《常用概率分布》课件

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1、第五章第五章 常用概率分布常用概率分布 二项分布二项分布二项分布的概念与特征二项分布的概念与特征 一个袋子里有一个袋子里有5个乒乓球，其中个乒乓球，其中2个黄球，个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏个白球，我们进行摸球游戏: 每一次摸到黄球的概率是每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率，摸到白球的概率是是0.6。 先后摸先后摸5次，摸到黄球次数为次，摸到黄球次数为0、1、2、3、4和和5的概率分别是多大？的概率分别是多大？ 该实验有三个特点：该实验有三个特点：一、是各次摸球是彼此独立的；一、是各次摸球是彼此独立的；二、是每次摸球只有二种可能的结果，黄球或白球；二、是每次摸球只有二种可能的结

2、果，黄球或白球；三、是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。三、是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。 具备这三点，具备这三点， n次中有次中有X次摸到黄球（或白球）的次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。概率分布就是二项分布。 例例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为效就是无效，每一例有效的概率为。某医。某医生用此方法治疗头痛患者生用此方法治疗头痛患者5例，例，3例有效的例有效的概率是多少？概率是多少？ 因为每例有效的概率相同，且各例的治因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，疗结果彼此独立，5例患者中可

3、以是其中的例患者中可以是其中的任意任意3例有效。例有效。 医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。亡等等。亡等等。亡等等。 如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为 ，阴性结果的发生概

4、率均为（阴性结果的发生概率均为（阴性结果的发生概率均为（阴性结果的发生概率均为（1 1 ）；而且各个观察）；而且各个观察）；而且各个观察）；而且各个观察对象的结果是相互独立的：对象的结果是相互独立的：对象的结果是相互独立的：对象的结果是相互独立的： 那么，重复观察那么，重复观察那么，重复观察那么，重复观察n n个人，发生阳性结果的人数个人，发生阳性结果的人数个人，发生阳性结果的人数个人，发生阳性结果的人数X X的概的概的概的概率分布为二项分布，记作率分布为二项分布，记作率分布为二项分布，记作率分布为二项分布，记作B B（X X；n n， ）。）。）。）。 二项分布的概率函数二项分布的概率函数P

5、(X)可用公式（可用公式（5-1）来计算。来计算。 例例5-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为的概率为60%，现以该法治疗，现以该法治疗3例，其中两例，其中两例有效的概率是多大？例有效的概率是多大？表表5-1 治疗治疗3例可能的有效例数及其概率例可能的有效例数及其概率 有效人数有效人数有效人数有效人数(x)(x) x x(1(1 ) )n-xn-x出现该结果概率出现该结果概率出现该结果概率出现该结果概率P P( (x x) )0 01 10.60.60 0=1=10.40.4 0.40.4 0.40.40.0640.0641 13 30.60.60.40.

6、4 0.40.40.2880.2882 23 30.60.6 0.60.60.40.40.4320.4323 31 10.60.6 0.60.6 0.60.60.40.40 00.2160.216由表由表5-1可知可知,各种可能结果出现的概率合计为各种可能结果出现的概率合计为1，即，即 P(X)=1（X=0,1,n）。）。 因此因此,如果欲求如果欲求1例以上有效的概率可以是例以上有效的概率可以是P(x1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216 =0.936也可以是也可以是P(x1)=1P(0)=10.064=0.936二项分布二项分布的特征的特征二项分布的图形特征二

7、项分布的图形特征 接近接近接近接近0.50.5时，图形是对称的；图时，图形是对称的；图时，图形是对称的；图时，图形是对称的；图5-15-1 离离离离0.50.5愈远，对称性愈差，但随着愈远，对称性愈差，但随着愈远，对称性愈差，但随着愈远，对称性愈差，但随着n n的增大，分布趋的增大，分布趋的增大，分布趋的增大，分布趋于对称。图于对称。图于对称。图于对称。图5-2 5-2 当当当当nn时，只要时，只要时，只要时，只要 不太靠近不太靠近不太靠近不太靠近0 0或或或或1 1， 当当当当nPnP和和和和n n(1(1P P) )都大于都大于都大于都大于5 5时，二项分布近似于正态分布。时，二项分布近似

