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1、第三章地图投影的基本原理第第一一节节第第一一节节 地地图图投投影影基基础础地地图图投投影影基基础础一.地球体1.地球的自然表面（不规则曲面） 这个高低不平的表面无法用数学公式表达，也无法进行运算。所以在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来代替地球的自然表面。不同的观察平台形成不同的印象。航天航天正球体；航空航空复杂；地面地面崎岖（实况）。数学法则是建立地图符号地图符号地面景物地面景物对应关系的基础首要问题：首要问题：球面平面地图投影问题，其次问题：其次问题：缩小比例尺问题航天F浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。航空FF机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的
2、表面。地面F事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。地球的自然表面有高山、丘陵、平原、盆地、湖泊、河流和海洋等高低起伏的形态高低起伏的形态，其中海洋面积约占71%，陆地面积约占29%。2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。但水准面有无数多个，其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面。大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力
3、方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的、仍然是不能用数学表达的曲面。1）假想水准面（基准面）：静止海平面无波浪、潮汐、水流、大气压变化，流体处于平衡状态。2）大地水准面：基准面+其向陆地的延伸部分=一个封闭曲面。实际上：实际上：即使海平面静止，地球内部质量不均匀重力场不规则。导致大地水准面也不规则。此时，地球表面上点的铅垂线不一定指向地心。须在不考虑地球内部质量分布不均的因素时才是规则的。3）地球物理表面：是一个起伏不平的重力等位面。4）大地体：大地水准面包围的形体地球形体的一级逼近。3.地球体的数学表面（规则曲面-假定面）大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看起伏
4、是微小的。但仍是不能用简单数学公式表达的曲面。它很接近一个绕自转轴（短轴）旋转的椭球体通常称通常称地球椭球体地球椭球体，简称椭球体。所以在测量和制图中，用旋转椭球来代替大地球体，可以用a、b、f长半径a、短半径b和扁率f三个地球椭球体的基本元素来表达。椭球的扁平程度即地球扁率f =(a-b)/a 地球数学表面：可以用数学模型来定义和表达的地球椭球体表面。是对地球形体的二级逼近。Equatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorab椭球体名称及元素值表地球椭球体的基本元素，由于推求它的年代、所用的方法以及测定的地区不同，其成果并不一致，故地球
5、椭球体的元素值有很多种。现将几个常用的地球椭球体元素值列于表中。参考椭球体的选用我国在1952年以前采用海福特（Hayford）椭球体，从1953年到1980年采用克拉索夫斯基椭球体。随着人造地球卫星的发射，有了更精密的测算地球形体的条件，近些年来地球椭球体的计算又有不少新的数据。1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会（International Unionof Geodesy and Geophysics缩写为IUGG）上通过的国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为GRS（1975），我国自1980年开始采用GRS（1975）新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半径的差
6、值很小，所以当制作小比例尺地图时，往往把它当作球体看待，这个球体的半径为6371km。 垂线法线地面点P大地水准面、参考椭球面上的点P 一级逼近，无法数学表达。 二级逼近，可数学表达，但吻合太差。 三级逼近后，可使局部地区的椭球面与大地水准面吻合较好。所建立的参考椭球体一般只适用于局部地区。二.地球坐标系与大地定位确定地面的点位，就是求出地面点对大地水准面的关系，它包括确定地面点在大地水准面上的平面位置平面位置和地面点到大地水准面的高度高度。地面上任一点在大地水准面上的位置是用地理坐标（经度、纬度）来表示的。地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。地面点到任一水准面的高程，称为假定高程或相对高
7、程。两点的高程差，叫高差（h）。高差有正、负之分。知道了地面点的纬度、经度和绝对高程，则该点的位置就确定了。1.地球球面的地理坐标系统根据地理坐标系，地面上任一点的位置可由该点的纬度和经度来确定。 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度1）天文经纬度应用于天文学、大地测量学大地测量学中，以天文经纬度定义地理坐标。其地面等值线是非平面曲线。天文经度天文经度观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角（或视为一个天体在上述两地的时角差时角差）以天球为标准，定义地球上的点：天文经度天文经度本初子午面与观测点之间的两面角；天文纬度（赤纬）天文纬度（赤纬）铅垂线铅垂线与赤道平面的夹角。因铅垂线不过地心，也
