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1、1.2 充分条件充分条件，必要条件必要条件 和和充要条件充要条件判断下列命题的真假判断下列命题的真假: (2)(2)、若两条直线同垂直于一个平面，则这两条、若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。直线平行。若若a=0,a=0,则则abab=0=0(1)、一一. .充分条件充分条件 一般地，一般地，“若若p p则则q q”为真命题，它是指当为真命题，它是指当p p成立时，成立时，q q也成立。也成立。 即即p pq q ，但，但qpqp. .称称p p是是q q的充分条件。的充分条件。q q是是p p的必要条件的必要条件例例1 1、在下列、在下列“若若p,p,则则q q”形式的命题中，哪些
2、形式的命题中，哪些命题中的命题中的p p是是q q的充分条件？的充分条件？(1)(1)若四边形对角线互相平分，则它是菱形。若四边形对角线互相平分，则它是菱形。(2)(2)三角形中若三角形中若ab,ab,则则ABAB。(3)(3)若若x1,x1,则则x x2 211。解：命题解：命题(2)(2)、(3)(3)中中p p是是q q的充分条件。的充分条件。练习练习1 1、在下列、在下列“若若p,p,则则q q”形式的命题中，哪形式的命题中，哪些命题中的些命题中的p p是是q q的充分条件？的充分条件？(1)(1)、若两个三角形全等，则这两个三角形相似。、若两个三角形全等，则这两个三角形相似。(2)(
3、2)、若、若x5x5，则，则x10x10。“若若p p则则q q”为真命题，为真命题，它是指当它是指当p p成立时，成立时，q q一定成立。一定成立。即即p pq ,qq ,q必须成立必须成立, ,称称q q是是p p的必要条件。的必要条件。而如果而如果“若若p p则则q q”为假命题，为假命题，则则p pq ,q ,称为称为q q不是不是p p的必要条件的必要条件二二. .必要条件必要条件例例2、在下列、在下列“若若p,则则q”形式的命题中，形式的命题中， 哪些命题中哪些命题中的的q是是p的必要条件？的必要条件？(1)、若、若x=1，则，则x2- -4x+3=0。(2)、若、若x为无理数，则
4、为无理数，则x2为无理数。为无理数。(3)、若、若a+5是无理数，则是无理数，则a是无理数。是无理数。(4)、若、若(x- -a)(x- -b)=0，则，则x=a 。分析: “p的必要条件是q” 与“q是p的必要条件”同一意思。也就是p q练习练习2、在以下各组中，哪些使、在以下各组中，哪些使p q 成立成立, 哪些使哪些使 q p 成立，并分析成立，并分析p与与q的关系。的关系。(1) p: x5, q: x4;解：由于解：由于 p q ，则，则p是是q的充分条件的充分条件, q是是p的必要条的必要条件件.(2) p:四边形的对角线相等，四边形的对角线相等， q:四边形是等腰梯形。四边形是等
5、腰梯形。解：由于解：由于 q p ，则，则q是是p的充分条件的充分条件, p是是 q的必要条件的必要条件. (3) p: a,b都是奇数，都是奇数，q: a+b是偶数；是偶数；(4) p: sin =sin , q: = .解：由于解：由于 p q ，则，则p是是q的充分条件的充分条件, q是是 p的必要条件。的必要条件。解：由于解：由于 q p ，则，则q是是p的充分条件的充分条件, p是是q的必要条件。的必要条件。练习练习3、判断下列命题的真假：、判断下列命题的真假：(1) x=2是是x2- -4x+4=0的必要条件；的必要条件；(2) 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线圆心到直
6、线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；的必要条件；(3)(4) ab 0是是a 0的充分条件。的充分条件。三三.充要条件充要条件问题问题：已知：已知p:内错角相等，内错角相等，q:两直线平行。其中两直线平行。其中p是是q的的什么条件？什么条件？p q ，所以所以p是是q的充分条件的充分条件。 q p，所以所以p也是也是q的必要条件的必要条件。我们称，我们称，p是是q的的充分必要条件充分必要条件，简称，简称充要条件充要条件。p q并记作：我们也称，我们也称， q 是是p的的充分必要条件充分必要条件，简称，简称充要条件充要条件。综上所述，如果综上所述，如果 ，那么，那么p与与q 互为充要
7、条件。互为充要条件。 p q1.下列各题中，哪些下列各题中，哪些p是是q的充要条件？的充要条件？2、如果p q,q p,3、如果p q,q p,4、如果p q,q p,1、如果p q,q p,那么p是q的充分必要条件。那么p是q的充分不必要条件。那么p是q的必要不充分条件。那么p是q的 既不充分也不必要条件例1、在下列各题中，在下列各题中，p是是q的什么条件。的什么条件。所以p是q的必要不充分条件所以p是q的充分不必要条件解：(1) 因为p q， q p ，(2) 因为p q， q p，在下列各题中，p是q的什么条件。练习2 已知：已知： 的半径为的半径为r,圆圆心到直线心到直线l的距离为的距
8、离为d。求求证：证：d=r是直线是直线l与与 相切相切的充要条件。的充要条件。oPl证明：如图，作证明：如图，作OPl 于点于点P，则，则OP=d.(1)必要性必要性(q p)：若直线若直线l与与 相切，相切，不妨设切点为不妨设切点为P则则OP l 。因此，因此，d=OP=r 。例2、QoPl(2)充分性充分性(pq)：若若d=r，则点则点P在在 上，上，在直线上任取一点在直线上任取一点Q(异于点异于点P)，连接连接OQ， 所以，除点除点P外，直线外，直线l上的点都在上的点都在 的外部。的外部。即直线即直线l与与 仅有一个公共点仅有一个公共点P。因此，直线因此，直线l与与 相切。相切。在在RtOPQ中，中，OQOP=r. 小结小结:1、充分，必要和充要条件的概念。3、证明充要条件的方法。2、条件p与条件q之间的关系。
