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1、 给我最大快乐的，不是已懂的知识，给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习而是不断的学习.-高斯高斯 王捷同学去商店买了单价是王捷同学去商店买了单价是9.89.8元元/ /千克的糖千克的糖果果10.210.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付出应付99.9699.96元，结果与售货员计算出的结果相元，结果与售货员计算出的结果相吻合吻合. .售货员很惊讶地说：售货员很惊讶地说：“你真是个神童你真是个神童！”王捷同学说：王捷同学说：“过奖了，我只是利用了过奖了，我只是利用了在数学上刚学过的一个公式在数学上刚学过的一个公式. .”1经历探索平方差公式的探
2、索平方差公式的过程程2会会推推导平平方方差差公公式式，并并能能运运用用公公式式进行行简单的的运运算算【预习导学预习导学】自学指导自学指导: : 自学课本自学课本P107P107108108页页“探究与思考与例探究与思考与例1、例、例2”，掌握平方差，掌握平方差公式，完成公式，完成 P108页页的的练习练习1，2两题两题 助学解疑计算下列各题:做一做做一做(1)(1) ( (x x+ + +3)(3)(x x 3) 3) ；(2)(2) (1 (1+ + +2 2a a)(1)(1 2 2a a) ) ；(3)(3) ( (x x+ + +4 4y y)( )(x x 4 4y y) ) ；(4
3、)(4) ( (y y+ + +5 5z z)( )(y y 5 5z z) ) ；= = =x x2 2 9 ;9 ;= = =1 1 4 4a a2 2 ; ;= = =x x2 2 1616y y2 2 ; ;= = =y y2 2 2525z z2 2 ; ;= = =x x2 2 3 32 2 ; ;= = =1 12 2 (2(2a a) )2 2 ; ;= = =x x2 2 (4(4y)y)2 2 ; ;= = =y y2 2 (5(5z)z)2 2 . .2猜想：猜想：(a + b)(a b)=.a2b2通过计算，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？通过计算，你能发现它
4、们的运算形式与结果有什么规律吗？(a+b)(ab) 证明：证明：(a + b)(a b)=a2b2.(a + b)(a b)=a2b2.（多项式乘法法则）（多项式乘法法则）（合并同类项）（合并同类项）你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？aabba+ba-bbb(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为相同为a 相反为相反为b相同项的平方相同项的平方相反项的平方相反项的平方平方差公式平方差公式注：这里的两数可以是两个数字，也可以是两注：这里的两数可以是两个数字，也可以是两个个整式整式等等等等相同项平方减去相反项相同项平方减去相反项的平方的平方公式变形
5、公式变形:1、（a b ) ( a + b) = a2 - b22、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2两数两数两数两数和和和和与这两数与这两数与这两数与这两数差差差差的积的积的积的积, ,等于等于等于等于 这两数的这两数的这两数的这两数的平方差平方差平方差平方差. . 能否运用公式，若能直接说出结果能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-(l)(-a+b)(a+b)=a+b)(a+b)=_ (2)(a-b)(b+a)= _ (2)(a-b)(b+a)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (4)(a-b)(-a-b)= _ (
6、4)(a-b)(-a-b)= _ (5)(a+b)(-a-b)= (5)(a+b)(-a-b)= _ _ (6)(a-b)(-a+b)= (6)(a-b)(-a+b)=_ a a2 2- -b b2 2a a2 2- -b b2 2b b2 2- -a a2 2b b2 2- -a a2 2运用新知运用新知:不能不能不能不能 纠错.互教小明的计算正确吗？如果不正确应怎样改正？小明的计算正确吗？如果不正确应怎样改正？(1) (-3a-2)(3a-2)(1) (-3a-2)(3a-2) = 9a = 9a2 2 - 4- 4(2) ( x-y)( x+y)(2) ( x-y)( x+y) = x
7、= x2 2 y y2 22 23 32 23 32 23 3(3) (2a-3b)(3b+2a)(3) (2a-3b)(3b+2a) = (2a-3b)(2a+3b) = (2a-3b)(2a+3b) = 4a = 4a2 2 - - 3b解：解：改正：改正：解：解： (1) (-3a-2)(3a-2)(1) (-3a-2)(3a-2)(2) ( x-y)( x+y)(2) ( x-y)( x+y) =( x) =( x)2 2 y y2 2 = x x2 2 - y- y2 22 23 32 23 32 23 34 49 9( )( )( )( )( )( )= (-2-3a)(-2+3a
