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1、 圆周运动圆周运动圆周运动的定义圆周运动的定义：轨迹是圆周的运动叫圆周运动轨迹是圆周的运动叫圆周运动一一、线速度线速度: :反映物体运动的快慢反映物体运动的快慢1 1、物体通过的弧长与通过这段弧长所用的时间之比，表物体通过的弧长与通过这段弧长所用的时间之比，表示为：示为：v=L/t v=L/t （圆周运动速度也称作线速度）（圆周运动速度也称作线速度）2 2、方向方向 圆周各点的切线方向圆周各点的切线方向 （时刻在变化（时刻在变化）3 匀速圆周运动的定义：匀速圆周运动的定义：物体沿着物体沿着圆周运动，如果在相圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫做匀速圆周运等的时间里通过的弧长相
2、等，这种运动叫做匀速圆周运动动二二 角速度角速度：描述物体绕圆心转动的快：描述物体绕圆心转动的快慢的物理量慢的物理量1 物体在这段时间转过的角与所用时物体在这段时间转过的角与所用时间的比值，这个比值叫做角速度。间的比值，这个比值叫做角速度。AAOr2 2、角速度的单位是角速度的单位是 rad/s rad/s，读作弧度每秒，读作弧度每秒 或或s s-1-1的单位是弧度（的单位是弧度（radrad）。）。1rad1rad是弧长为圆半径的一段圆弧所对的圆心角。是弧长为圆半径的一段圆弧所对的圆心角。3 3、匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。三三 转速与周期转速与周期
3、：描述转动物体上质点做圆周运动的快慢描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。1 1 转速转速 n n：物体单位时间内转过的圈数。：物体单位时间内转过的圈数。单位为转每秒（单位为转每秒（r/s) r/s) 或（或（ r/min) r/min)2 2 周期周期T T：物体沿圆周运动一周所用的时间。：物体沿圆周运动一周所用的时间。在国际单位制，周期的单位是秒在国际单位制，周期的单位是秒。s s 四四 向心加速度向心加速度a a：1 1、任何做匀速圆周运动的物体的加速度都任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心指向圆心，这个加速度叫做向心加速度这个加速度叫做向心加速度。指向圆心，时刻在变化指向圆心，时刻
4、在变化2 2 描述线速度方向变化快慢的物理量，即只改变速度描述线速度方向变化快慢的物理量，即只改变速度的方向的方向五、向心力五、向心力：1、物体做圆周运动时，受到的指向圆心物体做圆周运动时，受到的指向圆心的合力的合力。是产生向心加速度的原因是产生向心加速度的原因2 2 向心力不做功向心力不做功六六、匀速圆周的特点匀速圆周的特点1 1 物体做运匀速圆周运动的条件：必须受到大小不变，物体做运匀速圆周运动的条件：必须受到大小不变，方向始终与速度方向垂直并沿半径指向圆心的力的作方向始终与速度方向垂直并沿半径指向圆心的力的作用，即物体受到的合外力必须全部用来改变线速度方用，即物体受到的合外力必须全部用来
5、改变线速度方向而不改变线速度的大小向而不改变线速度的大小2 2、特点：特点： 线速度大小不变线速度大小不变、方向时刻改变方向时刻改变 角速度角速度 转速转速 周期不变周期不变 向心加速度大小不变，方向时刻改变向心加速度大小不变，方向时刻改变向心力大小不变，方向时刻改变向心力大小不变，方向时刻改变七七 变速圆周运动变速圆周运动 -合外力沿合外力沿半径半径方向的分力提供方向的分力提供向心力，使物体产生向心力，使物体产生向心向心加速度，改变速度的加速度，改变速度的方向方向；合外力沿轨道合外力沿轨道切线方向切线方向的分力使物体产生切线加速度，的分力使物体产生切线加速度，改变速度的大小；改变速度的大小；
