控制理论：控制系统的数学模型

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1、2024年年8月月18日日P38-1 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2024年年8月月18日日P38-2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制系统中常见的三种数学模型形式：控制系统中常见的三种数学模型形式：1 1、外部描述：、外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。2 2、内部描述、内部描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。3 3、

2、方块图表示：、方块图表示：用比较直观的方块图模型来进行描述。2024年年8月月18日日P38-3第一节第一节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉普拉斯变换（拉氏变换）是控制系统中最为常用的一种数学方法。 拉氏变换实现公式： 通过拉氏变换还可将微分方程化为以s为变量的代数方程。若 则f(t)的n阶导数的拉氏变换的一般表达式为：2024年年8月月18日日P38-4典型函数的拉氏变换单位阶跃函数单位脉冲函数单位斜坡函数单位加速度函数正弦函数指数函数第一节第一节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2024年年8月月18日日P38-5拉氏变换的性质线性性质微分性质积分性质位移性质延迟性质初值定理终值定理第一节第一节 拉

3、普拉斯变换拉普拉斯变换2024年年8月月18日日P38-6第一节第一节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例 2-1：求微分方程 的解解：对上式进行拉氏变换可得由此可得再对 进行逆拉氏变换，可得2024年年8月月18日日P38-7第二节第二节 系统输入系统输入- -输出的传递函数描输出的传递函数描述述 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 微分方程与传递函数转变关系：（y是系统的输出量，x是系统的输入量，初始条件为零初始条件为零，一般 ）两边拉氏变换 传递函数

4、取决于系统或元件的结构或参数，与输入量的形式无关，不反映有关系统物理结构的任何信息 。2024年年8月月18日日P38-8传递函数两种比较常用的形式第二节第二节 系统输入系统输入- -输出的传递函数描输出的传递函数描述述1 1传递函数分子、分母多项式模型2 2零极点增益模型2024年年8月月18日日P38-9第二节第二节 系统输入系统输入- -输出的传递函数描输出的传递函数描述述例2-2 如图所示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路解：此电路的电压平衡方程式：对于电容上式可改写为：初始条件为零时，上式的拉式变换：得到系统的传递函数：2024年年8月月18日日P38-101 1 比例环节比例环

5、节比例环节又称放大环节，其传递函数为：2 2 惯性环节惯性环节 惯性环节又称为一阶环节或非周期环节，其传递函数为：3 3 积分环节积分环节积分环节的传递函数为：第三节第三节 典型环节函数的数学模型典型环节函数的数学模型2024年年8月月18日日P38-11第三节第三节 典型环节函数的数学模型典型环节函数的数学模型4 4 微分环节微分环节微分环节的传递函数为：5 5 二阶环节二阶环节 二阶环节又称为振荡环节，其传递函数为6 6 延迟环节延迟环节 延迟环节的传递函数为：2024年年8月月18日日P38-12第四节第四节 用方块图表示的模型用方块图表示的模型 方块图方块图指向方块的箭头表示输入，而从

6、方块出来的箭头则表示输出。在这些箭头上标明了相应的信号。 误差检测器的方块图误差检测器的方块图误差检测器产生的输出信号，等于控制系统的参考输入信号与反馈信号之差。2024年年8月月18日日P38-13第四节第四节 用方块图表示的模型用方块图表示的模型 闭环系统方块图闭环系统方块图开环传递函数为：前向传递函数为：闭环传递函数为：图中各信号之间关系为：2024年年8月月18日日P38-14第四节第四节 用方块图表示的模型用方块图表示的模型 扰动作用下的扰动作用下的闭环系统闭环系统当两个输入量同时作用于线性系统时，可将每个输入量单独作用下的相应输出量进行叠加，得到系统总输出假设无输入信号时的系统响应

7、假设无扰动信号时的系统响应则两个输入同时作用下的系统响应讨论2024年年8月月18日日P38-15第四节第四节 用方块图表示的模型用方块图表示的模型 方块图的简化方块图的简化Note:只有当一个方块的输出量不受其后的方块影响时，才能够将他们串联连接。如果在这些环节之间存在着负载效应，就必须将这些环节合并为一个单一的方块。 方块图代数法则方块图代数法则1、汇合点前移2、输出点前移3、输出点后移4、等效为单位反馈 方块图简化过程中，应记住以下方块图简化过程中，应记住以下两条原则两条原则（1）前向通道中传递函数的乘积必须保持不变；（2）回路中传递函数的乘积必须保持不变2024年年8月月18日日P38

8、-16第四节第四节 用方块图表示的模型用方块图表示的模型举例说明方块图的变换和简化：将图(a)中的汇合点前移将图(b)中最里层的反馈环节化简（a）（b）2024年年8月月18日日P38-17第四节第四节 用方块图表示的模型用方块图表示的模型将图（C）中内环的反馈环节消去简化（c）（d）（e）2024年年8月月18日日P38-18第五节第五节 信号流程图与梅逊公信号流程图与梅逊公式式 信号流程图信号流程图是由网络组成，网络中各节点用定向支线段连接。 信号流程图中定义的一些术语：节点，传输，支路，输入节点或源点，输出节点或阱点，混合节点，通道，回路，回路增益，不接触回路，前向通道，前向通道增益20

9、24年年8月月18日日P38-19第五节第五节 信号流程图与梅逊公信号流程图与梅逊公式式信信号号流流图图转转化化规规则则2024年年8月月18日日P38-20第五节 信号流程图与梅逊公式用梅逊公式可以直接求信号流图的传输。表示为： Pk=第k条前向通道的通道增益或传输k=信号流图中除去与第k条前向通道Pk相接触的支路和节点后余下的信号流图的特征式，称为Pk的余因式=流图的特征式=1-（所有不同回路的增益之和）+（每两个互不接触回路增益乘积之和）-（每三个互不接触回路增益乘积之和）+2024年年8月月18日日P38-21第五节 信号流程图与梅逊公式例2-3 将图所示的系统方块图化为信号流程图并将

