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1、学习必备 欢迎下载 不等式恒成立问题 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 60 知识点 函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法 教学目标 掌握解决恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法； 教学重点 运用函数、导数解决恒成立问题 教学难点 推理能力和准确的计算能力的培养 学习必备 欢迎下载 教学过程 一、课堂导入 纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答从实际教学来看，这部分知识能力
2、要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理本节课我们将就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 二、复习预习 新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化
3、归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 三、知识讲解 考点 1 函数性质法 有以下几种基本类型： 类型 1：设2( )(0).f xaxbxc a （1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a 类型 2：设2( )
4、(0).f xaxbxc a （1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立,222( )00( )0.bbbaaaff 或或 ,0)(xxf在上恒成立( )0,( )0.ff （2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0,0.ff 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 ,0)(xxf在上恒成立,222( )00( )0.bbbaaaff 或或 注：( )0f x 恒成立min( )0f x（注： 若( )f x的最小值不存在， 则(
5、)0f x 恒成立( )f x的下界大于 0） ；() 0f x 恒成立max( )0f x（注：若( )f x的最大值不存在，则( )0f x 恒成立( )f x的上界小于 0） 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点 2 分离参数法极端化原则 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围利用分离参数法来确定不等式 ,0f x（Dx，为实参数）恒成立中参数的取值
6、范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 gf x（或 gf x）恒成立的形式； （2）求 f x在xD上的最大（或最小）值； （3）解不等式 max( )gf x(或 mingf x) ，得的取值范围 适用题型： （1）参数与变量能分离； （2）函数的最值易求出 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点 3 主参换位反客为主法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数
7、的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“ 反客为主” ，即把习惯上的主元变与参数变量的“ 地位” 交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“ 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村” 的出奇制胜的效果 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点 4 数形结合直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为( )( )f xg x（或( )( )f xg x）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图
8、像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点 5 不等式能成立问题的处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式 f xk成立，则等价于在区间D上 maxf xk； 若在区间D上存在实数x使不等式 f xk成立，则等价于在区间D上的 minf xk 注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别从集合观点看，含参不等式 f xk f xk在区间
9、D上恒成立 maxDx fxkfxk minDx f xkf xk，而含参不等式 f xk f xk在区间D上能成立至少存在一个实数x使不等式 f xk f xk成立 minDx fxkfxk maxDx f xkf xk 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 四、例题精析 考点一 函数性质法 例 1 （2012 蚌埠二中考试）已知不等式2440mxmx 对任意实数x恒成立则m取值范围是（ ） A 1,0 B 1,0 C, 10
10、, D1,0 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 【规范解答】由不等式2440mxmx 对任意实数x恒成立，知0m 或0161602mmm 由此能求出m的取值范围，解得01m种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点二 分离参数法极端化原则 例 2 已知函数xx
11、xfln)(，当012xx时，给出下列几个结论： 0)()()(2121xfxfxx；1221)()(xxfxxf；)()(2112xfxxfx; 当1ln1x时，)(2)()(122211xfxxfxxfx. 其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上） 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 【规范解答】答案：试题分析：因为xxxfln)(，所以1ln)( xxf ，可知（0，1e）递减， （1e，+ ）递增，故错误；令
12、xxxxxfxgln-)()(，所以( )lng xx，可知)(xg在（0,1）上递减， （1，+ ）上递增，故错；令xxxxxxxxhxxfxh1lnln)( )()(2，所以 h（x）在（0，+ ）上递增，所以2211)()(xxfxxf)()(2112xfxxfx，故 正 确 ； 当1ln1x时 ， 可 知exx112， 又 因 为f （ x ） 在 （1e， + ） 递 增 ， 设111( )( )2()()xxf xxf xx f x1( )( )( )2 ()xf xxfxf x112 ln2ln0xxxxx ，又因为 f（x）在（1e，+ ）递增，所以1xx时，1( )()f x
13、f x即11lnlnxxxx，所以1xx时，( )0x，故( ) x为增函数，所以21()()xx，所以2222111()()2()()xx f xx f xx f x1()0x，故正确.种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点三 主参换位反客为主法 例 3 已知函数cbxxxxf2321)( （1）若)(xf在),(上是增函数，求b的取值范围； （2）若)(xf在1x处取得极值，且 2 , 1x时，2)(cxf恒成立，求c的
14、取值范围 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 【规范解答】解题思路： （1）利用“ 若函数)(xf在某区间上单调递增，则0)(xf在该区间恒成立” 求解； （2）先根据)(xf在1x处取得极值求得b值，再将恒成立问题转化为求2max)(cxf，解关于c的不等式即可 . 规律总结： 若函数)(xf在某区间上单调递增，则0)(xf在该区间恒成立；“ 若函数)(xf在某区间上单调递减，则0)(xf在该区间恒成立；求函数最值的步骤：1