6、FnFFt1 1 离心现象（离心现象（1 1） 做匀速圆周运动的物体，在所受做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失，物体沿所在位置的切线方向飞出去合力突然消失，物体沿所在位置的切线方向飞出去（2）当提供向心力的合外力小于做圆周运动所需要）当提供向心力的合外力小于做圆周运动所需要的向心力，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动的向心力，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动物体作离心运动的条件物体作离心运动的条件：六、离心运动与近心运动六、离心运动与近心运动：2 2 向心运动向心运动当提供向心力的合外力大于当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需要的向心力，做圆周运动所需要的向心力，物体离圆心越来越近，
7、即为物体离圆心越来越近，即为向心运动向心运动例例1 1 如如图图所所示示，两两个个轮轮通通过过皮皮带带传传动动，设设皮皮带带与与轮轮之之间间不不打打滑滑，A A为为半半径径为为R R的的O O1 1轮轮缘缘上上一一点点，B B、C C为为半半径径为为2R2R的的O O2 2轮轮缘缘和和轮轮上上的的点点，O O2 2C=2R/3C=2R/3，当当皮皮带带轮轮转转动动时时，A A、B B、C C三点的角度之比三点的角度之比A A：B B：C C = = ABCABC三点的线速度之比三点的线速度之比v v A A ：v vB B：v vC C = = 三点的向心加速度之比三点的向心加速度之比a aA
8、 A：a aB B：a aC C= = O2AO1CB2：1：13：3：16：3：1 同轴转动的物体上各点的角速度相等同轴转动的物体上各点的角速度相等皮带传动（齿轮传动皮带传动（齿轮传动,摩擦传动）的两轮摩擦传动）的两轮,在皮带不在皮带不打滑的的条件下，两轮边缘各点的线速度大小相等，打滑的的条件下，两轮边缘各点的线速度大小相等， 【例例2】如如图图所所示示，直直径径为为d d的的纸纸制制圆圆筒筒，正正以以角角速速度度绕绕轴轴O O匀匀速速转转动动，现现使使枪枪口口对对准准圆圆筒筒，使使子子弹弹沿沿直直径径穿穿过过，若若子子弹弹在在圆圆筒筒旋旋转转不不到到半半周周时时在在筒筒上上留留下下a a，
9、b b两两弹弹孔孔，已已知知aOaO与与ObOb夹角为夹角为，则子弹的速度为，则子弹的速度为 . abO解解： t=d/v= (-）/ v=d/ (-）d/ (-）abOabO例例例例 一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r r r r0 0 0 0=1.0cm=1.0cm=1.0cm=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当
10、车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径机提供动力。自行车车轮的半径机提供动力。自行车车轮的半径机提供动力。自行车车轮的半径R R R R1 1 1 1=35cm=35cm=35cm=35cm，小齿轮的半，小齿轮的半，小齿轮的半，小齿轮的半径径径径R R R R2 2 2 2=4.0cm=4.0cm=4.0cm=4.0cm，大齿轮的半径，大齿轮的半径，大齿轮的半径，大齿轮的半径R R R R3 3 3 3=10.0cm=10.