8、不与地轴共面，无法定义天文经度的两面角。2）大地经纬度F主要应用于地图学地图学、大地测量计算中，以大地经纬度定义地理坐标。F是在规整的椭球面上构建的，每条经纬线投影到平面上皆呈直线或平滑曲线。F大地经度大地经度指参考参考椭球面上某一点的大地子午面与本初子午面间的两面角；东+西-F大地纬度大地纬度指参考参考椭球面上某一点的垂直线（法线）与赤道面的夹角。北+南-3）地心经纬度F主要应用于地理学、地图学中（地心指地球椭球体的质量中心）F地心经度地心经度等同于大地经度；F地心纬度地心纬度指参考椭球面参考椭球面上任一点和椭球椭球中心连线与赤道面之间的夹角。F精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐
9、标均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。F天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非平面曲线摆动。但由于角（铅垂线与法线的夹角）很小，这种摆动的幅度也很小。2.平面上的坐标系F地理坐标是一种球面坐标。F由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一个由地理坐标确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点。平面极坐标和直角坐标F平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。F如设O为极坐标的原点，即极点，OX为极轴，FA点的位置可用其动
10、径和动径角来表示，F即A（，）F如果以极轴为X轴，垂直于极轴的轴为Y轴，F则A点的位置亦可用直角坐标表示，即A（x，y）。F极坐标与直角坐标的关系为：F x= cos y= sinF这里需要指出的是，在测量和制图中所规定的X轴和Y轴的方向与数学中的规定相反。F动径角（）是极轴（OX与动径（OA）所夹的角，它是按顺时针方向计算的，这也与数学中所规定的不同。3.我国大地坐标系统F1）我国大地坐标系统F我国面积辽阔，在约960万平方公里的土地上进行测图工作，需要分成若干单元测区进行，而且测量的精度又要符合统一要求，为此，必须在全国范围内建立统一的大地控制网，作为测制地图的基础。控制网分平面控制网和高
11、程控制网。F1980年选用ICA75椭球（1975年国际大地测量协会推荐的大地参考椭球体）为我国参考椭球体参考椭球体，参数为a=6378140m；f=1/298.257。以解决应用克拉索夫斯基椭球所带来的三方面问题三方面问题。F应注意应注意：不同国家由于采用的参考椭球及定位方法不同，因此同一地面点在不同坐标系中大地坐标值也不同。2）我国的大地控制网（1）平面控制网）平面控制网我国我国1954年在北京设立了大地坐标原点，由此计算出来的年在北京设立了大地坐标原点，由此计算出来的各大地控制点的坐标，称为各大地控制点的坐标，称为1954年北京坐标系年北京坐标系。我国我国1986年年正式正式宣布在陕西省
12、宣布在陕西省西安市泾阳县永乐镇北洪流西安市泾阳县永乐镇北洪流村村设立了新的大地坐标原点，由此计算出来的各大地控设立了新的大地坐标原点，由此计算出来的各大地控制点坐标，称为制点坐标，称为1980年大地坐标系年大地坐标系。位置居中以减少坐位置居中以减少坐标传递误差的积累标传递误差的积累。控制点布设F我国有计划地在全国布设三角锁和三角网，进行三角测量，控制点遍布各地，作为测图的平面控制。根据精度的不同，三角测量分为四等。F一等三角锁一等三角锁是全国平面控制的骨干，由连续的近于等边三角形组成。三角形边长在2025公里左右，基本上沿经纬线方向布设。纵横锁交叉构成一等三角锁，锁与锁之间约距200公里。F二
13、等三角网二等三角网是在一等三角锁的基础上扩展的，三角形平均边长约为13公里，以保证在测绘1：10万、1：5万比例尺地形图时，每150平方公里内有一个大地控制点。即每幅图范围内不少于3个点。F三等三角网三等三角网是密布全国的控制网，三角形平均边长约为8公里，以保证1：2.5万比例尺测图时，每50平方公里内有一个大地控制点，即每幅图内有23个控制点。F四等三角网四等三角网的边长约4公里，可以保证在1：1万比例尺测图时，每幅图内有12个控制点，每点大约控制20平方公里的范围。 F测量平面控制点的位置，通常采用三角测量三角测量的方法。这种方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形（组成三角锁和三角网
14、，），量取一段精确的距离作为起算边起算边，在这个边的两端点，采用天文观测方法确定其点位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可推算出其他各点的坐标。这样推算的坐标，称为大地坐标大地坐标。F此外，在一些局部地区也可以用精密导线测量精密导线测量方法，测量导线边的边长和夹角，推算各点的大地坐标。（2）高程控制网：F测量高程控制点的主要方法是水准测量水准测量，有时也用三角高程测量三角高程测量。F水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水准网。F根据测量精度的不同，水准测量分为四等，作为全国测图及工程建设的基本高程控
