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1、专题10 双曲线中的最值问题限时:120分钟 满分:150分一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知,分别是双曲线的左、右焦点,动点在双曲线的右支上,则的最小值为()ABCD【解析】因为动点在双曲线的右支上,由双曲线定义可得:,所以,因为,所以,所以,将代入得:.故选:B2过椭圆右焦点F的圆与圆外切,该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C,若P为曲线C上的一动点,则长度最小值为()A0BC1D2【解析】椭圆,所以.设以为直径的圆圆心为,如图所示:因为圆与圆外切,所以,因为,所以,所以的轨迹为:以为焦点,的双曲线的右支.即,曲线.所以为
2、曲线上的一动点,则长度最小值为.故选:C3已知双曲线的左、右焦点分别为,点在的左支上,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为,则的最小值为()ABCD【解析】由题意得,故, 如图所示:到渐近线的距离,则,当且仅当,三点共线时取等号,的最小值为.故选:D4已知点A在双曲线C:(b0)上,且双曲线C的上下焦点分别为F1,F2,点B在F1AF2的平分线上,BF2AB,若点D在直线l:,则|BD|的最小值为()ABCD【解析】作出图形如图所示,设A为双曲线C下支上的一点,延长F2B与AF1交于点M,连接OB,由BF2AB,且F1AB=F2AB,可得,故,故,则点B落在圆上,因为点O到直线l:的距离为,故的最
3、小值为,故选:D5已知双曲线的右焦点为F,直线MF与y轴交于点N,点P为双曲线上一动点,且,直线MP与以MN为直径的圆交于点MQ,则的最大值为()A48B49C50D42【解析】由双曲线方程知:右焦点,在双曲线上,直线方程为,令,解得:,;以为直径的圆的圆心为,且连接,在以为直径的圆上,;为双曲线上一点,且,;故选:A6已知直线与双曲线相交于两点,为坐标原点,若,则的最小值为()A20B22C24D25【解析】依题意得直线与的斜率都存在且不为0,不妨设直线的方程为,则直线的方程为设,联立,得,则,同理可得,所以即,当且仅当时等号成立故选:C7双曲线右焦点为,离心率为,以为圆心,长为半径的圆与双
4、曲线有公共点,则最小值为()ABCD【解析】由题意,右焦点,又,则,以为圆心,为半径的圆的方程为,联立方程组,得,由圆与双曲线有公共点,所以,即,结合,化简为,由方程两根为:,所以不等式的解为,或,由已知,得所以,当时,取得最小值.故选:A8设双曲线:的离心率为,过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于,则有若,为的中点,则直线斜率的最小值是()ABCD【解析】因为,所以,又,所以,则,所以,设,则,所以,即,所以,即,所以,当且仅当,即时取等号,即直线斜率的最小值是.故选:C二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.9已知双
5、曲线C的方程为,则下列说法正确的是()A双曲线C的渐近线方程为B双曲线C的实轴长为8C双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为【解析】由双曲线C的方程为,得:,对于A:双曲线C的渐近线方程为,故A正确;对于B:双曲线C的实轴长为,故B正确;对于C:取焦点,则焦点到渐近线的距离,故C正确;对于D:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为,故D错误;故选:ABC.10已知双曲线,过其右焦点的直线与双曲线交于两点,则()A若在双曲线右支上,则的最短长度为1B若,同在双曲线右支上,则的斜率大于C的最短长度为6D满足的直线有4条【解析】由双曲线可得,所以,对于A:若在双曲线右支上
6、,则的最短长度为,故选项A正确;对于B:双曲线的渐近线方程为:,若,同在双曲线右支上,则的斜率大于或小于,故选项B不正确;对于C:当,同在双曲线右支上时,轴时,最短,将代入可得,此时,当,在双曲线两支上时,最短为实轴长,所以的最短长度为,故选项C不正确;对于D:当,同在双曲线右支上时,当,在双曲线两支上时,根据双曲线对称性可知:满足的直线有4条,故选项D正确;故选:AD.11已知为坐标原点,双曲线(,)的左、右焦点分别为,离心率为2,过的直线与双曲线的右支交于,两点,且的最小值为6,则()A该双曲线的方程为B若,则直线的斜率为C的最小值为25D面积的最小值为12【解析】对于A,依题意可知,结合
7、,得,所以双曲线的方程为,故A正确;对于B,易知,抛物线渐近线的斜率为,设,直线,由直线与双曲线的右支交于两点,所以,从而,联立,得,则,若,则,即,解得,不满足,故B错误;对于C,由,则,所以因为,所以,故C正确;对于D,设,则,令,函数在上单调递减,因此,故D正确,故选:ACD12已知动点是双曲线上的点,点是的左、右焦点,是双曲线的左、右顶点,下列结论正确的是( )A双曲线的离心率为B点在双曲线的左支时,的最大值为C点到两渐近线的距离之积为定值D若是的面积,则为定值【解析】对A:因为双曲线,故可得,则离心率,故A正确;对B:因为,故可得,则,因为,则,令,故,故当时,取得最大值.故B错误;
8、对C:设点,则,又双曲线渐近线为,故到两渐近线的距离之积为.故C正确;对D:不妨设点在轴上方,则,则,又,故,又,故;当点在轴下方时,同理可得.故D正确.故选:ACD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13已知双曲线C的方程为,双曲线C上存在一点P,使得,则实数a的最大值为 .【解析】设点 ,由得:,所以,化简得:,即满足条件的点在圆上运动,又点存在于上,故双曲线与圆有交点,则 ,即实数a的最大值为2,14双曲线:的左,右顶点分别是,是上任意一点,直线,分别与直线:交于,则的最小值是 【解析】由双曲线的对称性可知,只需研究在右支上时,取最小值的情况.
