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1、高等数学高等数学第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 第一节第一节 微元法微元法 一、问题的提出一、问题的提出二、小结二、小结重点：微元法的理解重点：微元法的理解 高等数学高等数学回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo高等数学高等数学面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值高等数学高等数学ab xyo（4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素高等数学高等数学高等数学高等数学元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：高等数学高等数学这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元
2、法微元法或或元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等高等数学高等数学元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结二、小结高等数学高等数学思考题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？高等数学高等数学思考题解答思考题解答微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.高等数学高等数学第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、特殊图形的体积二、特殊图形的体积三
3、、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长重点：求面积、体积、弧长重点：求面积、体积、弧长 难点难点: : 极坐标极坐标高等数学高等数学一、平面图形的面积一、平面图形的面积（一）直角坐标系情形（一）直角坐标系情形（三）极坐标系情形（三）极坐标系情形（二）参数情形（二）参数情形 高等数学高等数学曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积(一一) 直角坐标系情形直角坐标系情形一、平面图形的面积一、平面图形的面积高等数学高等数学解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量例例 1高等数学高等数学解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量例例 2高等数学高等
4、数学于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量可以选积分变量可以选 y 吗？吗？高等数学高等数学解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量例例 3高等数学高等数学如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积（二）参数情形（二）参数情形 高等数学高等数学解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例 4高等数学高等数学面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积（三）极坐标系情形（三）极坐标系情形高等数学
5、高等数学解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积例例 5高等数学高等数学解解利用对称性知利用对称性知例例 6高等数学高等数学练习练习高等数学高等数学解答解答两边同时对两边同时对 求导求导xyo高等数学高等数学积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为高等数学高等数学 作作 业业P229: 1(3, 4, 5, 6, 8), 2(2, 4, 6)高等数学高等数学二、二、 体体 积积（一）旋转体的体积（一）旋转体的体积（二）平行截面面积为已（二）平行截面面积为已 知的立体的体积知的立体的体积高等数学高等数学 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图
6、形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台（一）旋转体的体积（一）旋转体的体积高等数学高等数学xyo旋转体的体积为旋转体的体积为高等数学高等数学高等数学高等数学解解 直线直线 方程为方程为例例 7高等数学高等数学高等数学高等数学解解例例 8推广推广高等数学高等数学解法二解法二高等数学高等数学解解例例 9高等数学高等数学解解例例 10高等数学高等数学高等数学高等数学解解体积元素为体积元素为例例 11高等数学高等数学（二）平行截面面积为已知的立体的体积（二）平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道
7、该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积高等数学高等数学解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积例例 12高等数学高等数学三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长（一）平面曲线弧长的概念（一）平面曲线弧长的概念（二）直角坐标情形（二）直角坐标情形（三）参数方程情形（三）参数方程情形（四）极坐标情形（四）极坐标情形高等数学高等数学（一）平面曲线弧长的概念（一）平面曲线弧长的概念高等数学高等数学弧长元素弧长
8、元素弧长弧长（二）直角坐标情形（二）直角坐标情形高等数学高等数学解解所求弧长为所求弧长为例例 1高等数学高等数学解解例例 2高等数学高等数学曲线弧为曲线弧为弧长弧长（三）参数方程情形（三）参数方程情形高等数学高等数学解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例 3高等数学高等数学曲线弧为曲线弧为弧长弧长（四）极坐标情形（四）极坐标情形高等数学高等数学解解例例 4高等数学高等数学解解例例 5高等数学高等数学例例6 6计算曲线计算曲线解解四、求旋转曲面的侧面积举例四、求旋转曲面的侧面积举例高等数学高等数学
9、1.求在直角坐标系下、参数方程形求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积式下、极坐标系下平面图形的面积.2.求求交点交点以定积分限以定积分限, 选择适当的选择适当的积分变量积分变量有助于简化积分运算有助于简化积分运算.五、小结五、小结高等数学高等数学旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周五、小结五、小结高等数学高等数学平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式五、小结五、小结高等数学高等数学思考题思考题高等数学高等数学思考题思考题高等数学高等数学思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长高等数学高等数学 作作 业业P229: 3(2, 4, 6), 4(1, 4)高等数学高等数学解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积例例 6高等数学高等数学补充补充书书P351:9P351:9高等数学高等数学利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中例例 3