15、制。 F我国高程的起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛设立了水准原点水准原点，其他各控制点的绝对高程都是根据青岛水准原点推算的，称此为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：中国的高程基准面启用1985国家高程基准取代国务院1959年批准启用的黄海平均海水面。F水准测量水准测量测海拨（绝对高程：地面点至大地水准面的高差高差）。F水准原点：水准原点：（海拨零点）其高程是以青岛验潮站平平均海平面均海平面为零点零点，经过精密水准测量进行连测而得。F其高程值其高程值：是埋设于青岛观象山密封井下的永久性的永久性的标志点标志点与验潮站平均海平面平均海平面之间的高差高差。F1956年国务院批准建
16、立的黄海高程系的水准原点距平均海平面的高差为：72.289m(利用5056年观测记录)。F现启用 “1985国家高程基准”的水准原点距平均海平面的高差为：72.260m。1987年国家测绘局公布的数据（1985年测得）。说明海平面上升了说明海平面上升了29mm。.全球定位系统F1）GPS卫星星座（空间分布） F21颗工作，3颗备用。无线电波：1575.42MHz、 1227.6MHzF2）地面监控系统（地面控制部分）F1个主控站（在美国科罗拉多）+3个注入站+5个监测站F3）GPS信号接收机（用户设备部分）F4）定位类型：F（1）静态定位）静态定位：用户天线位置固定不变用以测定用户天线的三维坐
17、标三维坐标。F（2）动态定位）动态定位：天线安装在运动载体（车、船、飞机）上用以测定运动物体的运动轨迹运动轨迹。F有低精度（20m左右）、中等精度（5m左右）、高精度（0.5m左右）F三种定位精度三种定位精度。WGS-84坐标系坐标系即即世界大地坐标系，它是美国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系地心坐标系。1985年投入使用。5）定位原理F测距交会测距交会定位（卫星位置已知、三颗卫星确定一个空间点、第四颗用于选择或确定准确位置-校验）。F根据信号到达接收机的时间确定接收机到卫星的距离。如果计算出四颗或更多的卫星到接收机的距离，再参照卫星的位置，便可确定出接收机在三维空间中的
18、位置。6）GPS误差和纠正F（1）人为误差：）人为误差：F美国军方为防止未经许可的用于军事目的的用户使用，卫星发射的无线电波有两种测距码：FP码（细码）码（细码）：提供精确定位服务方式 PPS 军事+特许部门FC/A码（粗码）码（粗码）：提供标准定位服务方式 SPS 民用F通过使用选择可用性（SA，Seletive Availability）技术，降低C/A码的定位精度（20m100m）。2000年5月美国已取消SA政策使得单点定位精度可达到2030m。F（2）纠正方法）纠正方法差分纠正法（是通过两个或多个的GPS接收机完成的）F方法方法：在某一已知位置（天文经纬度），安置一台接收机、作为基准
19、站接收卫星信号，在其他位置用另一台接收机接收信号。F前者可以确定卫星信号中包含的人为干扰信号。在后者接收到的信号中减去这些干扰，即可大大降低GPS定位误差。第二节地图投影的基本概念F一.地图投影的概念和实质F采用几何透视法或数学分析法，将地球表面上的点、经纬线等变换到（科学转换/数学法则）地图平面上的方法地地图投影图投影。F由于几何透视法的局限（难以将全球投影下来），数学分析法得到了发展，投影的内涵扩展了。F实质实质是建立地球面上点（地理坐标）与地图平面上的点（平面直角坐标或极坐标）之间一一对应的函数关系。F地图投影的一般方程一般方程：x=f1（B,L）， y=f2（B,L）F如果这种关系能够
20、建立，转换就能够成功。这种关系是可建立的，椭球面椭球面地球自然面的进一步逼近可数学表达可数学表达。F而这种关系模型（函数关系）即投影的方式随地图应用的专业内容而有所不同。F地图投影的地图投影的意义意义：作为地图用户（科技工作者）正确选择和使用地图的依据。二.地图投影的研究对象及任务地图投影主要研究主要研究将地球椭球面（球面）描写到地图平面上的理论、方法及应用，以及地图投影的变形规律。还研究不同地图投影之间的转换和地图上量算等问题。F任务任务：建立地图的数学基础，包括把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系，建立制图网经纬线在平面上的表象。F常规制图：实现地球表面到地图平面的转换，只需将地球表面
21、上的一些主要点，如大地控制点、图廓点、经纬线交点等变换到平面上，并连接经纬线交点得到经纬线，形成制图网，构成地图骨架，使地图具有严格的数学基础。F数字制图环境下：按地图投影的一般方程逐点逐点实现数学基础和地图内容要素的转换。F地图投影学地图投影学是在大地测量学大地测量学完成选择一个非常近似地球自然形状的规则几何体来代替它，然后将地球表面上的点位按一定法则转换到此规则几何体上的任务后，继而完成完成将此几何体表面（不可展曲面）按一定数学法则转换为地图平面任务。F地图投影是地图的数学基础，起着基础和骨架作用，正是地图投影才使得地图具有严密的科学性和精确的可量测性。地图投影是GIS空间基准F地图投影系
22、统是实现空间信息定位的基础，是地球空间数据的基础框架，是空间信息可视化的基础。FGIS数据的空间基准空间基准已是GIS的核心问题之一，GIS的空间基准涉及到涉及到参考椭球、坐标系统、地图投影、分带等多种因素多种因素，直接影响到直接影响到空间数据的几何精度，贯穿与GIS的数据获取、数据库建立、查询分析及结果输出等各个环节各个环节。因此，地图投影是GIS空间基准的关键所在。F“数字地球”建设，空间数据的标准化空间数据的标准化是空间数据基础设施的核心和关键核心和关键。空间数据的标准化由由元数据的标准化来体现体现，地图投影的标准化地图投影的标准化是元数据标准化的重要内容，地图投影在国家空间数据基础设施
