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1、 经济计量学 主讲：周曙东教授 南京农业大学经贸学院研究生课程第二章第二章 一元线性回归模型一元线性回归模型第一节 回归的基本概念一、相关函数关系：两个变量之间存在完全确定性关系。 如 价格 销售量 = 销售收入相关关系：两个变量之间存在非确定性依存关系。 如 需求量 与价格 之间的关系 Y = b0 + b1X + u 因变量 自变量 被解释变量 解释变量二、二、回归1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图（略图）16016517017518
2、0185140150160170180190200YX儿子们身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定父亲身高儿子身高“回归”一词的由来从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子低的儿子的倾向。得到的具体规律如下：如此以来，高的越来越高，矮的越来越矮。他百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男子的平均身高，即“回归”见1889年F.Gallton的论文普用回归定律。后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律 三、三、随机扰动项 u 产生的原因Y = bo + b1 X + u1. 客观现象的随机性质
3、2. 模型中省略的变量3. 测量与归并误差4. 数学模型形式设定造成的误差四、四、总体回归方程和样本回归方程样本回归方程Yi= b0 + b1 Xi总体回归方程Yi= b0 + b1 Xi第二节 参数的最小二乘估计一、线形一、线形回归模型的基本假定1.零均值假定：随机扰动项可正可负，可相互抵消 E(ui)=02.同方差假定：各次观察值中ui具有相同的方差 Var(ui)=2 高斯马尔柯夫假定3.无序列相关假定：随机扰动项相互独立 Cov(ui,uj)=0 高斯马尔柯夫假定4.解释变量与随机扰动项不相关假定： Cov(ui,Xi)=05.解释变量之间不存在线性相关假定6.随机扰动项服从正态分布二
4、、普通最小二乘法（二、普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法是一种参数估计方法，确定估计参数的准则是使全部观察值的残差平方和最小，即 ei2 min, 由此得出选择回归参数 b0 , b1 的最小二乘估计式。YXX1X2X3X4X5X6e1e2e3e4e5e6残差平方和使偏导数为零得正规方程 Yi = nbo + b1 Xi XiYi = bo Xi + b1 Xi2 解得记 X，Y的平均数则得三、例题示范三、例题示范计算结果的解释：计算结果的解释：回归参数的数学意义：回归参数的经济学意义：YX第三节 最小二乘估计量的统计性质一、线性性 线性特性是指估计式 bo 和 b1 是Yi 的线性函数。
5、 二、无偏性 无偏性指估计量 bo 和 b1 的均值等于总体回归参数bo 和 b1 E(b1 ) = b1 E(bo) = bo 三、最小方差性 最小方差性是指估计量 bo 和 b1 具有最小方差的性质，又叫有效性。 高斯马尔可夫定理 最小二乘估计量与用其他方法求得的所有线性无偏估计量相比，具有最小的方差。 一个估计量如果它是线性的，同时又是有效的（即无偏的，又具有最小方差）那它就是最佳线性无偏估计量 BLUE Best Linear Unbiased Property of an Estimator 第四节 样本决定系数及回归直线拟合优度的检验一、总离差平方和分解 回归直线 = + X =
6、回归直线解释的部分 Yi = ei 实际与回归值之残差 Yi = (Yi ) + ( ) 越大，ei 越小说明回归直线与样本点拟合得好。YYiiYY O Xi Xie =来自残差(YiY)=总离差 来自回归(Yi - Y)2 = (Yi - Yi) + (Yi - Y)2 = (Yi - Yi)2 + (Yi - Y)2 + 2 (Yi - Yi) (Yi - Y) yi2 = e2 + yi2 TSS = RSS + ESS= 0.977353R2 = 回归平方和总离差平方和二、样本决定系数三、相关检验 正线性相关 负线性相关 非线性相关 不相关取值范围：0 R2 1 - 1 r 1四、随机
7、扰动项方差 2 的估计由于随机项 u 不可观测，只能用残差 e 估计ei2 = yi2 - b1 xi yi = 1889538 - 0.511123 3613114.4 = 42792.13残差平方和样本方差b1 的样本标准差b0 的样本标准差五、假设检验某一给定的观测或发现是否与某一声称的假设（stated hypothesis ）相符？此处用“相符”一词表示观测的值与假设的值“足够相近”，因而我们不拒绝所声称的假设。原假设 （Null hypothesis ）：一种信以为真的、意在维护的或理论上的假设，并用 H0 表示备择假设(alternative hypothesis):为与之对立的
8、假设,记为 H1 如，原假设 Ho: b1 = 0 备择假设H1: b1 0第一类错误：拒绝真实；第二类错误：接受错误。模型中样本值可以自由变动的个数，称为自由度自由度 = 样本个数 样本数据受约束条件（方程）的个数自由度：六、参数显著性检验（ t 检验）H0：b1 = 0；H1: b1 0；)2(/22=ntxS(b1)Tisb1所以有，as=1)/Pr (2222txti从而，22tt+ 检验的估计值是否在此区间，b1b1b1b1b1S(b1),S(b1)b1如果在则接受原假设，否则拒绝原假设。比较|T | 与 t的大小2|T | t 拒绝 H02对 bo 的显著性 t 检验Ho: bo
9、= 0; H1: bo 0对 b1 的显著性 t 检验Ho: b1 = 0; H1: b1 0给定显著性水平 = 0.05, 查自由度 n - 2 = 8 的 t 分布表，得 t = 2.3062T0; T1 2.306 拒绝原假设， 接受备择假设七、回归方程的显著性检验（ F 检验）H0：b0= b1 = 0；H1: bi 不全为 0；离差名称平方和自由度均方差回归平方和剩余平方和总体平方和1n - 2n - 1方 差 分 析 表对方程的显著性 F 检验H0：b0= b1 = 0；H1: bi 不全为 0；F 5.32 拒绝原假设， 接受备择假设八、预测包括两种预测：1、点预测2、区间预测0
10、100XYbb +=+2200022020)(11)(11iixXXnYYxXXntYX XY =0.05 的置信区间Y = 0.01 的置信区间YY2t例题 P48 T 2-8R2 = 0.977353ei2 = yi2 - b1 xi yi = 340.8571 - 0.408586 809 = 10.31118=S(b1)Tb1=S(bo)Tbo0.0322731.9799450.408586 = 12.66038 = 5.93479911.75058对例题的统计检验查 t 分布表 t 0.025(5)= 2.571, T t , 拒绝原假设，通过 t 检验。在 5 % 的显著性水平上检验
