《华东师大版八年级下册第十六章分式知识点总结与典型例题讲义(无答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《华东师大版八年级下册第十六章分式知识点总结与典型例题讲义(无答案)(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 B 0 目录 一、分式的概念. 1 考向 1:考查分式的定义. 2 考向 2:考查分式有意义的条件. 2 考向 3:考查分式值为 0 的条件. 2 考向 4:考查分式值为正、负的条件. 2 考向 5:考查分式的值为 1,-1 的条件 . 2 二、分式的基本性质. 2 考向 6:化分数系数、小数系数为整数系数. 3 考向 7:分数的系数变号. 3 考向 8:分式的约分. 3 考向 9:分式的通分. 3 三、分式的运算. 3 考向 10:分式的混合运算. 4 考向 11:化简求值. 4 考向 12:求待定字母的值. 5 四、解分式方程. 5 考向 13:用常规方法解分式方程. 5 考向 14:用
2、特殊方法解分式方程. 5 考向 15:分式方程无解忘检验. 6 考向 16:漏乘无分母的项. 6 考向 17:由分式方程无解或有增根求未知字母的值. 6 五、列分式方程应用题. 6 考向 18:行程中的应用性问题. 6 考向 19:轮船顺逆水应用问题. 6 考向 20:工程类应用性问题. 6 考向 21:营销类应用性问题. 7 考向 22:浓度应用性问题. 7 考向 23:货物运输应用性问题. 7 分式知识点总结与典型例题 一、分式的概念 1、定义:一般地,如果 A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 式,A 为分子,B 为分母。 2、与分式有关的条件: 分式有意义:分母不为 0
3、( B 0 ) 分式无意义:分母为 0( B 0 ) A 0 分式值为 0:分子为 0 且分母不为 0( ) 第 1 页 A B 叫做分 分式值为正或大于 0:分子分母同号( A 0 B 0 B 0 分式值为负或小于 0:分子分母异号( 或 ) B 0 B 0 1、下列代数式中: , x y, (3) (4) (5) (1) (2) 3 ( x 1)2 为负; 值不变。即: A 的值不变,即 A A 0 或 ) A 0 A 0 分式值为 1:分子分母值相等(A=B) 分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 典型例题: 考向 1:考查分式的定义 1 x 1 a b x 2 y 2 x
4、y , , 2 a b x y x y 考向 2:考查分式有意义的条件 2、当 x 有何值时,下列分式有意义 ,是分式的有: (1) x 4 x 4 (2) 3x 2 6 x x 2 2 x 2 1 | x | 3 1 x 1 x 考向 3:考查分式值为 0 的条件 3、当 x 取何值时,下列分式的值为 0. x 1 | x | 2 x 3 x 2 4 考向 4:考查分式值为正、负的条件 4、当 x 为何值时,分式 4 8 x 为正; 5、当 x 为何值时,分式 5 x 6、当 x 为何值时,分式 x 2 x 3 为非负数 考向 5:考查分式的值为 1,-1 的条件 7、若 | x | 2 x
5、 2 的值为 1,-1,则 x 的取值分别为 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的 A C A A C , ,其中 A、B、C 是整式,C 0。 B B C B B C 2、分式的变号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式 A A A B B B B 3、最简分式:一个分式的分子与分母 没有公因式 时,叫最简分式。 4、约分:把一个分式的分子与分母的 公因式约去,叫做分式的约分 5、约分化简的方法: 分式的分子与分母均为 单项式 时可直接约分,约去分子、分母 系数 的 最大 公约数 ,然后约去分子分母 相同
6、因式 的 最低次幂 ; 第 2 页 y y 2 x x2 (1) 2 A. 2 分子分母若为 多项式 ,先对分子分母进行 因式分解 ,再约分 6、通分:把几个 异分母 的分式化成与原来的分式 相等 的 同分母 的分式,叫做分 式的通分。 7、通分方法:把各个分式的 分母 进行 因式分解 ;找出 最简公分母 ;用分 式的性质把各个分式化为 同分母 分式。 8、最简公分母的确定方法: 系数取各个 分母系数 的 最小公倍数 作为最简公分母的系数; 取各个 公因式 的 最高次幂 作为最简公分母的因式; 当分母是 多项式 时,先把各分母 分解因式 ,然后确定最简公分母。 典型例题: 1、下列各式正确的是
7、( ) A. a x a 1 n na n n a b x b 1 m ma m m a B. C. , ( a 0 ) D. 考向 6:化分数系数、小数系数为整数系数 2、不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. 1 2 x y 3 1 1 x y 3 4 (2) 0.2a 0.03b 0.04a b 考向 7:分数的系数变号 3、下列各式的变式不正确的是( ) 2 3 y 3 y y y 3x 3x 8x 8x B. C. D. 表达式: b d 表达式: b 6 x 6 x 4 y 4 y 3 y 3 y 考向 8:分式的约分 4、将下列各式分别约分 考向 9:分式的通分 5、将下列
8、各组分式通分 三、分式的运算 1、分式乘法法则: 分式乘分式,用分子的乘积作为积的分子,分母的乘积作为积的分母。 bd a c ac 2、分式的除法法则: 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 c b d bd a d a c ac 3、分式的加减法法则: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减; 异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 第 3 页 c b d bc da ) a mn ; (4)同底数的幂的除法: a an am n (5)商的乘方: ( ) n (2) + (4) a (3) - a 2b ) 3 ) 2 ( ) 4 x 2 4 1
9、 x 2 2 x c ab a ( (9) 1 ( 1) ( ) 的值; xy x y ) ( x y) ( x y 表达式:同分母加减: b b c a 0 a a a 异分母加减: bc da a 0, c 0 a c ac ac ac 1 4、负整数指数幂: a n = an (a0,n 是正整数) 5、整数指数幂性质: (1)同底数的幂的乘法: a m a n a m n ; (2)幂的乘方: (a m n (3)积的乘方: (ab) n a nbn ; m ( a0) a a n b b n ;(b0) 6、科学计数法:将一个数字表示成的a 10 n 形式,其中 1|a|10,n 表
