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1、4.8 4.8 正弦函数、余弦函数正弦函数、余弦函数的图象和性质的图象和性质（六）（六）8/19/2024黄冈中学网校达州分校教学目标：教学目标： 1.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；区间； 2.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.教学重点：教学重点：三角函数最值问题的解题方法三角函数最值问题的解题方法教学难点：教学难点：三角函数最值问题的解题方法三角函数最值问题的解题方法黄冈中学网校达州分校1。 值域值域正弦函数、余弦函数的值域都是正弦函数、余弦函数的值域都是1，1.其中正弦函
2、数其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当当且仅当x2k，kZ时，取得最大值时，取得最大值1.当且仅当当且仅当x2k，kZ时，取得最小值时，取得最小值1.而余弦函数而余弦函数ycosx，xR当且仅当当且仅当x2k，kZ时，取得最大值时，取得最大值1.当且仅当当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值时，取得最小值1.黄冈中学网校达州分校2。单调性。单调性 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 2k， 2k(kZ)上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从1增大到增大到1；在；在每一个闭区间每一个闭区间 2k， 2k(kZ)上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1. 余弦函数在
3、每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从1增加到增加到1；在；在每一个闭区间每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函上都是减函数，其值从数，其值从1减小到减小到1.黄冈中学网校达州分校例例1 求函数求函数y=(sinx)2+2sinxcosx+3(cosx) 2 的最小值。的最小值。解:y=sin2x+ + =sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,其中 1, 当 sin(2x+ )=-1时, ymin=2-一、利用三角函数的有界性一、利用三角函数的有界性二、例二、例 题题 解解 析：析：黄冈中学网校达州分校例例2
4、a、b是不相等的正数是不相等的正数.求求的最大的最大值值和最小和最小值值.解：解：y是正是正值值，故使，故使y2达到最大达到最大(或最小或最小)的的x值值也使也使y达达到最大到最大(或最小或最小).asin2xbcos2xy2acos2xbsin2x2abab，(ab)20，0sin22x1 当当sin2x1时时即即x (kZ)时时，y有最大有最大值值 当当sin2x0时时，即，即x (kZ)时时，y有最小有最小值值.黄冈中学网校达州分校方法总结：方法总结： 通过三角变换把形如通过三角变换把形如asinx+bcosx的函数的函数等价化归为等价化归为y=Asin( x+ )，然后根据三角然后根据
5、三角函数的函数的有界性有界性，求出函数的最值。同时注意，求出函数的最值。同时注意角的角的取值范围取值范围。黄冈中学网校达州分校二、利用三角函数的增减性二、利用三角函数的增减性例例3 在在0x 条件下，求条件下，求ycos2xsinxcosx3sin2x的最大值和最小值的最大值和最小值.解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y2sin2x32(cos2xsin2x)12 (cos2xcossin2xsin)1cos(2x )120x2xcos(2x)在在0，）上是减函数）上是减函数故当故当x0时时有最大有最大值值当当x时时有最小有最小值值1黄冈中学网校达州分校c
6、os(2x)在在上是增函数上是增函数综综上所述，上所述，当当x0时时，ymax1时时，有最小，有最小值值1，当当x 时时，有最大，有最大值值故当故当x 时时，ymin2 - -1当当x黄冈中学网校达州分校例例4 .求函数求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最的最大值和最小值小值(0a )解：解：y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 令令 t=sinx+cosx, t- - , ,t2=1+2sinxcosx, y= (t+a)2+ a2 - -t= 时，时，ymax=a2+ a+1/2t=- -a时，时， ymin=（a2 1)/2三、换元法三、换元法黄冈中学网
7、校达州分校方法总结：方法总结： 通过通过换元法换元法化归利用二次函数性质化归利用二次函数性质求最值。同时要注意换元后求最值。同时要注意换元后新的变量的新的变量的取值范围取值范围。黄冈中学网校达州分校四、求三角函数最值时应注意的问题四、求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1注意注意sinx、cosx自身的范围自身的范围1sinx1，当
8、当sinx1时，时，ymax3例例5 求函数求函数ycos2x3sinx的最大的最大值值.解：解：ycos2x3sinx sin2x3sinx1(sinx )2解此题易忽视解此题易忽视sinx1，1这一范围，认为这一范围，认为sinx 时，时，y有最大值有最大值 ，造成误解，造成误解.黄冈中学网校达州分校2注意条件中角的范围注意条件中角的范围解：解：ysin2xsinx1(sinx )2xsinx例例6 已知已知x，求函数求函数ycos2xsinx的最小值的最小值.ymin()2当当sinx时时解此解此题题注意了条件注意了条件x，使本，使本题题正确求解，正确求解，否则认为否则认为sinx1时时
9、y有最小值，产生误解有最小值，产生误解.黄冈中学网校达州分校 例例7 求函数求函数ysin2xacosx a (0x )的最大的最大值值.3注意题中字母注意题中字母(参数参数)的讨论的讨论 解：解：y1cos2xcosx a (cosx )2 当当0a2时时，cosx ，ymax 当当a2时时，cosx1，ymax 当当a0时时，cosx0，ymax 解此解此题题注意到参数注意到参数a的的变变化情形，并就其化情形，并就其变变化化讨论讨论求解，求解，否否则认为则认为cosx 时，时，y有最大值会产生误解有最大值会产生误解. 黄冈中学网校达州分校4注意代换后参数的等价性注意代换后参数的等价性（见例
10、（见例4）练习练习:已知已知y2sincossincos(0)，求求y的最大值、最小值的最大值、最小值.ymaxymin1黄冈中学网校达州分校几种常见的函数及最值的求法。几种常见的函数及最值的求法。（1 1）y=y=asinx+basinx+b( (或或acosx+bacosx+b) )型型（2 2）y=y=asinx+bcosxasinx+bcosx型型（3 3）y=a(sinx)y=a(sinx)2 2+bsinx+c+bsinx+c型型（4 4）y= y= 型型（5 5）y= y= 型型（6 6）y=y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx+ca(sinx+cosx)+bsinxcosx+c型型利用三角函数的值域。利用三角函数的值域。引进辅助角化成引进辅助角化成y= y= sin(x+ )sin(x+ )后，再利用有界性。后，再利用有界性。 配方后求二次函数的最值，应注配方后求二次函数的最值，应注意意 1 1的约束。的约束。反解出反解出sinxsinx化归为化归为 1 1解决。解决。化归为化归为y=y=asinx+bcosxasinx+bcosx型或用数形结合型或用数形结合（常用到直线的斜率的几何意义）。（常用到直线的斜率的几何意义）。常用到换元法令常用到换元法令t= t= sinxsinx+ + cosxcosx，t - , .t - , .黄冈中学网校达州分校