10、其简化。求系统传递函数解： 首先方块图化为信号流程图2024年年8月月18日日P38-22第五节 信号流程图与梅逊公式 在这个系统中，输入量R(s)和输出量C(s)之间，只有一条前向通道。前向通道的增益为： 有三个单独的回路，其增益分别为： 没有不接触的回路，特征式为: 因为通道P1与三个回路都接触，所以得到1=1 所以，输入量R(s)和输出量C(s)之间的总增益，或闭环传函为梅逊公式2024年年8月月18日日P38-23第五节 信号流程图与梅逊公式例2-4 根据梅逊公式求如图所示的信号流图的总传输解： 此系统有六个回环，即ab、cd、ef、gh 、 ij和kfdb，因此 两个互不接触的回环有

11、七种组合，即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以 三个互不接触的回环只有ab、ef和ij，故 梅逊公式2024年年8月月18日日P38-24第五节 信号流程图与梅逊公式 由此可求特征式 从源点到阱点有两条前向通道。一条为acegi，它与所有的回环均有接触，因此 另一条前向通道为kgi它不与回环cd接触，所以 将以上结果代入梅逊公式，可得总传输2024年年8月月18日日P38-25第六节 状态空间模型简介状态空间模型状态空间模型是对系统的完全描述，既可描述输入输出特性，也可描述内部特性，适用于MIMO系统、时变系统、非线性系统和随机控制系统基本概念状态：

12、系统的最小一组变量，只要知道t=t0时的一组变量和tt0时的输入量，就能完全确定系统的行为状态变量：确定动态系统状态的最小一组变量。选取不唯一状态向量：n个状态变量可看作是向量x的n个分量，该向量就称为状态向量状态空间：由x1轴， x2轴， ，xn轴所组成的n维空间状态方程：用状态变量描述系统的动态方程2024年年8月月18日日P38-26第六节 状态空间模型简介其状态方程：将状态方程写成矩阵方程的形式：以例2-2的系统为例用 表示状态矢量则，上式可写为输出方程为2024年年8月月18日日P38-27第六节 状态空间模型简介SISO线性定常系统微分方程写成矩阵形式系统可表示为其中输出方程为令2

13、024年年8月月18日日P38-28第六节 状态空间模型简介MIMO线性定常系统系统的传递函数可表示为其中用矩阵方程表示其中2024年年8月月18日日P38-29第六节 状态空间模型简介n维线性定常系统的结构图和信号流程图2024年年8月月18日日P38-30第六节 状态空间模型简介SISO系统传递函数与状态空间方程的关系系统的传递函数系统的状态空间方程拉氏变换满足零初始条件经变换得到则传递函数为传递函数具有唯一性2024年年8月月18日日P38-31第七节 数学模型的MATLAB描述控制系统常用的数学模型有三种：传递函数、零极点增益和状态空间。1 1传递函数分子、分母多项式模型则在MATLA

14、B中，直接用分子/分母的系数形式表示，即num=b0，b1，bm；den =a0，a1，an；G(s)=tf(num，den)2024年年8月月18日日P38-32第七节 数学模型的MATLAB描述2 2零极点增益模型则在MATLAB中，用z，p，k矢量组表示，即z=z0，z1，zm；p=p0，p1，pn；k=k；G=zpk(z,p,k）3 3 状态空间模型在MATLAB中，该控制系统可用ss(A，B，C，D)表示2024年年8月月18日日P38-33第七节 数学模型的MATLAB描述4 4传递函数的部分分式展开在MATLAB中直接用分子/分母的系数表示时有num=b0，b1，bm；den =

15、 a0，a1，an； 则命令 r,p,k=residue(num,den)将求出两个多项式Y(s)和X(s)之比的部分分式展开的留数、极点和直接项。 2024年年8月月18日日P38-34第七节 数学模型的MATLAB描述同一个控制系统都可用上述三种不同的模型表示，MATLAB的信号处理和控制系统工具箱中，都提供了模型变换的函数：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它们的关系可下图所示的结构来表示。2024年年8月月18日日P38-35第七节 数学模型的MATLAB描述控制系统建模，常见形式有：并联、串联、闭环及反馈等连接。并联： nump, denp =

16、parallel(num1, den1, num2, den2) 串联： nums, dens = series(num1, den1, num2, den2) 闭环： numf, denf = feedback(num1, den1, num2, den2, sign) 单位反馈： numc, denc = cloop(num, den, sign) 2024年年8月月18日日P38-36第七节 数学模型的MATLAB描述注意：只有当两个环节无负载效应时，即前一个环节不受后面环节的影响时，串联才有效。例如：图（c）中，电路由（a）和（b）串联组成，但传递函数并不串联，因为有负载效应存在。而图（d）所示电路为（a）和（b）中的两个电路传递函数相乘2024年年8月月18日日P38-37第七节 数学模型的MATLAB描述Simulink建模方法复杂系统的模型处理方法开始准备打开编辑窗口画出系统各模块画出连接线，给出各模块参数2024年年8月月18日日P38-38本章小结(1) 数学模型及物理模型的概念，数学模型的建立(2) 传递函数的定义(3) 传递函数的性质(4) 方块图以及方块图的简化(5) 信号流程图以及梅逊公式的应用(6) 控制系统三种常用的数学模型(7) 用MATLAB表示三种数学模型形式