11、0cm=10.0cm=10.0cm。求大齿轮的转。求大齿轮的转。求大齿轮的转。求大齿轮的转速速速速n n n n1 1 1 1和摩擦小轮的转速和摩擦小轮的转速和摩擦小轮的转速和摩擦小轮的转速n n n n2 2 2 2之比。（假定摩擦小轮与自行之比。（假定摩擦小轮与自行之比。（假定摩擦小轮与自行之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）车轮之间无相对滑动）车轮之间无相对滑动）车轮之间无相对滑动）大齿轮大齿轮大齿轮大齿轮小齿轮小齿轮小齿轮小齿轮车轮车轮车轮车轮小发电机小发电机小发电机小发电机摩擦小轮摩擦小轮摩擦小轮摩擦小轮链条链条链条链条解：大小齿轮间、摩擦小轮解：大小齿轮间、摩擦小轮解：大
12、小齿轮间、摩擦小轮解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理和车轮之间和皮带传动原理和车轮之间和皮带传动原理和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速相同，两轮边缘各点的线速相同，两轮边缘各点的线速相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由度大小相等，由度大小相等，由度大小相等，由v=2nrv=2nrv=2nrv=2nr可可可可知知知知转速转速转速转速n n n n和半径和半径和半径和半径r r r r成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮上各点的转
13、速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比的转速之比的转速之比的转速之比n n n n1 1 1 1nnnn2 2 2 2=2175=2175=2175=2175BCAMPQ例例3 3 如图是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上如图是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放者许多半成品产品，等间距地放者许多半成品产品，A A轮处有光电记数器，轮处有光电记数器，它可以记录通过它可以记录通过A A处的产品数目处的
14、产品数目。已知测得轮已知测得轮A A、B B的半径的半径r rA A=20cm,r=20cm,rB B=10cm =10cm 相邻两产品距离为相邻两产品距离为30cm,130cm,1分钟内有分钟内有4141个产品通过个产品通过A A处（处（1 1 ）产品随传送带移动的速度的大小）产品随传送带移动的速度的大小（2 2）A A、B B轮轮缘上的两点轮轮缘上的两点P P、Q Q及及A A轮半径中点轮半径中点M M的线速度的线速度大小和方向及角速度大小（大小和方向及角速度大小（3 3）如果）如果A A轮是通过摩擦带轮是通过摩擦带动动C C轮转动，轮转动，rc=5cm,求出轮的角速度求出轮的角速度, ,
15、标出转动方向标出转动方向例例1 1: :光滑水平面上光滑水平面上0 0点，固定一根钉子，把绳子的一端套点，固定一根钉子，把绳子的一端套在钉子上，另一端系一个小球使小球在桌面上做匀速圆在钉子上，另一端系一个小球使小球在桌面上做匀速圆周运动周运动例例2 2一圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的水平面内的一圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的水平面内的匀速圆周运动竖直轴转动，圆盘上放置一小木块匀速圆周运动竖直轴转动，圆盘上放置一小木块A A她随圆她随圆盘一起运动做盘一起运动做匀速圆周运动匀速圆周运动 答案答案:ABD例例3 3可绕固定的竖直轴可绕固定的竖直轴O O转动的水平转台上，有一质量转动的水平转台
16、上，有一质量为为m m的物块的物块A A，它与转台表面之间的动摩擦因数为，它与转台表面之间的动摩擦因数为，物，物块块A A通过一根线拴在轴通过一根线拴在轴O O上，开始时，将线拉直，物体上，开始时，将线拉直，物体A A处处在图位置，令平台的转动角速度在图位置，令平台的转动角速度由零起逐渐增大，在由零起逐渐增大，在连线断裂以前连线断裂以前 A A连线对物块连线对物块A A的拉力有可能等于零的拉力有可能等于零 B B平台作用于物块平台作用于物块A A的摩擦力不可能等于零的摩擦力不可能等于零C C平台作用于物块平台作用于物块A A的摩擦力有可能沿半径指向外侧的摩擦力有可能沿半径指向外侧D D当物体当
