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1、第2讲随机变量及其分布列高考定位概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等;对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”,多在解答题的前三题的位置呈现,常考查独立事件的概率,超几何分布和二项分布的期望等.真真 题题 感感 悟悟(2016全国卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易
2、损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n19与n20之中选其一,应选用哪个?解(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X16)0.20.20.04;P(X17)20.20.40.16;P(X18)20.20.20.40.40.24;P(X19)20.20.220.40.20.24
3、;P(X20)20.20.40.20.20.2;P(X21)20.20.20.08;P(X22)0.20.20.04;所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44,P(X19)0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当 n 19时 , E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (192002500)0.08(192003500)0.044 040.当n20时,E(Y) 202000.88 (20200 500)0.08 (20200
4、2500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值,故应选n19.考考 点点 整整 合合1.条件概率2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B).3.独立重复试验4.超几何分布5.离散型随机变量的分布列x1x2x3xiPp1p2p3pi为离散型随机变量的分布列.(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质:pi0;p1p2pi1(i1,2,3,).(3)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望或均值.D() (x1 E()2p1 (x2 E()2p2 (xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差.(4)性质E(ab)aE
5、()b,D(ab)a2D();XB(n,p),则E(X)np,D(X)np(1p);X服从两点分布,则E(X)p,D(X)p(1p).热点一相互独立事件、独立重复试验概率模型 微题型微题型1相互独立事件的概率相互独立事件的概率(1)获赔的概率;(2)获赔金额(单位:元)的分布列.综上知,的分布列为探究提高对于复杂事件的概率,要先辨析事件的构成,理清各事件之间的关系,并依据互斥事件概率的和,或者相互独立事件概率的积的公式列出关系式;含“至多”“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解;并注意正难则反思想的应用(即题目较难的也可从对立事件的角度考虑).微题型2独立重复试验的概率(1)若走L1路
6、线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯的次数X的数学期望;(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.探究提高在解题时注意辨别独立重复试验的基本特征:(1)在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况;(2)在每次试验中,事件发生的概率相同.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).热点二离散型随机变量的分布列微题型微题型1利用相互独立事件、互斥事件的概率求分布列利用相互独立事件、互斥事件的概率求分布列(1)小明两次回球的落点中恰有一
7、次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和X的分布列与数学期望.可得随机变量X的分布列为:探究提高解答这类问题使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,或者用表格描述,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复;分析清楚随机变量取值对应的事件是求解分布列的关键.微题型微题型2二项分布二项分布(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计
8、得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:微题型微题型3超几何分布超几何分布【例23】 (2016合肥二模)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.探究提高抽取的4人中,运动员可能为种子选手或一般运动员,并且只能是这两种情况之一,符合超几何概型
9、的特征,故可利用超几何分布求概率.【训练2】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该
10、台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y5 0001 6003 400,因此P(Y3 400)P(40X120时,三台发电机运行,此时Y5 000315 000,因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最
11、大,应安装发电机2台.1.概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)发生时间不同:在P(A|B)中,事件A,B的发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.(2)样本空间不同:在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为总的样本空间,因而有P(A|B)P(AB).2.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n,p),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.