23、中具有极其重要的作用。同时，地图投影又是空间数据处理的基础工具，空间数据基础设施中的所有数据都应处于一定的坐标系统（地理框架）中所有空间信息的分析、处理都应基于这一“框架”。因此，地图投影是地球空间数据的基础框架。F伴着地图学的发展，随着航天遥感技术、计算机技术、地球信息科学、GIS理论与技术的发展，F地图投影理论研究的深度、应用的广度也得到前所未有的发展，在新地图投影新地图投影探求、地图投影变换变换、位置线位置线理论及应用、空间动态动态地图投影地图投影建立等封面取得了一系列重要研究成果，我国地图投影学科的发展已经居于国际领先水平。第三节 地图投影基本理论F一.地图投影的一般方程F1. x=f
24、1（B,L） 2. x=f1（B,L0） 3. x=f1（B0,L）F y=f2（B,L） y=f2（B, L0） y=f2（B0,L）F一般方程 经线方程 L=L0 纬线方程B=B0F由1.消去B，得F1（x，y，L）=0 经线族经线族投影方程F由1.消去L，得F1（x，y，B）=0 纬线族纬线族投影方程二.地图投影变形F1.概念F在采用一定的地图投影方式后，在地图上产生了长度（距离）、角度、面积三个方面的变形。F即球面经纬网展布到平面地图上所产生的几何特即球面经纬网展布到平面地图上所产生的几何特征的变化。征的变化。F可以通过地球仪经纬网与地图上经纬网的观察对比来体会“变形”的含义。投影变形
25、经纬网模型演示实验投影变形经纬网模型演示实验F1）步骤：FA半球经纬网模型；FB极点上置投影平面；FC同一经线上置一组等大等大正园（微分园）；FD点光源球心照射。F2）结果：FA投影面上椭圆长短轴微分园直径长度；FB投影面上椭圆形状微分园形状角度；FC投影面上椭圆面积微分园面积面积 几何解释（证明）几何解释（证明）F将微分园上任一点M(x、y )的圆方程实行代入转换得到椭园方程，即可证明FM点园方程园方程X2+Y2=1。M点与M点关系x=mx，y=myFM点在微分园上，即可将x=x/m，y=y/n代入上述方程，从而得的方程。F（x/m）2+（y/n）2=1，即为椭圆方程椭圆方程，M（x，y）在
26、该椭圆上。2.投影变形的（种类）F用地图投影的方法将球面展为平面保证图形的完整和连续。但两者纬线网形状不完全相似产生变形，地物相应变形。F（1）长度变形FV=-1 0时 放大； 0 时 放大 ； 0，投影后角度增大；01，垂直圈长度比1。常用于要求保持面积正确的近似圆形地区的区域地图，如普通地图、行政区划图、政治形势图。F等面积正轴正轴方位投影用于极区地图和南北半球图；F等面积横轴横轴方位投影用于赤道附近近圆形区域地图非洲图和东西半球图。F等面积斜轴斜轴方位投影用于中纬度近似圆形区域的地图，如亚洲图，欧亚大陆图、美洲图、中国全图、水陆半球图。六.等距离方位投影F满足等距离条件：垂直圈长度比等于
27、1。 m=1 F=RZ， =Fx=cos= RZcos, y=sin=RZsinF垂直圈垂直圈长度比等于1，等高圈等高圈长度比和面积比都放大，角度变形比等面积方位投影小，面积变形比等角投影小。适合制作圆形区域圆形区域地图。由于各种变形适中变形适中，常用于制作普通地图、政区图、自然地理图F等距离正轴正轴方位投影用于极地区图和南北半球图；F等距离横轴横轴方位投影用于东西半球图。F等距离斜轴斜轴方位投影用于东南亚地区图及中华人民共和国全图。F由于该投影从投影中心至区域内任意点的距离和方位保从投影中心至区域内任意点的距离和方位保持准确持准确，常用于制作特殊用途要求的专题地图，如以某飞行基地为中心的飞行
28、半径图、以导弹发射井为中心的打击目标图、以地震观测为中心的地震图等 第二节 圆柱投影及其应用一.圆柱投影的概念及一般公式F假定以圆柱面作为投影面，使圆柱面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。当圆柱面与地球相切时，称为切圆柱投影，当圆柱面与地球相割时，称为割圆柱投影。FX=f(B)， Y=cl FB为纬度；c为标准纬线圈的半径，是常数；l为与中央经线的经差。F按圆柱与地球相对位置的不同，圆柱投影有正轴、横轴和斜轴三种。F正圆柱投影的纬线为平行直线，经线为与纬线垂直的平行直线，经线间的间隔与相应的经度差成正比。F在一般情况下，横轴和斜轴中的经纬
29、线投影为曲线，只有通过球面坐标极点的经线投影为直线。F在正圆柱投影中，经纬线是直交的，F故经纬线方向的长度比就是最大、最小长度比，即m、n相当于a、bF正圆柱投影的等变形线形状与纬线相一致，是平行标准纬线的直线。F适合制作沿纬线延伸地区的地图，特别是沿赤道延伸地区的地图二.等角正圆柱投影（墨卡托投影）F等角圆柱投影等角圆柱投影是按等角条件来决定x=f（B）函数形式的。等角正圆柱投影由荷兰制图学家墨卡托（MercatorGerardus，15121594）于1569年所创，故又名墨卡托投影。F等角条件：经线方向长度比等于纬线方向长度比，m=n。Fx=clnU， y=cl U为地球椭球第一偏心率。
30、三.墨卡托投影的应用F切圆柱等角投影适用于作赤道附近地区的地图，割圆柱投影适用于作和赤道对称的沿纬线方向延伸地区的地图。此外，也可用这种投影制作时区图、卫星轨迹图等。F墨卡托投影没有角度变形，且经线为平行直线，所以等角航线（或称斜航线）表现为直线。所谓等角航线，就是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。F等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义，因为根据这个特性，就可以在图上将航行的起点和终点连一直线，用量角器量角器测其与经线的夹角，如果轮船从起点开始一直保持这个角度航行，便可以到达终点。但是，等角航线不是两