17、物体A A的向心加速度的向心加速度augaug时，线对它的拉力时，线对它的拉力T=mT=ma aa-umga-umgoA例例 A A、B B、C C三个物体放在旋转转台上，动摩擦因数均为三个物体放在旋转转台上，动摩擦因数均为u,Au,A的质量为的质量为2m,B2m,B、C C质量均为质量均为m,Am,A、B B离轴离轴R,CR,C离轴离轴2R,2R,则当则当圆台旋转时，（设圆台旋转时，（设ABCABC都没有滑动，如图所示）都没有滑动，如图所示）A CA C物体的向心加速度最大物体的向心加速度最大B BB B物体的静摩擦力最小物体的静摩擦力最小C C 当圆台转速增大时，当圆台转速增大时，C C比
18、比A A先滑动先滑动D D 当圆台转速增大时，当圆台转速增大时，B B比比A A先滑动先滑动A 2mB mC m答案答案ABC例例4 4如图所示，水平转台上放有质量均为如图所示，水平转台上放有质量均为m m的两小物块的两小物块A A、B B，A A离转轴距离为离转轴距离为L L，A A、B B间用长为间用长为L L的细线相连，的细线相连，开始时开始时A A、B B与轴心在同一直线上，线被拉直，与轴心在同一直线上，线被拉直，A A、B B与水与水平转台间最大静摩擦力均为重力的平转台间最大静摩擦力均为重力的 倍，当转台的角倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力速度达到多大时线上出现张力? ?当转
19、台的角速度达到多当转台的角速度达到多大时大时A A物块开始滑动物块开始滑动? ?AB0练习练习 在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1mL=0.1m的细线相连接的的细线相连接的A A、B B两小物块，已知两小物块，已知A A距轴心距轴心0 0的的距离距离 r r1 1=0.2m=0.2m，A A、B B的质量均为的质量均为m=1Kg,m=1Kg,它们与盘面间的它们与盘面间的相互作用的摩擦力最大值为其重力的相互作用的摩擦力最大值为其重力的 0.3 0.3倍（倍（ g=10m/sg=10m/s2 2),),试求：试求： （1 1）当细线刚要出
20、现拉力时，圆盘）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度为多大？（转动的角速度为多大？（2 2）当）当 A A、B B与盘面刚要发生相与盘面刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？对滑动时，细线受到的拉力为多大？例例5 5一转盘绕竖直轴在水平面内转动一转盘绕竖直轴在水平面内转动, ,质量分别为质量分别为 M M和和m m 的的A A、B B两物体用长为两物体用长为L L的轻绳连接后放在盘上的轻绳连接后放在盘上,A ,A 正好在正好在转轴处转轴处, A, A、B B间连线正好沿半径方向伸直间连线正好沿半径方向伸直 ， A A、B B与盘与盘之间的最大静摩擦力均为正压力的之间的最大静摩擦力均为正压
21、力的K K倍（倍（1 1）如要）如要A A物体物体相对盘无滑动趋势相对盘无滑动趋势, ,盘转动的角速度的最大值是多大？盘转动的角速度的最大值是多大？（2 2）如要）如要A A、B B与盘间无相对滑动与盘间无相对滑动, ,盘转动的角速度的最盘转动的角速度的最大值又是多大？大值又是多大？AB例例6 6 细细绳绳一一端端系系着着质质量量M=0.6M=0.6千千克克的的物物体体，静静止止在在水水平平面面，另另一一端端通通过过光光滑滑小小孔孔吊吊着着质质量量m=0.3m=0.3千千克克的的物物体体，M M的的中中点点与与圆圆孔孔距距离离为为0.20.2米米，并并知知M M和和水水平平面面的的最最大大静静
22、摩摩擦擦力力为为2 2牛牛，现现使使此此平平面面绕绕中中心心轴轴线线转转动动，问问角角速速度度 在在什什么么范范围围m m会会处处于于静静止止状状态态？(g(g取取1010米米/ /秒秒2 2) ) mMOrm1MOrm2例例6 6 质质量量为为M M的的物物体体用用细细绳绳通通过过光光滑滑水水平平平平板板中中央央的的光光滑滑小小孔孔与与质质量量为为m m1 1、m m2 2的的物物体体相相连连， M M做做匀匀速速圆圆周周的的半半径径为为r r1 1, ,角角速速度度为为 1 1，若若将将m m1 1和和m m2 2之之间间的的细细线线剪剪断断，仍仍做做匀匀速速圆圆周周运运动动，其其稳稳定定