8、)= (-2-3a)(-2+3a)= (-2)= (-2)2 2 - (3a) - (3a)2 2= 4 - 9a= 4 - 9a2 2 (3m2n)(3m2n)变式变式变式变式一一一一 ( ( 3m3m2n)(2n)(3m3m2n)2n)变变式二式二 ( 3m2n)(3m2n)变式三变式三 (3m2n)(3m2n)1 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：（1）(7+6x)(76x)；（；（2）(3y x)(x3y)； （3）(m2n)(m2n)2 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：（1）19922008（2）39.840.2. 王捷同学去商店买了单价是王捷同学去商店买了单价是9.8
9、9.8元元/ /千克的糖千克的糖果果10.210.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付出应付99.9699.96元，结果与售货员计算出的结果相元，结果与售货员计算出的结果相吻合吻合. .售货员很惊讶地说：售货员很惊讶地说：“你真是个神童你真是个神童！”王捷同学说：王捷同学说：“过奖了，我只是利用了过奖了，我只是利用了在数学上刚学过的一个公式在数学上刚学过的一个公式. .”1.本节课你有何收获本节课你有何收获？2.你还有什么疑问吗？你还有什么疑问吗？公式：（公式：（a+b)(a-b)=a2-b2一个(1)简化某些多项式的乘法运算简化某些多项式的乘法运算(2
10、)提供有理数乘法的速算方法提供有理数乘法的速算方法两种作用公式中的公式中的a，b可表示可表示 (1)单项式单项式 (2)具体数具体数 (3)多项式多项式三个表示利用平方差公式计算利用平方差公式计算:（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解解:原式原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16 拓展提升拓展提升1.计算计算 20042 20032005;解： 20042 20032005= 20042 (20041)(2004+1)= 20042 （2004212 )= 20042 20042+12 =12.计算：计算：(2+1)(22+1)(24+1)(232+1)+1寄语寄语 如果你智慧的双眼
11、善于观察，善于发现，那你一定会觉得数学就在我们的身边。 老师相信：你辛勤的汗水一定会浇灌出智慧的花朵！5米5米a米米(a-5)(a+5)米米相等吗？相等吗？原来原来现在现在a2(a+5)(a-5)a2a225（1）19922008（1）19922008 =(2000 8) (2000+8 )=20002 82 =4000 00064=3 999 936 2 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：解：解：（2）39.840.2. （2）39.840.2. =(40 0.2) (40+0.2 )=402 0.22 =16000.04 =1599.96 【合作探究合作探究】小组讨论交流解题思路，小
12、组活动后，小组代表展示活动成果。小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟分钟点拨精讲：点拨精讲：可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方差公式结构。差公式结构。 解:10.29.8 = = =100-0.04 =99.96(元).大家来比赛，看谁算得快大家来比赛，看谁算得快 A组组（1） 10397（2） 60.2 59.8 B组组（1） 1002-32（2） 602-0.22(1) 9991(2) 3599.96 同桌间每人利用平方差公式出两道同桌间每人利用平方差公式出两道题，然后交换解答，找出对方做错的地题，然后交
13、换解答，找出对方做错的地方，并通过互助共同解决问题方，并通过互助共同解决问题.【合作探究合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟分钟 点拨精讲：点拨精讲：在多个因式相乘时可将符合平方差结构的因式交换结在多个因式相乘时可将符合平方差结构的因式交换结 合进行计算。合进行计算。 灰太狼开了租地公司灰太狼开了租地公司,一天他把一边一天他把一边长为长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一我把这块地的一边边增加增加5米米,另一边另一边减少减