31、点间的最短距离。地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧（又称大圆航线或正航线）。 F如图图4.15所示，从非洲南端的好望角到澳大利亚南端的墨尔本，两点间的直线是等角航线，F这个直线的航程是6020海里。两点间用粗虚线表示的曲线是大圆航线，沿大圆航线的航程是5450海里，它比等角航线短570海里（约1000公里）。F因而在进行远洋航行时，完全沿着等角航线航行是不经济的。F通常是先在起点和终点之间绘出大圆航线，然后把大圆航线按主要特征点按主要特征点分成若干段，将每两个相邻的点连成直线，这些直线就是等角航线。F船只航行时，在每段航线上是沿着等角航线航行的，但是就整个航程来说，是接近于大圆航线的，
32、既经济又方便。 F由于只有等角圆柱投影具有将等角航线表现为直线的特性，所以它在编制航海图中被广泛应用。F例如我国的航海地图采用这种投影。F苏联出版的大型海图集中绝大多数图幅都采用这种投影。F此外，由于这种投影在低纬度地区变形小，而且经纬线网格形状简单，所以常用于编制赤道附近地区的地图。F例如中国地图出版社出版的一套分国地图中沿赤道的分区地图采用了这种投影。世界交通图在纬度60以内也采用的是这种投影。四.等面积、等距离正圆柱投影1.等面积正圆柱投影F等面积条件：经线方向长度比与纬线方向长度比的乘积等于1，mn=1。Fx=(1/c)F, y=clFF为经差1弧度、纬度从0到B的椭球面上 球面梯形面
33、积。2.等距离正圆柱投影（方格投影）F等距离条件：沿经线方向长度比等于1，m=1。Fx=Sm, y=clFSm为纬度从0到B的椭球面上经线弧长。第三节 圆锥投影及其应用F一.圆锥投影的概念及一般公式F假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。F当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影；当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。F按圆锥与地球相对位置的不同，也有正轴、横轴和斜轴圆锥投影。F但横轴和斜轴圆锥投影实际上很少应用，所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。F图图4.17正轴切圆锥投影示意图，视点在地球中
34、心，纬线投影在圆锥面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都互相平行，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线。F如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则成扇形，其顶角小于360，在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经度差成正比。F平面极坐标一般公式为：=f（B ），=lF通常在绘制圆锥投影时，以制图区域最南边的纬线与中央经线的交点为坐标原点，则其直角坐标公式为：x=s-cos，y=sinF式中s为投影区域最南边纬线的投影半径。F圆锥投影需要决定的函数形式，由于的函数形式不同，圆锥投影有很多种。F称为圆锥系数（圆锥常数），它与
35、圆锥的切、割位置等条件有关，对于不同的圆锥投影，它是不同的。F但对于某一个具体的圆锥投影，值是固定的。F总的来说，值小于1，大于0，即0c1。F当=1时为方位投影，F=0时为圆柱投影，F所以可以说方位投影和圆柱投影都是圆锥投影的特例方位投影和圆柱投影都是圆锥投影的特例。F圆锥投影的纬线是同心圆弧，经线是同心圆弧的半径。经纬线是直交的，所以经纬线的长度比就是最大、最小长度比。F圆锥投影的各种变形都是纬度的函数，与经度无关。也就是说，圆锥投影的各种变形是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形的数值各自相等，因此，等变形线与纬线平行，呈同心圆弧状分布。F在切圆锥切圆锥投影上，相切的纬线是一条没有
36、变形的线，称为标准纬线，从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大。F在割圆锥割圆锥投影上，球面与圆锥面相割的两条纬线是标准纬线，在两条标准纬线之间的纬线长度比小于1，两条标准纬线以外的纬线长度比大于1，离标准纬线愈远，变形愈大。F据圆锥投影变形分布情况，这种投影适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图。由于地球上广大陆地位于中纬度地区，又因为圆锥投影经纬线网形状比较简单，所以它被广泛应用于编制各种比例尺地图。F圆锥投影按变形性质可以分为等角、等积和等距三种投影。无论哪一种均有切圆锥与割圆锥之分。二.等角正圆锥投影F等角圆锥投影的条件是使地图上没有角度变形，即=0。为了保持等角条件，必须使图上任一点的经
37、线长度比与纬线长度比相等，即m=n。1.等角切圆锥投影F在切圆锥投影上，相切的纬线为标准纬线，其长度比等于1；从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于1，因而经线长度比也要相应的扩大，使其值与纬线长度比相等。F在单标准纬线等角圆锥投影中，标准纬线没有变形；从标准纬线向南、北方向变形逐渐增加，但在距离标准纬线纬差相同的地方，变形数值是不等的，标准纬线以北比标准纬线以南变形增加的要快些。2.等角割圆锥投影F在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于1，因而经线长度比也要相应的小；两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，经线长度比也要相应的大，同时使任一点上