23、后后的的半半径径为为r r2 2, ,角角速速度度为为 2 2, ,则以下关系正确的是则以下关系正确的是A A r2=r1 2r1 2 1C r2r1 2= 1答案答案B0BA0例例7 如图所示的水平转盘可绕竖直轴如图所示的水平转盘可绕竖直轴00旋转盘上水平旋转盘上水平杆上穿着两个质量均为杆上穿着两个质量均为m的小球的小球A和和B,现将现将A和和B分别分别置于距轴置于距轴r和和2r处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是球与杆之间的最大静摩擦力都是fm,分析转速从零逐渐分析转速从零逐渐增大增大,两球对轴保持相对静止的过程中，在满足下列条两
24、球对轴保持相对静止的过程中，在满足下列条件下，件下， 与与m、r、fm关系式（关系式（1）绳中出现张力时）绳中出现张力时（2）A球所受摩擦力改变方向时（球所受摩擦力改变方向时（3）两球对轴刚要）两球对轴刚要滑动时滑动时例例1 弹簧一端固定在转轴上弹簧一端固定在转轴上,另一端与小球相连另一端与小球相连,小球小球在光滑的水平面上绕轴做匀速圆周运动，已知弹簧的在光滑的水平面上绕轴做匀速圆周运动，已知弹簧的劲度系数为劲度系数为K,小球的质量为小球的质量为m,转动周期为转动周期为T,求弹簧的求弹簧的伸长量伸长量。例例2 质量相等的小球质量相等的小球A.B分别固定在轻杆的中点及端分别固定在轻杆的中点及端点
25、点,当杆在光滑的水平面上绕当杆在光滑的水平面上绕0做匀速圆周运动做匀速圆周运动,求杆求杆OA段及及AB段对球的拉力之比段对球的拉力之比AB0【例例3 3】A A、B B 两两球球质质量量分分别别为为m m1 1与与m m2 2，用用一一劲劲度度系系数数为为k k的的弹弹簧簧相相连连, ,一一长长为为l l1 1 的的细细线线与与A A相相连连, ,置置于于水水平平光光滑滑桌桌面面上上, ,细细线线的的另另一一端端拴拴在在竖竖直直轴轴OOOO上上, ,如如图图所所示示, ,当当m m1 1与与m m2 2均均以角速度以角速度绕绕OOOO做匀速圆周运动时做匀速圆周运动时, ,弹簧长度为弹簧长度为l
26、 l2 2求（求（1 1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？（2 2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？l 2l 1BAOOffT 求解圆周运动问题，关键是明确向心力的来源，即什么力求解圆周运动问题，关键是明确向心力的来源，即什么力充当向心力现将常见的几种情况归纳如下充当向心力现将常见的几种情况归纳如下(1)(1)水平面内的匀速圆周运动水平面内的匀速圆周运动例如：放在水平圆盘上的物体随圆盘转动、火车转弯、锥摆等问题例如：放在水平圆盘上的物体随圆盘转动、火车转弯、锥摆等问题(2)(2)竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动
27、例如：物体通过拱桥或凹桥的问题；绳子一端系一个物体，在竖直例如：物体通过拱桥或凹桥的问题；绳子一端系一个物体，在竖直面内做圆周运动的问题面内做圆周运动的问题解题步骤：解题步骤：1 明确研究对象，确定它在哪个平面做匀速圆周运动，找到明确研究对象，确定它在哪个平面做匀速圆周运动，找到圆心和半径圆心和半径。2 明确研究对象在某个位置所处的状态，进行受力分析，分明确研究对象在某个位置所处的状态，进行受力分析，分析哪些力提供了向心力析哪些力提供了向心力3 根据向心力公式列出方程，对结果进行必要的讨论说明根据向心力公式列出方程，对结果进行必要的讨论说明。例例1 1 将一质量为将一质量为m m的摆球用长为的
28、摆球用长为L L的细线吊起上端固定，的细线吊起上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成一个圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹旋转，这样就构成一个圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹角为角为a a例例2 2: :内壁光滑的圆锥筒轴线垂直于水平面内壁光滑的圆锥筒轴线垂直于水平面, ,圆锥筒固圆锥筒固定不动定不动, ,有两个质量相同（均为有两个质量相同（均为m m）的小球紧贴内壁，）的小球紧贴内壁，圆筒与轴线的夹角为圆筒与轴线的夹角为a aaaNmgmg火车转弯火车转弯GFF合合例例3、 质量为质量为m的飞机的飞机,以速率以速率v在
