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1、1.3 1.3 动量动量（momentum)1.3.1 1.3.1 质点的动量定理质点的动量定理1.3.2 1.3.2 质点系的动量定理质点系的动量定理1.3.3 1.3.3 动量守恒定律动量守恒定律1.3.4 1.3.4 质心质心 1.3.1 1.3.1 质点的动量定理质点的动量定理(impulse and theorem of momentum)1) 力的时间累积效应，如：冲量力的时间累积效应，如：冲量 ，冲量矩冲量矩 2) 力的空间力的空间累积效应，如：功累积效应，如：功 A= F dS牛顿第二定律牛顿第二定律 F = ma 给出物体所受合外力与它所给出物体所受合外力与它所得加速度之间的
2、得加速度之间的瞬时关系瞬时关系。物体在力的物体在力的持续作用持续作用下，力对物体将产生下，力对物体将产生累积效应累积效应。一、一、 动量（动量（ momentum ） 动量性质：矢量性，瞬时性动量性质：矢量性，瞬时性, 相对性。相对性。这种累积效应有两种：这种累积效应有两种：动量由物体的动量由物体的m和和V 两个因素决定，如高速运动的两个因素决定，如高速运动的子弹，低速运动的夯。子弹，低速运动的夯。二、冲量（二、冲量（impulse）力在一段时间内持续作用的效果，是由力力在一段时间内持续作用的效果，是由力 F 和力和力的作用时间的作用时间 t 两个因素决定的。两个因素决定的。三、动量定理三、动
3、量定理 （theorem of momentum ） 质点的动量定理质点的动量定理 1）直角坐标系中的分量式）直角坐标系中的分量式( 二维二维 ):在碰撞过程中由于作用时间极短在碰撞过程中由于作用时间极短,作用力（冲力）却作用力（冲力）却很大很大. 并且随时间变化很难测定，但可借助始并且随时间变化很难测定，但可借助始 末动末动量变化和作用时间来计算平均冲力。量变化和作用时间来计算平均冲力。2） 动量定理在碰撞问题中具有特殊重要的意义。动量定理在碰撞问题中具有特殊重要的意义。讨论讨论 例例 已知：已知：m 在水平面内作半径为在水平面内作半径为R R的匀速圆运动，的匀速圆运动， (R, v) 已知
4、，已知， 求：求：(1)(1) A A 到到 B B 时动量的改变，时动量的改变， (2) (2) 向心力平均值及方向。向心力平均值及方向。xOyAB解：解：(1) (2) (2) 例例 已知：子弹在枪筒内受到推进力已知：子弹在枪筒内受到推进力 解：解： m 在枪内在枪内水平水平只受力只受力 F(t)水平方向水平方向动量状态动量状态： t 时刻，时刻， v = 300 m/s，p = mvt = 0 时，时，x = 0，v0 = 0，p = 0(N)(N)子弹在枪筒内加速时间子弹在枪筒内加速时间 0 t x x0tO 其加速过程其加速过程 v0 = 0 到到 v = 300 m/s 求：子弹质
5、量求：子弹质量 m = ? = ?当当子弹在枪筒内加速时间子弹在枪筒内加速时间 t = ? 0 tOx 1.3.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 （theorem of momentum for system of particles)一、质点系一、质点系把相互作用的若干个质点看作为一个整体把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质这组质点就称为质点系点就称为质点系.二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理m1 , m2 系统系统 : ,内力内力:,外力外力:m1m2分别运用牛顿第二定律分别运用牛顿第二定律:m1:m2:二式相加二式相加,对对N个质点系统，外力用个质点系统，外力用 F
6、，内力（即质点之间的内力（即质点之间的相互作用）用相互作用）用 f ，则第则第 i 及第及第 j 质点的运动方程质点的运动方程对所有质点求和对所有质点求和i jFiPi fi j fj iFjpj质点系的动量定理表明，一个系统总动量的变化仅决定于质点系的动量定理表明，一个系统总动量的变化仅决定于系统所受的外力，与系统的内力无关。即只有外力的冲量系统所受的外力，与系统的内力无关。即只有外力的冲量才能改变整个质点组的动量，内力的冲量虽然可以使个别才能改变整个质点组的动量，内力的冲量虽然可以使个别质点的动量改变，但不能改变整个质点组的动量。质点的动量改变，但不能改变整个质点组的动量。质点系的动量定理
7、与质点动量定理形式一样，质点系的动量定理与质点动量定理形式一样，但各量的含义却不同。但各量的含义却不同。 1.3.3 动量守恒定律动量守恒定律 （law of conservation of momentum) 一、质点动量守恒定律一、质点动量守恒定律由由质点的动量定理质点的动量定理质点动量守恒定律：质点动量守恒定律：若质点所受合外力为零，若质点所受合外力为零， 则质点的总动量不随时间改变则质点的总动量不随时间改变二、质点系动量守恒定律二、质点系动量守恒定律由由质点系的动量定理质点系的动量定理1.当合外力为零，或外力与内力相比小很多（如爆当合外力为零，或外力与内力相比小很多（如爆炸过程），这时
