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1、专题10 双曲线中的最值问题限时：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（）ABCD【解析】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：，所以，因为，所以，所以，将代入得：.故选：B2过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（）A0BC1D2【解析】椭圆，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为
2、曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C3已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（）ABCD【解析】由题意得，故， 如图所示：到渐近线的距离,则，当且仅当，三点共线时取等号，的最小值为.故选：D4已知点A在双曲线C：（b0）上，且双曲线C的上下焦点分别为F1，F2，点B在F1AF2的平分线上，BF2AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（）ABCD【解析】作出图形如图所示，设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2AB，且F1AB=F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l：的距离为，故的最
3、小值为，故选：D5已知双曲线的右焦点为F，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点MQ，则的最大值为（）A48B49C50D42【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且连接，在以为直径的圆上，；为双曲线上一点，且，；故选：A6已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（）A20B22C24D25【解析】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，不妨设直线的方程为，则直线的方程为设，联立，得，则，同理可得，所以即，当且仅当时等号成立故选：C7双曲线右焦点为，离心率为，以为圆心，长为半径的圆与双
4、曲线有公共点，则最小值为（）ABCD【解析】由题意，右焦点，又，则，以为圆心，为半径的圆的方程为，联立方程组，得，由圆与双曲线有公共点，所以，即，结合，化简为，由方程两根为：，所以不等式的解为，或，由已知，得所以，当时，取得最小值.故选：A8设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，则有若，为的中点，则直线斜率的最小值是（）ABCD【解析】因为，所以，又，所以，则，所以，设，则，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，即直线斜率的最小值是.故选：C二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9已知双
5、曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为B双曲线C的实轴长为8C双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为【解析】由双曲线C的方程为，得：，对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确；对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确；对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确；对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误；故选：ABC.10已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，则（）A若在双曲线右支上，则的最短长度为1B若，同在双曲线右支上，则的斜率大于C的最短长度为6D满足的直线有4条【解析】由双曲线可得，所以，对于A：若在双曲线右支上
6、，则的最短长度为，故选项A正确；对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确；对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确；对于D：当，同在双曲线右支上时，当，在双曲线两支上时，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确；故选：AD.11已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（）A该双曲线的方程为B若，则直线的斜率为C的最小值为25D面积的最小值为12【解析】对于A，依题意可知，结合
7、，得，所以双曲线的方程为，故A正确；对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而，联立，得，则，若，则，即，解得，不满足，故B错误；对于C，由，则，所以因为，所以，故C正确；对于D，设，则，令，函数在上单调递减，因此，故D正确，故选：ACD12已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ）A双曲线的离心率为B点在双曲线的左支时，的最大值为C点到两渐近线的距离之积为定值D若是的面积，则为定值【解析】对A：因为双曲线，故可得，则离心率，故A正确；对B：因为，故可得，则，因为，则，令，故，故当时，取得最大值.故B错误；
8、对C：设点，则，又双曲线渐近线为，故到两渐近线的距离之积为.故C正确；对D：不妨设点在轴上方，则，则，又，故，又，故；当点在轴下方时，同理可得.故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13已知双曲线C的方程为，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为 .【解析】设点 ，由得：，所以，化简得：，即满足条件的点在圆上运动，又点存在于上，故双曲线与圆有交点，则 ,即实数a的最大值为2，14双曲线：的左，右顶点分别是，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，则的最小值是 【解析】由双曲线的对称性可知，只需研究在右支上时，取最小值的情况.
9、由上可得，根据双曲线方程可得，所以设直线的斜率分别为，则的方程为，令，解得，的方程为，令，解得，所以，(当且仅当，即，时等号成立)故答案为：.15已知点，若双曲线的右支上存在两动点，使得，则的最小值为 .【解析】设，则，即.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值是.16已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 .【解析】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，设是双曲线上任意一点，则，所以，则，由点线距离公式得，两边平方得，所以，即的最小值为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知
10、双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程；(3)已知点，求的最小值.【解析】（1）依题意，又离心率为，即，则.所以，双曲线C的标准方程.（2）设动点，点，由线段的中点为Q，则，代入双曲线C的方程得，所以Q的轨迹方程.（3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则，则，或，当时，取最小值，最小值为.18在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.(1)求动点的轨迹方程；(2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.【解析】（1）由已知可得：，整理化简可得：，即,
11、所以动点的轨迹方程为：；（2）由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，由，可得，所以，同理可得，又由且，可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为6.19已知双曲线过点，左右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左右两支分别交于两点.(1)求双曲线C的方程；(2)记直线的斜率分别为，求的最小值.【解析】（1）因为点在双曲线上，故，即，而双曲线的渐近线方程为，到一条渐近线的距离为，所以，解得，又，所以，故所求双曲线的方程为；（2）因为双曲线的方程为，所以，故以为直径的圆为，而直线是其切线，所以应满足，得，而坐标满足，消去得，求得，而，故，由此可得（
12、*），由于分别在的左右两支，故，因此，所以，将代入整理得，又，故，显然，由题意得，故，所以，将及代入，求得，而，故，又，故，即.20设双曲线的左、右焦点分别为，且E的渐近线方程为(1)求E的方程；(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值【解析】（1）由题意，得的渐近线方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，又因为，所以，则，故的方程为（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，设直线，其中，因为，均与的右支有两个交点，所以，所以，将的方程与联立，可得，设，则，所以，用替换，可得，所以令，所以，则，当，即时，等号成立，故四边形面积
13、的最小值为21已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率(1)求的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，求的最小值【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，则，由双曲线过点，且，则，即，解得，故双曲线的标准方程为（2）设直线，由题意可知，联立方程，整理得，由题意可得，解得或，则，可得，则，所以因为，则，整理得，则，即，则所以，即，当且仅当，即或时，等号成立，此时或，均满足与的左、右两支分别相交的最小值为622已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.【解析】（1）不妨设，到双曲线的一条渐近线的距离为.双曲线过，所以，所以双曲线方程为.（2）当直线的斜率不存在时，设，则，依题意，即，由解得或（舍去），所以，此时到直线的距离为.当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.由消去并化简得：，依题意，所以，整理得，即，由于直线，所以，函数的开口向上，判别式为，故成立.所以直线的方程为，即，所以到的距离，当时，；当时，当且仅当时等号成立.所以.综上所述，点到直线的距离的最大值为.
