APB ）=12（180-60）=60 于是PAB= PBA= APB 从而APB为等边三角形，AB的长是 200m ， 由此可以得出兴趣小组的结论是正确的 随堂练习 （一）课本 P145 练习 1 、2 1等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三
9、个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线） 2如图，等边三角形 ABC中，AD是 BC上的高，BDE= CDF=60 ， 图中有哪些与BD相等的线段？ EDCABF 答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF （二）补充练习 如图，ABC是等边三角形，B 和C 的平分线相交于 D，BD 、CD 的垂直平分线分别交 BC于 E、F，求证：BE=CF 60ABP想证明的数学活动过程发展合情推理能力和初步的演绎推理能力能有条教学重点等边三角形判定定理的发现与证明教学难点等边三角形判定定形的性质和判定定理我们知道在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形21EDCABF 证明：连结 DE
10、、DF ，则 BE=DE ，DF=CF 由ABC是等边三角形，BD平分ABC ，得1=30，故2=30，从而DEF=60 同理DFE=60 ， 故DEF是等边三角形 DE=DF ， 因而 BE=CF 课时小结 这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件， 并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用 课后作业 （一）课本 P1475、6、7、10 题 （二）预习 P145P146 活动与探究 探究：如图，在等边三角形 ABC的边 AB 、AC 上分别截取AD=AE ADE是等边三角形吗？试说明理由 过程：通过分
11、析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定 结果： 已知：三角形 ABC为等边三角形D、E为边 AB 、AC上两点，且 AD=AE 判断ADE是否是等边三角形，并说明理由 解：ADE是等边三角形， ABC是等边三角形， A=60 又AD=AE ， ADE是等腰三角形 ADE是等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形） 板书设计 14321 等边三角形（一） 一、探索等边三角形的性质及判定 问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形 二、等边三角形的性质及判定 EDCAB想证明的数学活动过程发展合情推理能力和初步的演绎推理能力能有条教学重点等边三角形判定定理的发现与证明
12、教学难点等边三角形判定定形的性质和判定定理我们知道在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形 三、应用例题讲解 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定 性质 判定的条件 等腰三角 形（含等 边三角形） 等边对等角 等角对等边 “三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合 有一角是 60的等腰三角形是等边三角形 等边三角形的三个角都相等，且每个角都是 60 三个角都相等的三角形是等边三角形 参考例题 1 已知，如图，房屋的顶角BAC=100 ，过屋顶 A的立柱 AD BC 屋椽 AB=AC ，求顶架上B、C、BAD 、CAD的度数 解
13、：在ABC中， AB=AC （已知） ， B=C（等边对等角） B=C=12（180-BAC ）=40（三角形内角和定理） 又AD BC （已知） ， BAD= CAD （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合） BAD= CAD=50 2已知：如图，ABC是等边三角形，BD是中线，延长 BC到 E，使 CE=CD 求证：DB=DE 证明：ABC是等边三角形，且 BD是中线， BD AC ，ACB=60 ，DBC=30 又CD=CE ， CDE= E=12ACB=30 DBC= E DB=DE 3已知：如图，ABC是等边三角形，DE BC ，交 AB 、AC于 D、E 求证：ADE是等边三
14、角形 证明：ABC是等边三角形（已知） ， A= B=C（等边三角形各角相等） DE BC ， DCABEDCABDCAEB想证明的数学活动过程发展合情推理能力和初步的演绎推理能力能有条教学重点等边三角形判定定理的发现与证明教学难点等边三角形判定定形的性质和判定定理我们知道在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形 ADE= B，AED= C（两直线平行，同位角相等） A= ADE= AED ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形） 想证明的数学活动过程发展合情推理能力和初步的演绎推理能力能有条教学重点等边三角形判定定理的发现与证明教学难点等边三角形判定定形的性质和判定定理我们知道在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形