14、少5米米,再继续租给再继续租给你你, 你也没吃亏你也没吃亏,你看如何你看如何?”慢羊羊一慢羊羊一听觉得听觉得没有吃亏没有吃亏,就答应了就答应了.回到羊村回到羊村,就就把这件事对喜羊羊他们讲了把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听大家一听,都说道都说道:“村长，您吃亏了村长，您吃亏了!” 慢羊羊村慢羊羊村长很吃惊长很吃惊同学们同学们,你能告诉慢羊羊这你能告诉慢羊羊这是是为什么为什么吗吗?1 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：（1）(7+6x)(76x)；（；（2）(3y x)(x3y)； （3）(m2n)(m2n)解：解：（1） (7+6x)(76x)=（2）(3y+x) (x3y) =（3）
15、(m+2n)(m2n )72-（6x）2= 4936x2x23y2= x29y2=(m)2(2n)2=m24n22 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：A A组组 习题习题14.214.2 复习巩固复习巩固 T1 T1 B B组组 习题习题14.2 14.2 综合运用综合运用 T3(4) T5 T3(4) T5 C C组组 习题习题14.2 拓广探索拓广探索 T9T91.1.计算计算 20042-2003200520042-200320052 22.2.请你利用平方差公式求出请你利用平方差公式求出(2+1)(2(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)(
16、2+1)(26464+1)+1)的值的值. .3. 3. (a+b+c)(a-b-c) 平方差公式：平方差公式：(a+ +b)(ab)= =a2b2两数两数和和与这两数与这两数差差的积的积,等于等于这两数的这两数的平方差平方差.公式变形公式变形:1、（a b ) ( a + b) = a2 - b22、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2灵活运用新知灵活运用新知 例例2 2，运用平方差公式计算：，运用平方差公式计算：（1 1） 10.29.8（2） (y+2) (y-2) (y-1) (y+5)（3 3） (x+y)(x-y)(x(x+y)(x-y)(x2 2+y+y2 2
17、) ) 算一算：算一算：看谁做的又快又准确！看谁做的又快又准确！(1)(2)(3)(4)观察思考：观察思考：等式左边相乘的两个多项式有什么特点？等式左边相乘的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？等式右边的多项式有什么规律？你能归纳出上述等式的规律吗？你能归纳出上述等式的规律吗？1计算计算： (x+1)(x-1)=_ ; (m+2)(m-2)=_ ; (2x+3)(2x-3)=_. 观察上述算式，等号左边有什么规律？观察上述算式，等号左边有什么规律？ 观察计算结果观察计算结果, 你又发现了什么规律？你又发现了什么规律？- 1- 4- 92猜想：猜想：(a + b)(a b)=.a2
18、b2平 方 差 公 式计算下列各题:做一做做一做(1)(1) ( (x x+ + +3)(3)(x x 3) 3) ；(2)(2) (1 (1+ + +2 2a a)(1)(1 2 2a a) ) ；(3)(3) ( (x x+ + +4 4y y)( )(x x 4 4y y) ) ；(4)(4) ( (y y+ + +5 5z z)( )(y y 5 5z z) ) ；= = =x x2 2 9 ;9 ;= = =1 1 4 4a a2 2 ; ;= = =x x2 2 1616y y2 2 ; ;= = =y y2 2 2525z z2 2 ; ; 观观观观察以上算式及其运算结果，察以上
19、算式及其运算结果，察以上算式及其运算结果，察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？你发现了什么规律？你发现了什么规律？你发现了什么规律？= = =x x2 2 3 32 2 ; ;= = =1 12 2 (2(2a a) )2 2 ; ;= = =x x2 2 (4(4y)y)2 2 ; ;= = =y y2 2 (5(5z)z)2 2 . .(a+ +b)(ab)= = a2b2.两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积, ,等于等于等于等于这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差. .用式子表示，即：用式子表示，即：用式子表
20、示，即：用式子表示，即：2猜想：猜想：(a + b)(a b)=.a2b2 王捷同学去商店买了单价是王捷同学去商店买了单价是9.89.8元元/ /千克的千克的糖果糖果10.210.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付说出应付99.9699.96元，结果与售货员计算出的结果元，结果与售货员计算出的结果相吻合相吻合. .售货员很惊讶地说：售货员很惊讶地说：“你真是个神你真是个神童童！”王捷同学说：王捷同学说：“过奖了，我只是利过奖了，我只是利用了在数学上刚学过的一个公式用了在数学上刚学过的一个公式. .”aab a2 b2-baab(a + b) (a - b