29、水平面内做半径为在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小为？的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小为？aaNmgmg本本题题的的分分析析方方法法和和结结论论适适用用于于圆圆锥锥摆摆、火火车车转转弯弯，飞飞机机在在水水平平面面内内做做匀匀速速圆圆周周运运动动的的问问题题。共共同同点点是是由由重重力力和和弹弹力力的的合合力力提提供供向心力，向心力方向水平。向心力，向心力方向水平。mgNa例例小小球球在在半半径径为为R R的的光光滑滑半半球球内内做做水水平平面面内内的的匀匀速速圆圆周周运运动动，试试分分析析图图中中的的（小小球球与与半半球球球球心心连连线线跟跟竖竖直直方方向向的的夹
30、夹角角）与与线线速速度度v v 、周周期期T T 的的关关系系。（小小球球的半径远小于的半径远小于R R）RO小球做匀速圆周运动的圆心在和小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力的球心），向心力F 是重力是重力G 和和支持力支持力N 的合力，所以重力和支的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图持力的合力方向必然水平。如图所示：所示：FGN（式中（式中h 为小球轨道平面到球心的高度）为小球轨道平面到球心的高度）可见，可见，越大越大,即即h越小越小, v 越大越大,T 越小。越小。 例例在在高高速速公公路路的的拐拐弯弯处处，路路面
31、面造造得得外外高高内内低低，即即当当车车向向右右拐拐弯弯时时，司司机机左左侧侧的的路路面面比比右右侧侧的的要要高高一一些些，路路面面与与水水平平面面间间的的夹夹角角为为设设拐拐弯弯路路段段是是半半径径为为R R的的圆圆弧弧，要要使使车车速速为为v v 时时车车轮轮与与路路面面之之间间的的横横向向( (即即垂垂直直于于前进方向前进方向) )摩擦力等于零，摩擦力等于零，应等于应等于Aarcsin Barctan C Darccot解：解：车受重力车受重力mg及路面的弹力及路面的弹力FN作用这两个力的合力作用这两个力的合力F水平水平并指向圆周弯道的圆心，充当向心力，由图可知并指向圆周弯道的圆心，充当
32、向心力，由图可知Fmgtan， mgFFN依据牛顿第二定律有依据牛顿第二定律有 mgtanB 00年江西省、山西省、天津市年江西省、山西省、天津市 例例、如如图图所所示示，将将一一根根光光滑滑的的细细金金属属棒棒折折成成V V形形，顶顶角角为为22，其其对对称称轴轴竖竖直直，在在其其中中一一边边套套上上一一个个金金属属环环P P。当当两两棒棒绕绕其其对对称称轴轴以以每每秒秒n n 转转匀匀速速转转动动时时，小小环离轴的距离为（环离轴的距离为（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) ；解解：分析小环的受力如图示：分析小环的受力如图示：mgNFF=mg ctg =m 2r=2nA例例 如如图
33、图所所示示，小小球球以以大大小小为为v0的的初初速速度度由由A端端向向右右运运动动，到到B端端时时的的速速度度减减小小为为vB；若若以以同同样样大大小小的的初初速速度度由由B端端向向左左运运动动，到到A端端时时的的速速度度减减小小为为vA，已已知知小小球球运运动动过过程程中中始始终终未未离离开开该该粗粗糙糙轨轨道道则则比比较较VA、vB的大小，结论是的大小，结论是AvAvB BvA=vBCvAvb D无法确定无法确定例例1 1 杆长为杆长为L L，球的质量为，球的质量为m m，杆连球在竖直平面内绕，杆连球在竖直平面内绕轴轴O O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小自由转动，已知在最高点处
34、，杆对球的弹力大小为为F F=1/2=1/2mgmg，求这时小球的即时速度大小。，求这时小球的即时速度大小。解解：小球所需向心力向下，本题中：小球所需向心力向下，本题中 F=1/2mgmg，所以弹力的方向可能向上，也可能向下。所以弹力的方向可能向上，也可能向下。若若F F 向上，则向上，则若若F F 向下，则向下，则例例. 如图所示，质量为如图所示，质量为m m的小球固定在长为的小球固定在长为L L的细轻杆的的细轻杆的一端，绕细杆的另一端一端，绕细杆的另一端O O在竖直平面上做圆周运动。球在竖直平面上做圆周运动。球转到最高点转到最高点A A时，线速度的大小为时，线速度的大小为 ，此时，此时答案