38、经线长度比与纬线长度比相等。F在双标准纬线等角圆锥投影上，两条标准纬线没有变形；在两条标准纬线之间长度变形是向负的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度缩短了；在两条标准纬线以外长度变形向正的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度伸长了。面积变形也是如此，在两条标准纬线以内是负向变形，在两条标准纬线以外是正向变形。变形增加的速度也是北边比南边快些。三.等角圆锥投影的应用F等角圆锥投影应用很广应用很广。F如我国地图出版社1957年出版年出版的中华人民共和国地图集中的分省地图分省地图是采用这种投影编制的，两条标准纬线的纬度为25，45；F1981年出版年出版的中
39、华人民共和国地图集中，分省地图采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角圆锥投影；F1960年和1972年出版的世界地图集中大多数分国地图均采用了等角圆锥投影。F世界上有些国家，如法国、比利时、西班牙等国都曾采用这种投影作为地形图的数学基础。F此外，西方国家出版的许多挂图、地图集中亦广泛采用等角圆锥投影。F1962年联合国于波恩举行的世界百万分之一国际地图技术会议制定的规范建议，新编国际百万分之一地图采用新编国际百万分之一地图采用双标准纬线等角圆锥投影双标准纬线等角圆锥投影。F这样可使世界1100万普通地图与1100万世界航空图的数学基础一致。该投影自赤道起按纬差4分带。北纬84以北
40、和南纬80以南采用等角方位投影。F1978年我国新制订新制订的1100万地形图编绘规范，规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的等角割圆锥投影，作为1100万分幅地形图的数学基础。也是按纬差4分带，每个投影带的两条标准纬线近似为j 1=j S+35，j 2=j N-35（j S为每一带最南边纬线的纬度，j N为每一带最北边纬线的纬度），各带长度变形最大值为0.03，面积变形最大值为0.06。四.等面积、等距离正圆锥投影1.等面积圆锥投影F等积圆锥投影的条件是使地图上没有面积变形，即P=1。为了保持等积条件，必须使投影图上任一点的经线长度比与纬线长度比互为倒数，即m=1/n。F在切圆锥投影上，
41、相切的纬线为标准纬线，其长度比等于1；从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于1，因而经线长度比要相应的小，其值是纬线长度比的倒数。F在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于1，因而经线长度比要相应的大；两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，经线长度比要相应的小，同时使任一点上经线长度比与纬线长度比互为倒数。F在双标准纬线等积圆锥投影中，面积没有变形；两条标准纬线没有变形；在两条标准纬线之内，纬线变形是向负的方向增加，经线变形是向正的方向增加；在两条标准纬线以外，纬线变形是向正的方向增加，经线变形向负的方向增加。角度变形随离标准纬线愈远而愈大。F等
42、积圆锥投影常用以编制行政区划图、人口密度图及社会经济地图等。F例如中国地图出版社出版的1800万、1600万和1400万中华人民共和国地图采用了双标准纬线（j 1=25、j 2=47）等积圆锥投影。F以前还曾用过标准纬线为25和45以及边纬线（j S=18、j N=54）和中纬线（j M=36）长度变形绝对值相等的等积圆锥投影。F其他国家出版的许多挂图、桌图和地图集中，亦广泛采用等积圆锥投影。2.等距离圆锥投影F等距圆锥投影的条件是沿经线方向长度没有变形，即m=1。F等距切圆锥投影，相切的纬线为标准纬线，没有变形；从标准纬线向南、北方向纬线长度比大于1，经线长度比等于1，面积变形和角度变形均随
43、离标准纬线愈远而愈大。F等距割圆锥投影，相割的两条纬线为标准纬线，没有变形；两条标准纬线以内，纬线长度比小于1；两条标准纬线以外，纬线长度比大于1，经线长度比等于1；F在两条标准纬线之内，面积变形向负的方向增加；F在两条标准纬线以外，面积变形向正的方向增加，角度变形随离标准纬线愈远，变形愈大。F等距圆锥投影上虽然具有长度、面积和角度变形，但变形值却比较小，它的角度变形小于等积圆锥投影，面积变形小于等角圆锥投影。F等距圆锥投影在我国出版的地图中不常见。F在国外则有用的。例如苏联出版的苏联全图，一般常用j 1=47、j 2=62的等距割圆锥投影。 第四节 高斯-克吕格投影及其应用一.高斯-克吕格投
44、影的概念和公式F高斯-克吕格投影也称等角横切椭圆柱（分带）投影。F该投影是设想一个椭圆柱横切与地球某一经线（中央经线），根据等角条件，用数学分析方法将地球椭球面上经纬线投影到椭圆柱面上，展开后得到的一种投影。是一种沿经线分带的等角投影，其投影条件是投影条件是：1）中央经线和赤道投影为平面直角坐标的x，y轴；2）投影后无角度变形；3）中央经线投影后保持长度不变。公式公式（见（见P108）F由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Oarl Friedrich Gauss，17771855）于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Krger，18571923）于1912年