10、示整数,这 种记数方法叫科学记数法。 考向 10:分式的混合运算 1、计算: (1) 2a 5 a 1 2a 3 a 2 b 2 2ab 2(a 1) 2(a 1) 2(a 1) a b b a a a 6 3 2 a 3 a2 3a a a 1 a 1 (5) ( (6) ( ) ( ) x 2 4 x 4 x 2 x 1 (7) x 2 4 1 x 2 2 x ) ( ) x 2 4 x 4 x 2 x 1 1 1 2 x 4 x 3 8x 7 (8) 1 x 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x 8 1 1 . x( x 1) ( x 1)(x 2) ( x 2)( x 3) 考向 1
11、1:化简求值 2、先化简后求值 (1)已知: x 1 ,求分子1 8 x 2 4 x 2 4 1 1 4x 2 x (2)已知 x : y 2 : 3 ,求 ( x 2 y 2 ) 3 x 2 第 4 页 的值; (4)已知: x )(a ) 的值; x 2 1 4、已知: 5x 4 ; (2) 0 ; (3) a 1 a 2 4 1 a 2 a 2 2a 1 a 2 1 ,其中 a 满足 a 2 a 0 ; y z xy 2 yz 3xz ,求 的值; 2 3 4 x 2 y 2 z 2 (5)已知 x x 1 5 ,求 x 2 x 2 的值;求 x 4 x 4 的值; (6)已知: a 2
12、 3a 1 0 ,试求 (a 2 1 a 2 1 a (7)已知 2 x 3 y z 0,3 x 2 y 6 z 0, xyz 0 ,求 x2 y 2 z 2 2 x2 y 2 z 2 的值; a b (8)已知 a2 6a 9 与 b 1 互为相反数,求 ( ) (a b) 的值. b a 考向 12:求待定字母的值 3、若 1 3x M N x 1 x 1 ,试求 M , N 的值; A B ( x 1)(2x 1) x 1 2x 1 ,试求 A 、 B 的值. 四、解分式方程 1、分式方程:分母中含未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的解法: 能化简的先化简; 去分母,把方程两边同乘
13、以各分母的最简公分母(产生增根的过程) ; 解整式方程,得到整式方程的解; 检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中,如果最简公分母为 0,则原 方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为 0,则是原 方程的解。 3、分式方程无解或产生增根的条件是: 是得到的整式方程的解; 代入最简公分母后值为 0. 考向 13:用常规方法解分式方程 1、解下列分式方程 (1) 1 3 2 1 x 1 x x 3 x (3) x 1 4 x 1 x 2 1 1 ; (4) 5 x x 5 x 3 4 x 考向 14:用特殊方法解分式方程 2、解下列分式方程 第 5 页 4 ; 提示:换元法,
14、设 y ; ; 提示:裂项法, 5、如果分式方程 x 1 有增根,求 m 的值; 9、若关于 x 的方程 不会产生增根,求 k 的值. (1) (2) x 4x 4 x x 1 x x 1 x 7 x 9 x 10 x 6 x 7 1 1 x 6 x 8 x 9 x 5 x 6 x 6 考向 15:分式方程无解忘检验 3、解方程: 8 x 2 4 考向 16:漏乘无分母的项 1 x x 2 4、解方程: 2 x 1 2 1 x 3 3 x 考向 17:由分式方程无解或有增根求未知字母的值 m x 1 x 1 无解,求 m 的值; 6、若关于 x 的分式方程 2 m x 3 x 3 7、若关于
15、x 的方程 x 1 m x 5 10 2 x 无解,求 m 的值; 8、若分式方程 2 x a x 2 1 的解是正数,求 a 的取值范围; 提示: x 2 a 3 0 且 x 2 ,a 2 且 a 4 . x k 2 x x 1 x 2 1 x 1 五、列分式方程应用题 1、应用题的基本类型: 行程问题:路程=速度时间; 顺水逆水问题:v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水-v 水 工程问题:工作总量=工作效率工作时间 典型例题: 考向 18:行程中的应用性问题 1、甲、乙两地相距 828km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快 车的平均速度是普通快车平均速度的 1.
16、5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h,比普通快车 早 4h 到达乙地,求两车的平均速度 考向 19:轮船顺逆水应用问题 2、轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等,已知水 流速度为 2 千米时,求船在静水中的速度. 考向 20:工程类应用性问题 第 6 页 3、两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一, 这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。哪个队的施工速度快? 考向 21:营销类应用性问题 4、某校办工厂将总价值为 2019 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后,其 平均价比原甲种原料 0
17、.5kg 少 3 元,比乙种原料 0.5kg 多 1 元,问混合后的单价 0.5kg 是多 少元? 考向 22:浓度应用性问题 5、要在 40 千克浓度为 15%的盐水中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20% 溶质 分析:浓度问题的基本关系是: 溶液 设加入盐 x 千克 =浓度此问题中变化前后三个基本量的关系如下表: 加盐前 加盐后 溶液 40 40 x 溶质 4015% 4015% x 浓度 15% 20% 根据基本关系即可列方程 考向 23:货物运输应用性问题 6、一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用已知甲、乙、丙三辆车每次 运货物量不变,且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、 a 次能运完;若甲、丙两车合 运相同次数运完这批货物时,甲车共运了 180 吨;若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物 时,乙车共运了 270 吨 问:乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍; 现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费各多少元?(按每 运 1 吨付运费 20 元计算) 第 7 页