35、答案:BA A 杆受到杆受到mg/2mg/2的拉力的拉力B B 杆受到杆受到mg/2mg/2的压力的压力C C 杆受到杆受到3mg/23mg/2的拉力的拉力D D 杆受到杆受到3mg/23mg/2的压力的压力例例2 2 用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5mR=0.5m的光滑圆环（管径远小于的光滑圆环（管径远小于R R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为质量为m=0.2kgm=0.2kg在环内做圆周运动，求在环内做圆周运动，求: :小球通过最高点小球通过最高点A A时，下列两种情况下球对管壁的作用力时，下列两种情况下球对管壁
36、的作用力. . 取取g=10m/sg=10m/s2 2(1) A(1) A的速率为的速率为1.0m/s (2) A1.0m/s (2) A的速率为的速率为4.0m/s 4.0m/s AOmAOmN2mgN1mgAOm解解：AOm先求出杆的弹力为先求出杆的弹力为0 的速率的速率v0mg=mv02/l v02=gl=5v0=2.24m/s (1) v1=1m/s v0 球应受到外壁向下的球应受到外壁向下的支持力支持力N2如图示：如图示：AOmN2mg则则 mg+N2=mv22 /l得得 N2=4.4 N由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别 为为 (1) 对内壁对
37、内壁1.6N向下的压力向下的压力 (2)对外壁对外壁4.4N向上的压力向上的压力.例例 ：“水流星水流星”- ”- 一根绳子系者一个盛水的杯子，演员轮一根绳子系者一个盛水的杯子，演员轮起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯子朝起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯子朝下，但杯子中的水不流出。下，但杯子中的水不流出。例例3 杂技演员表演杂技演员表演“水流星水流星”，在长为，在长为1.6m1.6m的细绳的的细绳的一端，系一个质量为一端，系一个质量为m=0.5Kgm=0.5Kg的盛水容器，以绳的一端的盛水容器，以绳的一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图，若水流星为圆心，在
38、竖直平面内做圆周运动，如图，若水流星通过最高点的速度为通过最高点的速度为4m/s ,4m/s ,下列说法下列说法 正确的是正确的是 A A 水流星通过最高点时，有水从容器中流出水流星通过最高点时，有水从容器中流出B B 水流星通过最高点时，绳的张力以及容水流星通过最高点时，绳的张力以及容器底受到的压力均为零器底受到的压力均为零 C C水流星通过最高点时，处于水流星通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用完全失重状态，不受力的作用D D 绳的张力变化的范围为绳的张力变化的范围为答案答案BD例例4 4 如图示，支架质量为如图示，支架质量为M M、始终静止在水平地面上，、始终静止在水平地面上，转
39、轴转轴O O处用长为处用长为l l 的线悬挂一个质量为的线悬挂一个质量为m m 的小球，的小球，（1 1）把线拉至水平后静止释放小球，当小球运动到最）把线拉至水平后静止释放小球，当小球运动到最低处时，水平面对支架的支持力低处时，水平面对支架的支持力N N为多大？为多大？（2 2）若使小球在竖直平面内做圆周运动，对小球运动）若使小球在竖直平面内做圆周运动，对小球运动到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力，则小球在到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力，则小球在最高点处的速度最高点处的速度v v 为多大？为多大？TmgTMgNMgT1mgT1MmlO例例 如图示，支架质量为如图示，支架质量为M M