9、由上可得,根据双曲线方程可得,所以设直线的斜率分别为,则的方程为,令,解得,的方程为,令,解得,所以,(当且仅当,即,时等号成立)故答案为:.15已知点,若双曲线的右支上存在两动点,使得,则的最小值为 .【解析】设,则,即.因为,所以,则.因为,所以,当且仅当时等号成立,即的最小值是.16已知双曲线,过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线,垂足分别为M,N,则的最小值为 .【解析】因为双曲线,所以双曲线的渐近线方程为,设是双曲线上任意一点,则,所以,则,由点线距离公式得,两边平方得,所以,即的最小值为.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知
10、双曲线的实轴长为,离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知点,求线段的中点Q的轨迹方程;(3)已知点,求的最小值.【解析】(1)依题意,又离心率为,即,则.所以,双曲线C的标准方程.(2)设动点,点,由线段的中点为Q,则,代入双曲线C的方程得,所以Q的轨迹方程.(3)动点P是双曲线C上任意一点,设,则,则,或,当时,取最小值,最小值为.18在平面内,动点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线的距离比是常数2.(1)求动点的轨迹方程;(2)若直线与动点的轨迹交于P,Q两点,且(为坐标原点),求的最小值.【解析】(1)由已知可得:,整理化简可得:,即,
11、所以动点的轨迹方程为:;(2)由可设直线OP的方程为,直线OQ的方程为,由,可得,所以,同理可得,又由且,可得,所以,所以,所以,当且仅当时等号成立,所以的最小值为6.19已知双曲线过点,左右顶点分别是,右焦点到渐近线的距离为,动直线与以为直径的圆相切,且与的左右两支分别交于两点.(1)求双曲线C的方程;(2)记直线的斜率分别为,求的最小值.【解析】(1)因为点在双曲线上,故,即,而双曲线的渐近线方程为,到一条渐近线的距离为,所以,解得,又,所以,故所求双曲线的方程为;(2)因为双曲线的方程为,所以,故以为直径的圆为,而直线是其切线,所以应满足,得,而坐标满足,消去得,求得,而,故,由此可得(
12、*),由于分别在的左右两支,故,因此,所以,将代入整理得,又,故,显然,由题意得,故,所以,将及代入,求得,而,故,又,故,即.20设双曲线的左、右焦点分别为,且E的渐近线方程为(1)求E的方程;(2)过作两条相互垂直的直线和,与E的右支分别交于A,C两点和B,D两点,求四边形ABCD面积的最小值【解析】(1)由题意,得的渐近线方程为,因为双曲线的渐近线方程为,所以,即,又因为,所以,则,故的方程为(2)根据题意,直线,的斜率都存在且不为0,设直线,其中,因为,均与的右支有两个交点,所以,所以,将的方程与联立,可得,设,则,所以,用替换,可得,所以令,所以,则,当,即时,等号成立,故四边形面积
13、的最小值为21已知双曲线,(,)的实轴长为2,且过点,其中为双曲线的离心率(1)求的标准方程;(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点,点在线段上,且,为线段的中点,记直线,(为坐标原点)的斜率分别为,求的最小值【解析】(1)因为双曲线的实轴长为2,则,由双曲线过点,且,则,即,解得,故双曲线的标准方程为(2)设直线,由题意可知,联立方程,整理得,由题意可得,解得或,则,可得,则,所以因为,则,整理得,则,即,则所以,即,当且仅当,即或时,等号成立,此时或,均满足与的左、右两支分别相交的最小值为622已知双曲线:经过点,且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程;(2)过点P作两条相互垂直的直线PA,PB分别交双曲线于A,B两点,求点P到直线AB距离的最大值.【解析】(1)不妨设,到双曲线的一条渐近线的距离为.双曲线过,所以,所以双曲线方程为.(2)当直线的斜率不存在时,设,则,依题意,即,由解得或(舍去),所以,此时到直线的距离为.当直线的斜率存在时,设,设直线的方程为.由消去并化简得:,依题意,所以,整理得,即,由于直线,所以,函数的开口向上,判别式为,故成立.所以直线的方程为,即,所以到的距离,当时,;当时,当且仅当时等号成立.所以.综上所述,点到直线的距离的最大值为.