8、于正态分布。时，二项分布近似于正态分布。时，二项分布近似于正态分布。 二项分布图形取决于二项分布图形取决于二项分布图形取决于二项分布图形取决于 与与与与n n，高峰高峰高峰高峰 = =n n 处处处处二项分布二项分布图图5-1 =0.5时时,不同不同n值对应的二项分布值对应的二项分布 二项分布二项分布图图图图5-2 =0.35-2 =0.3时时时时, , 不同不同不同不同n n值对应的二项分布值对应的二项分布值对应的二项分布值对应的二项分布 二项分布的均数和标准差二项分布的均数和标准差 总体均数：总体均数：方差：方差：标准差：标准差： 如果将出现阳性结果的频率记为如果将出现阳性结果的频率记为总

9、体均数：总体均数：标准差：标准差： 例例5-4 研究者随机抽查某地研究者随机抽查某地150人，其中有人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求，求此率的此率的抽样误差抽样误差。二项分布的应用二项分布的应用（一）概率估计（一）概率估计 例例5-5 如果某地钩虫感染率为如果某地钩虫感染率为13%，随机，随机观察当地观察当地150人，其中有人，其中有10人感染钩虫的概人感染钩虫的概率有多大？率有多大？ 从从n=150，=0.13的二项分布，由公式的二项分布，由公式（5-1）和（）和（5-2）可以得出可以得出150人中有人中有10人感染钩虫的概率为人感染钩虫的概率为

10、（二）单侧累积概率计算（二）单侧累积概率计算二项分布出现阳性的次数至多为二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为次的概率为出现阳性的次数至少为出现阳性的次数至少为k次的概率为次的概率为 例例5-6 例例5-5中某地钩虫感染率为中某地钩虫感染率为13%，随机，随机抽查当地抽查当地150人，其中人，其中至多至多有有2名感染钩虫的名感染钩虫的概率有多大？概率有多大？至少至少有有2名感染钩虫的概率有多名感染钩虫的概率有多大？至少有大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？名感染钩虫的概率有多大？根据公式（根据公式（5-10）至多）至多有有2名感染钩虫的概名感染钩虫的概率为率为至少有至少有2名感染钩虫的概率

11、为名感染钩虫的概率为 至少有至少有20名感染钩虫的概率为名感染钩虫的概率为 研究非遗传性疾病的家族集聚性 非遗传性疾病的家族集聚性(clustering in families)，系指该种疾病的发生在家族成员间是否有传染性？如果没有传染性，即该种疾病无家族集聚性，家族成员患病应是独立的。此时以家族为样本，在n个成员中，出现X个成员患病的概率分布呈二项分布；否则，便不服从二项分布。例5-7 某研究者为研究某种非遗传性疾病的家族集聚性，对一社区82户3口人的家庭进行了该种疾病患病情况调查，所得数据资料见表5-1中的第（1）、（2）栏。试分析其家族集聚性。表5-1 患病数据资料与二项分布拟合优度的2

12、c检验 X （1） 实际户数A （2） 概率P(X) （3） 理论户数T=82P(X) （4） AT - （5） 2)(AT - （6） TAT2)(-（7） 0 26 0.13265 10.8774 -15.1226 228.6936 21.0247 1 10 0.38235 31.3525 21.3 525 455.9273 14.5420 2 28 0.36735 30.1229 2.1229 4.5069 0.149 6 3 18 0.11765 9.6472 -8.3528 69.7690 7.2320 合计 82 82.0000 42.9483 如如果果该该社社区区的的此此种种疾疾

13、病病存存在在家家族族集集聚聚性性，则则以以每每户户3口口人人的的家家庭庭为为样样本本，在在3个个家家庭庭成成员员中中，出出现现X（=0，1，2，3）个个成成员员患患病病的的概概率率分分布布即即不不服服从从二二项项分分布布。为为此此，可可作作如如下假设检验。下假设检验。H0：该疾病的发生无家族集聚性该疾病的发生无家族集聚性H1：该疾病的发生有家族集聚性该疾病的发生有家族集聚性 =0.10本例调查的总人数为：本例调查的总人数为：N=823=246（人）人）其中其中患病患病人数为：人数为：D=026+110+228+318=120（人）人）以以这这246人人的的患患病病率率估估计计总总体体的的患患病