15、 3 1 212 2 6 322322aaora 求导函数；求极值；比较极值与端点值，得出最值. 试题解析:（1）2( )3fxxxb=-+ 因)(xf在),(上是增函数，则f(x)0，即 3x2xb0 ， bx 3x2在( ，) 恒成立 设 g(x) x3x2，当 x16时，g(x)max112， b112. （2）由题意，知 f(1) 0，即 31b0， b2. x1,2时，f(x) c2恒成立，只需 f(x) 在1,2上的最大值小于 c2即可 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模
16、式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 因 f(x) 3x2x2， 令 f(x) 0，得 x1，或 x23. f(1)32c，f(23)2227c，f(1)12c，f(2)2c， f(x)maxf(2)2c， 2cc2，解得 c2，或 c1， 所以 c 的取值范围为( ，1)(2，).种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 考点四 数形结合 例 4 设函数)() 1()(2Raaxexxfx. (1)当21a时
17、,求函数)(xf的单调区间; (2)若当0x时0)(xf,求 a 的取值范围. 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 【规范解答】试题分析： （1）由21a得到221) 1()(xexxfx,求其导数) 1)(1(1)(xexxeexfxxx,解不等式0)(xf得 到 函 数 的 增 区 间 , 解 不 等 式0)(xf得 到 函 数 的 减 区 间 ; （ 2 ） 法 一 : 由 当0x时0)(xf得: 0)1() 1()(2
18、axexaxexxfxx等价于: 01axex在0x时恒成立,令axexgx1)(,注意到0) 0(g,所以只需), 00)(xxg在上恒成立即可,故有0 aex在), 0上恒成立,则), 0,xeax所以有1a.法二:将01axex在0x时恒成立等价转化为:), 0, 1xaxex恒成立函数), 0,xeyx的图象恒在函数), 0, 1xaxy图象的上方,由图象可求得a 的取值范围. 试题解析： （1）当21a时，221) 1()(xexxfx， ) 1)(1(1)(xexxeexfxxx 当) 1,(x时，0)(xf；当) 0 , 1(x时，0)(xf时， 当), 0(x时，0)(xf，
19、增区间), 0 , 1,(，减区间 0 , 1 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 （2）由当0x时0)(xf得: 0)1() 1()(2axexaxexxfxx等价于: 01axex在0x时恒成立,等价转化为:), 0, 1xaxex恒成立函数), 0,xeyx的图象恒在函数), 0, 1xaxy图象的上方,如图:,由于直线), 0, 1xaxy恒过定点， 而1)(00eexx， 所以函数), 0,xeyx图象在点 （0，
20、1） 处的切线方程为：1xy，故知：1a，即a的取值范围为1,(. 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 五、课堂运用 【基础】 1、定义在(0,)上的单调递减函数( )f x，若( )f x的导函数存在且满足xxfxf)()(，则下列不等式成立的是（ ） A3 (2)2 (3)ff B3 (4)4 (3)ff C2 (3)3 (4)ff D(2)2(1)ff 【 规范解 答 】 答案： 试题 分 析 ： f(x) 在(0,)上
21、单 调递减， ()0fx , 又xxfxf)()(， f(x)g(1), 即2) 2( f3) 3( f，即 3f(2)1 ，取 x=0，结合函数 x+sinx 的连续性可知 A 错误，对于 B取 x=2， 可知 B 错误， 对于 D 取 x=1， 可知 D 错误， 对于 C， 令 f(x)=x-ln(1+x), 则01111)( fxxxx， f(x) 在), 0(上单调递增， f(x)f(0)=0, 即 xln(1+x) 成立 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到
22、类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 【巩固】 1.若函数1)(23axxxf在) 2 , 0(上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A.3a B.3a C.3a D.30a 【规范解答】 答案： A 试题分析： 23232fxxaxxxa， 因为函数 f x在) 2 , 0(上单调递减， 则在) 2 , 0(上 0fx 即320xa恒成立，等价于32xa 在) 2 , 0(上恒成立，所以3 232a。故 A 正确。 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题
23、目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 2.已知函数2( )ln(1)f xaxx 在区间(0,1) 内任取两个实数 p,q，且 pq ，不等式(1)(1)1f pf qpq 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A15,) B(,15 C(12,30 D( 12,15 【规范解答】答案：A 试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)f pf qpq ，且1,1(1,2)pq，等价于函数2( )ln(1)f xaxx 在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于 1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于 1 恒成立 ( )21afxxx，即211axx恒成立，变形为2231axx，因为2231
24、15xx ，故15a 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 【拔高】 1.函数 331f xaxx对于 1,1x总有 f x0 成立，则a= 【规范解答】答案：4 试题分析：因为 1,1x总有 f x0 成立，所以当10x时，有3313013xxaxax恒成立，令3232331313)(xxxxxxxg，) 12(336)(443xxxxxg知当210x时0)(xg，当21x时0)(xg， 当121x时0)(xg； 所 以 在1
25、0x时4)21()(maxgxg知4a； 当01x时 ， 有3313013xxaxax恒成立，由上知) 12(336)(443xxxxxg在01x上恒大于 0，所以)(xg在-1，0）上是增函数，故在-1，0）上4) 1()(mingxg，所以有4a，又注意到当 x=0 时，不论 a 为何值不等式 f x0总成立；综上可知 a=4. 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 2.已知函数 f(x) 的导数 f(x) a(x1)(xa
26、)，若 f(x) 在 xa 处取得极大值，则 a 的取值范围是_ 【规范解答】答案：(1,0) 解析：若 a0，则 f(x) 0，函数 f(x) 不存在极值；若 a1，则 f(x) (x1)20 ，函数 f(x) 不存在极值；若 a0，当 x(1，a)时，f(x) 0，当 x(a，) 时，f(x) 0，所以函数 f(x) 在 xa 处取得极小值；若1a0，当 x(1，a)时，f(x) 0，当 x(a，) 时，f(x) 0，所以函数 f(x) 在 xa 处取得极大值；若 a1，当 x( ，a)时，f(x)0，当 x(a，1)时，f(x) 0，所以函数 f(x) 在 xa 处取得极小值，所以 a(
27、1,0) 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心学习必备 欢迎下载 课程小结 1.解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法 2.近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“ 统一美” 种方法函数性质法主参换位法分离参数法数形结合法消元转化法运用函成立问题能成立问题以及恰成立问题要求学生有较强的推理能力和准确是学生没有形成解题的模式和套路以至于遇到类似的题目便产生畏惧心