8、可忽略外力，仍可应用动量守恒。炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动量守恒。2. 合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒3. 只适用于惯性系只适用于惯性系讨论：讨论：动量守恒定律：若动量守恒定律：若系统系统所受合外力为零所受合外力为零, ,则则系统系统 的总动量保持不变。的总动量保持不变。4. . 比牛顿定律更普遍的最基本的定律比牛顿定律更普遍的最基本的定律，它在宏观和微它在宏观和微 观领域、低速和高速范围均适用。观领域、低速和高速范围均适用。例例: : 三只质量均为三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为的小船鱼贯而行速率均为v, ,如中间小如中间小船以相对速
9、率船以相对速率u同时同时向前后二船抛出质量均为向前后二船抛出质量均为m的物体，的物体， 求：二物体停在前后二船上以后三只小船速率各为多少求：二物体停在前后二船上以后三只小船速率各为多少? ?uu1231) 以小船以小船(1)及及m为研究为研究对象运用动量守恒定律对象运用动量守恒定律2) 以小船以小船(2)及及2m为研究对象为研究对象3) 以小船以小船(3)及及m为研究对象为研究对象解解例：水平光滑平面上有一小车，长度为例：水平光滑平面上有一小车，长度为 l，质量为质量为M。车车上站有一人，质量为上站有一人，质量为 m，人、车原来都静止。若人从车人、车原来都静止。若人从车的一端走到另外一端，问人
10、和车各移动了多少距离？的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？解：解：Xx人与车在水平方向受外力人与车在水平方向受外力为零，水平方向动量守恒为零，水平方向动量守恒例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，因而不受任何例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，因而不受任何外力的作用。火箭喷出的气体相对火箭的速率为外力的作用。火箭喷出的气体相对火箭的速率为 u，且保持不且保持不变。设某一时刻火箭的质量为变。设某一时刻火箭的质量为 M，求火箭在此时的速度？（设，求火箭在此时的速度？（设 t = 0 时，火箭速度为时，火箭速度为V0, 质量为质量为 M0）t + dttdm解：解：初态动量初态动
11、量xP0 = MV末态动量末态动量火箭火箭 P1 = （Mdm）(V+dV)气体气体 P2 = dm(V+dV u)P0 = P1 + P2MV= （Mdm）(V+dV)+ dm(V+dV u)MV= MVVdm + MdV dmdV+Vdm +dmdV udm MdV = udmdm = dM MdV= udM MdV = udM t = 0 时，火箭速度为时，火箭速度为V0, 质量为质量为 M01.3.4 质心质心 (center of mass)同理可写出同理可写出 y 和和 z 分量分量 zxy0r1r2crc质心位矢与坐标系的选取有关。质心位矢与坐标系的选取有关。 但质心相对于各质点
12、的相对位置但质心相对于各质点的相对位置是不会随坐标系的选择而变化的是不会随坐标系的选择而变化的质心的定义质心的定义: 设质点系共有设质点系共有N个质点组成个质点组成,各质点的各质点的质量分别为：质量分别为：m1,m2,mN ,矢径分别为：矢径分别为： 则质心的矢径定义为则质心的矢径定义为: m2m1m imj对连续分布的物质，可以将其分为对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元个小质元例：任意三角形的每个顶点有一质点例：任意三角形的每个顶点有一质点 m，求质心。求质心。xyo（x1，y1）x2同理可写出同理可写出 y 和和 z 分量分量例例: 求均匀半圆铁环的质心（半径为求均匀半圆铁环的质心（
13、半径为R）. dld 解：取长度为解：取长度为 dl 的一段铁丝的一段铁丝, 以以 l 表示线密度表示线密度dm = l dl . l = m / ( R) Royx由对称性可知由对称性可知, 质心质心C一定在一定在 y 轴上轴上, 即：即：xC=0 , C质心运动定理质心运动定理 (theorem of the motion of center of mass)质点系的动量质点系的动量质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。 质点系所受合外力等于其总质量与质心加速度的乘积质点系所受合外力等于其总质量与质心加速度的乘积. 这就是质心运动定理这就是
14、质心运动定理.在有些情况下，质点系内各质点由于内力和外力的作在有些情况下，质点系内各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单，用，运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单，由质点系所受和外力决定。由质点系所受和外力决定。这样质点系的运动可看成是把质量和力都集中在质心这样质点系的运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质点的运动。的一个质点的运动。例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量量M， 纸被拉动时与球的摩擦力为纸被拉动时与球的摩擦力为 F，求：求：t 秒后秒后球在桌面上移动多少距离？球在桌面上移动多少距离