14、病率率，即即=D/N=120/246=0.49。 在n=3、=0.49时，利用二项分布，求得X=0，1，2，3的概率P(X)，并以此得到相应的理论户数。对理论户数与实际户数进行拟合优度（goodness of fit）的检验。此时，自由度为=组数2=42=2。计算结果列于表6-1中的第（3）至（7）栏。Poisson分布分布一、概念一、概念 Poisson分布也是一种离散型分布，用以描分布也是一种离散型分布，用以描述述罕见事件罕见事件发生次数的概率分布。医学上人发生次数的概率分布。医学上人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件等都是罕见的，可能发生这些事件

15、的观察例等都是罕见的，可能发生这些事件的观察例数数n常常很大常常很大 ，但实际上发生类似事件的数，但实际上发生类似事件的数目却很小很小。目却很小很小。 Poisson分布可以看作是发生的概率分布可以看作是发生的概率 （或（或未发生的概率未发生的概率1 ）很小，而观察例数）很小，而观察例数n很很大时的二项分布。除二项分布的三个基本大时的二项分布。除二项分布的三个基本条以外，条以外，Poisson分布还要求分布还要求 或（或（1 ）接近于接近于0或或1（例如（例如0.999）。）。 Poisson分布的特征分布的特征Poisson分布的概率函数为分布的概率函数为 式中，式中， 为为Poisson分

16、布的总体均数，分布的总体均数，X为观为观察单位内某稀有事件的发生次数；察单位内某稀有事件的发生次数；e为自然为自然对数的底，为常数，约等于对数的底，为常数，约等于2.71828。 (三三) Poisson分布的图形分布的图形不不同同的的参参数数 对对应应不不同同的的Poisson分分布布，即即 的的大大小小决定了决定了Poisson分布的图形特征，见图分布的图形特征，见图5-3。 当当 越小，分布就越偏态；越小，分布就越偏态；当当 越越大大时时，Poisson分分布布则则越越渐渐近近正正态态分分布布。当当 1时时，随随X取取值值的的变变大大，P(X)值值反反而而变变小小；当当 1 时，随时，随

17、X取值的变大，取值的变大，P(X)值先增大而后变小。值先增大而后变小。如如若若 是是整整数数，则则P(X)在在X= 和和X= -1位位置置取取得得最最大值。大值。图图5-3 取不同值时的取不同值时的Poisson分布图分布图 由图5-3可以看到Poisson分布当总体均数值小于5时为偏峰，愈小分布愈偏，随着增大，分布趋向对称。Poisson分布有以下特性：（1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等,均为 （2）Poisson分布的观察结果有可加性 即对于服从Poisson分布的m个互相独立的随机变量X1，X2，Xm，它们之和也服从Poisson分布，且其均数为这m个随机变量的均数之和。P

18、oisson分布的应用分布的应用（一）概率估计（一）概率估计例例5-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为病概率为8，那么该地，那么该地120名新生儿中有名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大？人患先天性心脏病的概率有多大？ =n =1200.008=0.96 （二）单侧累计概率计算（二）单侧累计概率计算如果稀有事件发生次数的总体均数为如果稀有事件发生次数的总体均数为，那么那么该稀有事件发生次数至多为该稀有事件发生次数至多为k次的概率次的概率 发生次数至少为发生次数至少为k次的概率次的概率 例例例例5-8 5-8 例例例例5-75-7中，至多有中，至多有中

19、，至多有中，至多有4 4人患先天性心脏病的概人患先天性心脏病的概人患先天性心脏病的概人患先天性心脏病的概率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率有率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率有率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率有率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率有多大？多大？多大？多大？至多有至多有至多有至多有4 4人患先天性心脏病的概率人患先天性心脏病的概率人患先天性心脏病的概率人患先天性心脏病的概率至少有人患先天性心脏病的概率为至少有人患先天性心脏病的概率为至少有人患先天性心脏病的概率为至少有人患先天性心脏病的概率为 例例5-9 实验显示某实验显示某100cm2的培养皿平均菌的培养皿平均菌落数为落数为6个，试估计该培养皿菌落数小于个，试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于个的概率，大于1个的概率。个的概率。 该培养皿菌落数小于该培养皿菌落数小于3个的概率个的概率 菌落数大于菌落数大于1个的概率为个的概率为 正态分布、二项分布和正态分布、二项分布和Poisson分布的关系分布的关系正态分布正态分布二项分布二项分布Poisson分布分布 发生的概率发生的概率 很小，很小，而观察例数而观察例数n很大很大n 和和n(1- )均大于均大于5 2020