40、、始终静止在水平地面上，转、始终静止在水平地面上，转轴轴O O处用长为处用长为l l 的线悬挂一个质量为的线悬挂一个质量为m m 的小球，的小球，（1 1）把线拉至水平后静止释放小球，当小球运动到最）把线拉至水平后静止释放小球，当小球运动到最低处时，水平面对支架的支持力低处时，水平面对支架的支持力N N为多大？为多大？（2 2）若使小球在竖直平面内做圆周运动，对小球运动）若使小球在竖直平面内做圆周运动，对小球运动到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力，则小球在到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力，则小球在最高点处的速度最高点处的速度v v 为多大？为多大？解：解：MmlO（1）对小球，由机械
41、能守恒定律）对小球，由机械能守恒定律1/2mv12=mgl 最低点处：最低点处：T-mg = mv12 / l TmgT =3mg对支架受力如图示对支架受力如图示 N=Mg+T=(M+3m)g TMgN（2）小球运动到最高点处时，支架恰好）小球运动到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力对水平地面无压力,则支架受到球向上的则支架受到球向上的拉力拉力 T1=MgMgT1对小球对小球: T1+mg=mv2 /l mgT1例例7 7 一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球考虑小球由静止开始直，然后由静止开始释放小球考虑小球由静止开
42、始运动到最低位置的过程运动到最低位置的过程 A A小球在水平方向的速度逐渐增大小球在水平方向的速度逐渐增大 B B小球在竖直方向的速度逐渐增大小球在竖直方向的速度逐渐增大 C C到达最低位置时小球线速度最大到达最低位置时小球线速度最大 D D到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力mgT2mgT1 一一小小球球用用轻轻绳绳悬悬挂挂在在某某固固定定点点，现现将将轻轻绳绳水水平平拉拉直直，然然后后由由静静止止开开始始释释放放小小球球考考虑虑小小球球由由静静止止开开始始运运动动到到最最低位置的过程低位置的过程 ( ) A小球在水平方向的速度逐渐增大小球在水平方向的速度
43、逐渐增大 B小球在竖直方向的速度逐渐增大小球在竖直方向的速度逐渐增大 C到达最低位置时小球线速度最大到达最低位置时小球线速度最大 D到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力 2000年上海年上海mgT2mgT1分析分析小球释放后水平方向受力为绳拉力的水平分力，该力与水小球释放后水平方向受力为绳拉力的水平分力，该力与水平分速度同方向，因此在水平方向上速度逐渐增大，平分速度同方向，因此在水平方向上速度逐渐增大， A正确正确. 在初始位置竖直速度为在初始位置竖直速度为0，最低位置竖直速度也为，最低位置竖直速度也为0，在竖，在竖直方向上小球显然先加速运动，后减速运动，直
44、方向上小球显然先加速运动，后减速运动，B 错误错误 线速度即小球运动的合速度，小球位置越低，势能转线速度即小球运动的合速度，小球位置越低，势能转化为动能就越多，速度也就越大，化为动能就越多，速度也就越大，C正确正确. 小球在最低位置时速度为水平速度，由于小球做圆周运动小球在最低位置时速度为水平速度，由于小球做圆周运动，绳拉力与球重力的合力提供向心力，即，绳拉力与球重力的合力提供向心力，即 D错误错误A C例例 1如图所示如图所示,小球小球 A用不可伸长的轻绳悬于用不可伸长的轻绳悬于O点点,在在O点的正下方有一固定的钉子点的正下方有一固定的钉子B,OB=d,初始时小初始时小球球A(与与O同水平面同水平面)无初速的释放无初速的释放,绳长为绳长为L, 为使球为使球能绕能绕B点做圆周运动点做圆周运动,试求试求d的取值范围的取值范围0.6LdLAOdBLC水平面内的圆周运动临界问题水平面内的圆周运动临界问题【例【例1 如图如图,小球质量小球质量m=0.8Kg,用两根长用两根长L=0.5m长的长的细绳拴住并系在竖直杆上的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点两点AB=0.8m,当直杆当直杆转动，带动小球在水平面内绕杆以转动，带动小球在水平面内绕杆以40rad/s的角速的角速度匀速转动度匀速转动,求上下两根绳拉力求上下两根绳拉力ABABOABO