21、) 1.边长为边长为a的正方形板缺了一个边长为的正方形板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼的正方形角，经裁剪后拼成了一个长成了一个长方形方形.（1）你能分别表示出裁剪前后的）你能分别表示出裁剪前后的纸板的面积吗？（纸板的面积吗？（2）你能得到怎样的）你能得到怎样的一个结论？一个结论？ (1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0.3x-1)(1+0.3x)a ab ba a2 2-b-b2 2结果结果( (a a+ +b)(ab)(a-b-b) )1x x1 12 2-x-x2 21-x1-x2 2-3a(-3)(-3)2 2-a-a2 29-a9-a2 2a1a
22、 a2 2-1-12 2a a2 2-1-10.3x11 1、填一、填一填填（a+1a+1）（）（a-1a-1）(0.3x+1)(0.3x-1)(0.3x+1)(0.3x-1)(0.3x)2-120.09x2-1快乐训练营第一站：快乐训练营第一站：C组，直接组，直接运用新知，解决第一层次问题运用新知，解决第一层次问题 2 2、能否运用公式，若能直接说出结果、能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-(l)(-a+b)(a+b)=a+b)(a+b)=_ (2)(a-b)(b+a)= _ (2)(a-b)(b+a)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _
23、(4)(a-b)(-a-b)= _ (4)(a-b)(-a-b)= _ (5)(a+b)(-a-b)= (5)(a+b)(-a-b)=_ _ (6)(a-b)(-a+b)= (6)(a-b)(-a+b)=_ a a2 2- -b b2 2a a2 2- -b b2 2b b2 2- -a a2 2b b2 2- -a a2 2快乐训练营第二站：快乐训练营第二站：B组，间接组，间接运用新知，解决第二层次问题运用新知，解决第二层次问题思考：平方差公思考：平方差公式与整式的乘法式与整式的乘法有何关系？有何关系？不能不能不能不能平方差公式平方差公式(1)、结论：（a+b）(a-b)= a2 b2两数的
24、和与它们的差的积，等于这两数的平方两数的和与它们的差的积，等于这两数的平方差。差。(2)、观察平方差公式的变式情形变式情形：(a-b)（a+b）=a2b2（-a+b）(-a-b)= a2 b2(b+ a)(-b + a)= a2 b2（b+ a）(a-b)= a2 b2、有两个数是完全相同的，有两个数是相反的；重点是观察它们的符号重点是观察它们的符号。、结果是这两数的平方差，但要注意是谁的平方减去谁的平方，谁的平方减去谁的平方，符号相同数的平方减去符号不同数的平方；符号相同数的平方减去符号不同数的平方；(3)、特点分析：特点分析：例例1 1：运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：（1 1）
25、（2 2） （-x+3y-x+3y）(x+3y)(x+3y)（3x+23x+2）( 3x-2 )( 3x-2 )解：解：(1) (1) （3x+23x+2）(3x-2)(3x-2)(a+ b) ( a- b)= a2 - b2=(3x)2-22= 9x2-4(2) (2) （-x+3y-x+3y）(x+3y)(x+3y)= =（3y-x3y-x）(3y+x)(3y+x)= (3y)= (3y)2 2-x-x2 2= 9y= 9y2 2-x-x2 21经历探索平方差公式的探索平方差公式的过程程2会会推推导平平方方差差公公式式，并并能能运运用用公公式式进行行简单的的运运算算重点平方差公式的推导和应
26、用难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式【预习导学预习导学】一、自学指导一、自学指导: :自学自学1：自学课本自学课本P107P107108108页页“探究与思考与例探究与思考与例1、例、例2”，掌，掌握平方差公式，完成下列填空。握平方差公式，完成下列填空。 能否运用公式，若能直接说出结果能否运用公式，若能直接说出结果能否运用公式，若能直接说出结果能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-a+b)(a+b)=(l)(-a+b)(a+b)=(l)(-a+b)(a+b)=(l)(-a+b)(a+b)=_ (2)(a-b)(b+a)= _ (2)(a-b)(b+a)= _ (2)(a-b)
27、(b+a)= _ (2)(a-b)(b+a)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (3)(-a-b)(-a+b)= _ (4)(a-b)(-a-b)= _ (4)(a-b)(-a-b)= _ (4)(a-b)(-a-b)= _ (4)(a-b)(-a-b)= _ (5)(a+b)(-a-b)= (5)(a+b)(-a-b)= (5)(a+b)(-a-b)= (5)(a+b)(-a-b)=_ _ (6)(a-b)(-a+b)= (6)(a-b)(-a+b)= (6)(a-b)(-a+b)= (6)(a-b)(-a+b)=_