45、对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。F在这个投影上，角度没有变形。F中央经线长度比等于1，没有长度变形。F其余经线长度比均大于1，长度变形为正，F距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上；F面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大。F为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影。二.高斯-克吕格投影在地形图中的应用规定1.分带规定F我国规定11万、12.5万、15万、110万、125万、150万比例尺地形图，均采用高斯-克吕格投影。1）6分带F12.5万150万比例尺地形图F采用经差
46、6分带，L0=6n-3，F从零子午线起，由西向东分60个带。2）3分带F11万比例尺地形图采用经差3分带。FL0=3n,F从东经130起算，由西向东分120个带。2.坐标规定F高斯-克吕格投影是以中央经线投影为纵轴轴，赤道投影为横轴轴，其交点为原点而建立平面直角坐标。F为了使用坐标的方便，避免坐标出现负值，我国规定将投影带的坐标纵轴西移500km。Y=y+500000（m）F一组（x,y）有60个点对应，须在Y值前面再冠以投影带号构成通用坐标。3.方里网和经纬网规定1）方里网规定F大比例尺地形图在军事上是战术用图。为了便于在图上指示目标、量测距离和方位，规定在11万、12.5万、15万、110
47、万、125万五种五种比例尺地形图上，按一定的整公里数绘出平行与直角坐标轴的纵横网线，这些网线被称为方里网，也叫公里网。2）经纬网规定F又称地理坐标网，现行图式规定：125万和150万地形图，应在图幅内绘经纬线网。4.方里网重叠规定F为了解决为了解决当处于相邻两带的相邻图幅沿经线拼接使用时两图幅上的方里网不能统一相接的问题问题。F规定：在一定的范围内把邻带坐标延伸到本带图幅上，也就是在投影带边缘的图幅上加绘邻带的方里网。F这样，在带边缘的图幅上既有本带的方里网，又有邻带延伸过来的方里网，称为方里网重叠方里网重叠。5.图廓点数的规定F理论上，只有中央经线和赤道投影成直线，其余经纬线均投影成曲线。F
48、实际上，因经线曲率很小，可当成直线。F纬线则以若干折线来代替曲线段，其折线的顶点称为图廓点图廓点。F这样处理可以满足手工制图作业精度的要求，在全数字制图环境下，图廓点数的规定已无意义。三.通用横墨卡托投影F高斯-克吕格投影亦称横墨卡托简称TM投影，几何上理解为等角横切椭圆柱投影。F通用横墨卡托投影简称UTM投影，几何上理解为横轴等角割圆柱投影，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比（m0=0.9996）将小于1。F它类似于高斯-克吕格投影。改善了高斯-克吕格投影在低纬度地区的变形在低纬度地区的变形。第五章 地图数学基础设计和地图投影变换第一节 地图投影的选择一.影响地图投影选择的基本因素1
49、.地图的用途与使用特点F不同用途的地图，对地图投影有不同的要求。F一般地说，考虑地图用途时，大多按变形性质选择投影。F如军用（等角）、民用（等面积）、教学用地图（等距离）、国家基本比例尺地形图系列（高斯-克吕格或通用墨卡托，少数为兰勃）、航空图（多圆锥或等角圆锥）、基地半径图（等距离斜方位）世界时区图（等角正轴圆柱）。F使用地图的方法对投影选择的影响，是指图上量算或估算的精度要求。F如桌上用、挂图。F高精度（长度与面积变形0.5%、角度变形0.5）；F中等精度（3%、3）；F低精度（5%、角度变形12）的地图，由于不同投影所产生的变形差别很大，需要认真综合考虑各种要求，选择或设计比较满意的地图
50、投影。F对不大的制图区域没有必要过多地从投影变形大小去考虑，应多从制图区域的形状和地理位置、经纬线网的形状，以及使用资料情况等条件考虑选择地图投影。F对于一项具体设计任务即经线地图投影的选择，F其方法是：按照投影选择的一般原则，结合制图区域的空间特征和地图用途对投影的要求进行分析，考虑了几种投影方案后，再对这些方案分别进行变形值估算，因估算的精度不要求很高，可近似计算或从已有的变形表中查取，通过直观比较，哪种投影适应的因素多，重要性大，就选定为该地图的投影。最后根据选择的投影确定公式的常数，运用它的公式依经纬线网间隔，计算投影的坐标值（可利用已有的地图投影坐标集）和变形值。地图投影的判别F地图
51、投影是地图的数学基础，它直接影响地图的使用。F地图是地理工作者不可缺少的工具，有很多地理知识是从图上获得的。如果在使用地图时，不了解投影的特性，往往会得出错误的结论。F例如在小比例尺等角或等积投影图上量算距离，在等角投影图上对比不同地区的面积，以及在等积投影图上观察各地区的形状特征等。F目前，国内外出版的地图上大多数都注明地图投影名称，这对于使用地图，当然是很方便的。F但是，也有一些地图不注明投影名称和有关说明，因此，我们必须运用地图投影的知识，根据不同投影的特征经纬线形状，结合制图区域所在的地理位置、轮廓形状及地图的内容和用途等，综合进行分析、判断和进行必要的量算来判别它们。F地图投影的判别
52、，主要是对小比例尺地图主要是对小比例尺地图而言。F大比例尺地图往往是属于国家地形图系列，投影资料一般易于查知。F另外由于大比例尺地图包括的地区范围小，不管采用什么投影，变形都是很小的，在使用时可以忽略不计。F判别地图投影一般是先根据经纬线网形状确定根据经纬线网形状确定投影种类，如方位、圆柱、圆锥等，F其次是判定投影的变形性质，如等角、等积或任意投影。1.确定投影种类F对于常见的地图投影，一般还是比较容易确定它的种类的，如表列出了一些常见投影，供判别时参考。F判别经纬线形状的方法如下：F直线直线只要用直尺量度，便可确定。F判断曲线曲线是否为圆弧，可以将透明纸覆盖在曲线之上，在透明纸上沿曲线按一定