15、？xyo解：球移动的距离即为质心移动的距离解：球移动的距离即为质心移动的距离答：沿拉动纸的方向移动答：沿拉动纸的方向移动作业作业4：1-11； 1-12； 1-27；1-291.4 角动量（角动量（angular momentum）1.4.1 质点的角动量质点的角动量1.4.2 角动量定理角动量定理1.4.3 角动量守恒定律角动量守恒定律1.4.1 质点的角动量质点的角动量大小：大小：当质点作圆周运动时当质点作圆周运动时 L= m v r一、角动量矢量定义一、角动量矢量定义动量为动量为P的质点的质点, 对惯性系中一固定点对惯性系中一固定点o的角动量的角动量定义为下述矢量积定义为下述矢量积:方向
16、：方向：2. 的顺序不能颠倒。的顺序不能颠倒。右手定则右手定则1. 的方向垂直于的方向垂直于 r 和和 p 所决定的平面所决定的平面。注意：注意： om角动量的性质角动量的性质1. 矢量性矢量性2. 瞬时性瞬时性二、力矩二、力矩a ao方向方向: 右手定则右手定则.矢量性，瞬时性，相对性矢量性，瞬时性，相对性 om3. 相对性。相对性。 为质点到固定点为质点到固定点O的位的位矢矢，相对，相对 不同点不同点 值不同值不同, ,则则 也不同。也不同。 1.4.2 角动量定理角动量定理质点角动量定理质点角动量定理质点对某一点的角动量随时间的变化率等于质点所质点对某一点的角动量随时间的变化率等于质点所
17、受合外力对同一点的力矩。受合外力对同一点的力矩。上式表明在力矩的持续作用下质点角动量的变化。上式表明在力矩的持续作用下质点角动量的变化。反映的是力矩在反映的是力矩在 t 时间内的累积效应。时间内的累积效应。 1.4.3 角动量守恒定律角动量守恒定律(law of conservation of angular momentum) 即：即： 如果对于某一固定点如果对于某一固定点, 质点所受合外力矩为零质点所受合外力矩为零, 则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变.关于合外力矩为零关于合外力矩为零, 有二种情况有二种情况:例例 在在光光滑滑桌桌面面上上开开一一
18、小小孔孔，把把系系在在轻轻绳绳一一端端的的小小球球放放在在桌桌面面上上，绳绳的的另另一一端端穿穿过过小小孔孔而而执执于于手手中中。设设开开始始时时小小球球以以速速率率 v0 作作半半径径为为 r0 的的圆圆周周运运动动 (图图)，然然后后向向下下缓缓慢慢拉拉绳绳使使小小球球的的转转动动半半径径减减为为 r，求求这时小球的速率这时小球的速率 v？解：解：vO绳缓慢拉下，每一绳缓慢拉下，每一瞬时均可看作小球瞬时均可看作小球近似作圆周运动。近似作圆周运动。r动量守恒？动量守恒？动能守恒？动能守恒？例例：卫卫星星绕绕地地球球沿沿椭椭圆圆轨轨道道运运行行，地地球球的的中中心心位位于于椭椭圆圆的的一一个个
19、焦焦点点上上，地地球球R=6378km，卫卫星星距距地地面面的的最最近近距距离离h1=439km, 最最远远距距离离h2=2384km,卫卫星星在在近近地地点点 A1的的速率速率v1=8.10km/s，求：卫星在远地点求：卫星在远地点A2的的速率速率 v2？ h2A1v1v2A2卫星卫星h1解：卫星在运动过程中解：卫星在运动过程中受地球引力，力矩为零，受地球引力，力矩为零，因此角动量守恒。因此角动量守恒。 质点系角动量定理质点系角动量定理(theorem of angular momentum of system of particles)内力矩内力矩i jFiPi fi j fj iorjr
20、iFj由质点角动量定理由质点角动量定理质点系角动量定律质点系角动量定律上两式形式上与质点角动量定律相似但涵义不同上两式形式上与质点角动量定律相似但涵义不同分量式：分量式：质点系对某轴的角动量随时间的变化率等于质点质点系对某轴的角动量随时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一轴的力矩的代数和。系中各质点所受外力对同一轴的力矩的代数和。质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律例：例： 质量分别为质量分别为m1和和m2的两个小钢球固定在一个长为的两个小钢球固定在一个长为a的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆在水平面的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆在水平面内自由转动，杆原来静止。另一泥球质量为内自由转动，杆原来静止。另一泥球质量为m3，以水以水平速度平速度v0垂直于杆的方向与垂直于杆的方向与m2发生碰撞，碰后二者粘发生碰撞，碰后二者粘在一起。在一起。 设设 m1=m2=m3，求碰撞后转动的角速度。求碰撞后转动的角速度。碰撞后碰撞后解：考虑此质点系。相对于杆的中点，在碰撞过解：考虑此质点系。相对于杆的中点，在碰撞过程中合外力矩为零，因此对此点的角动量守恒。程中合外力矩为零，因此对此点的角动量守恒。碰撞前碰撞前a/2a/2m 1 m 2m 3 v0rr作业作业5：1-13 ；1-14； 1-15