53、间隔定出三个以上的点，F然后沿曲线移动透明纸，使这些点位于曲线的不同位置，如这些点处处都与曲线吻合，则证明曲线是圆弧，F否则就是其他曲线。F判别同心圆弧同心圆弧与同轴圆弧同轴圆弧，则可以量测相邻圆弧间的垂线距离，若处处相等则为同心圆弧，否则是同轴圆弧。常见投影表2.确定投影的变形性质F当已确定投影的种类后，对有些投影的变形性质是比较容易判定的。F例如已确定为圆锥投影，那么只须量任一条经线上纬线间隔从投影中心向南、北方向的变化投影中心向南、北方向的变化就可以判别变形性质：F如果相等相等，则为等距投影；F逐渐扩大扩大，为等角投影；F逐渐缩小缩小，为等积投影。F有些投影的变形性质，从经纬线网形状上分
54、析就能看出。F例如，经纬线不成直角相交，肯定不会是等角投影；F在同一条纬度带内，经差相同的各个梯形面积，如果差别较大，当然不可能是等积投影；F在一条直经线上检查相同纬差的各段经线长度若不相等，肯定不是等距投影。F当然，这只是问题的一个方面，同时还必须考虑其他条件。F例如，等角投影经纬线一定是正交的，但经纬线正交的投影不一定都是等角的。F如正轴的方位、圆柱和圆锥投影，它们的经纬线都是正交的，但并不都是等角投影，还有等积和任意投影。F因此，单凭经纬线网形状判别投影的变形性质是不够的，还必须结合其他条件并进行必要的量算工作。第二节 地图定向与地图比例尺一.地图的定向F确定地图上图形的地理方向，它与地
55、图上的地理坐标网对于图廓的位置有着不可分割的联系。F分“北方定向”和斜方位定向。1.地形图的定向F我国地形图都是“北方定向”，即图幅中间的一条经线同图纸的南北方向是严格一致的。在110万的比例尺地形图上绘出三北方向和三个偏角。F真北方向线，坐标北方向线、磁北方向线。2.小比例尺地图的定向F为了便于有效利用标准纸张和印刷机的版面考虑的“斜方位定向”。二.地图比例尺形式F地图比例尺是指地图上某线段的长度与椭球面上相应线段的平面投影长度之比。1.地图比例尺形式F1)数字式，2）文字式，3）图解式2.地图比例尺系统F国际上趋向采用米制长度单位（我国采用十进位的米制长度单位，规定7种比例尺为国家基本地图
56、的比例尺系列），小比例尺地图没有固定的比例尺系统。图解式比例尺第三节 我国编制地图常用的地图投影一.世界地图的常用投影F多圆锥投影：（等差等差分纬线多圆锥投影（1963年）、正切差正切差分纬线多圆锥投影（1976年）；F圆柱投影：等角正割圆柱投影（即墨卡托投影）；F伪圆柱投影：桑生投影、爱凯特投影、摩尔巍特投影、古德-摩尔巍特分瓣投影、哈墨-爱托夫投影。二.各大洲地图的常用投影F1.亚洲地图：等面积斜方位投影、等距离斜方位投影、彭纳投影；F2.欧洲地图：等面积斜方位投影、等角圆锥投影、等距离圆锥投影；F3.北美洲地图：等面积斜方位投影、等距离斜方位投影、彭纳投影；F4.南美洲：等面积斜方位投影
57、；F5.非洲地图：等面积斜方位投影；F6.大洋洲地图：等面积斜方位投影。三.中国全图的常用投影F1.等角斜方位投影F2.等面积斜方位投影F3.等距离斜方位投影F4.伪方位投影F5.正圆锥投影（等角正割圆锥投影或等面积正割圆锥投影）四.中国分省（区）地图的常用投影F等角正割圆锥投影（分省单幅，单独选择标准纬线，大区统一选择标准纬线）。也可采用宽带高斯-克吕格投影。南海海域单独编制地图时使用正圆柱投影。五.中国海区图的常用投影F等角正圆柱投影、等角斜圆柱投影（双重投影）六.各大洋图的常用投影F1.太平洋和印度洋地图：乌尔马耶夫等面积伪圆柱投影；F2.大西洋地图：伪方位投影。七.半球及南北极区图的常
58、用投影F1.东半球图：等角横方位投影、等面积横方位投影；F2.西半球图：等角横方位投影、等面积横方位投影；F3.南北极区图：等角正方位投影、等面积正方位投影、等距离正方位投影。第四节 地图投影变换F是近20年来随着计算机技术的发展而发展起来的地图投影学的一个新的研究领域。F实现由一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标。F手工模拟制图中的传统方法：照相拼贴法、网格转绘法、纠正仪转绘法。F地图投影变换，广义地广义地理解为研究空间数据处理、变换及应用的理论和方法，即F狭义理解为建立两个平面场之间点的一一对应函数关系。一.解析变换法1.反解变换法反解变换法F是通过中间过渡的方法，F反解出原地
59、图投影点的地理坐标，F代入新编地图投影公式求的其坐标。2.正解变换法正解变换法F不要求反解出原地图投影点的地理坐标，F而直接求出两种投影间点的直角坐标关系式。根据投影方程进行变换的实例之一根据投影方程进行变换的实例之二F 根据投影方程进行变换的实例F 等距圆柱投影 等距圆锥投影 x = s , y = rkl yl= rk yX = r s - (C - s )cos(a ) rk yY = (C - s ) sin(a ) rkr = C - s X = r s - r cos dd =a l Y = r sin dC 为积分常数，s 为纬度的经线弧长二.数值变换法F在原投影解析式不知道，投
60、影常数难以判定时，或不易求得两个投影间的解析式的情况下，F通常采用地图投影数值变换方法。F其实质是利用两个投影平面间互相对应的若干离散点（亦称共同点）F根据数值逼近的理论和方法建立两个投影间的关系式，F从而实现地图数学基础的变换。如不知地图的投影系统，可通过多项式实施变换：X = a00 + a10x + a20x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + Y = b00 + b10x + b20x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + 系数 aij， bij 可用多个已知坐标点求出。
