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1、二节正项级数Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望一 、正项级数收敛的充分必要条件正项级数 ，由于 ，因此可知数列 为单调增加数列.定理9.1 正项级数 收敛的充分必要条件为：它的前n项部分和所构成的数列 有上界.用反证法可知： 若 的前n项部分和所构成的数列 无界，则 必定发散，且 . 若 发散，则其前n项和所构成的数列 必定无界.二、 正项级数的比较判别法 设有两个正项级数 与 . 若 ，则有 如果 发散，则 必定发散.因为若后者收敛，由前述可知 应收敛而引起矛盾.如果
2、 收敛，可知 有上界，从而知 有界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知 收敛.定理9.2(比较判别法) 设两个正项级数 与 如果满足那么(1) 若 收敛，则 收敛.(2) 若 发散，则 发散.注意：比较判别法的条件，只要从某一项起就可以.这将比定理8.2更实用.例1 判定级数 的收敛. 解因而 为正项级数.若取 ，则 为几何级数，公比 ，因此 为收敛级数.由比较判别法可知 收敛.当x0时，有sin x0为常数.若0p1时， 收敛.它的各项不大于下列级数中的对应项.综合上述有常用的作为比较对象的级数有几何级数(a0)调和级数 发散.p-级数例3 判定级数 的收敛性. 由于 发散，解 所给级数的通
3、项 与 为同阶无穷小，例4 判定级数 的收敛性.解 所给级数的通项因此设 .由p级数知， 收敛，由比较判别法知 收敛.与 为同阶无穷小，推论 若正项级数 收敛，且存在N，当 时，有 ，则正项级数 也收敛. 若正项级数 发散，且存在N，当 时，有 ，则正项级数 也发散.定理9.3(极限形式的比较判别法) 设 与 都是正项级数,且 ,则 与 的收敛性相同.利用极限形式比较法,可以免去放大或缩小un的困难.三、正项级数的比值判别法定理9.4 (比值判别法，又称达朗贝尔(dAlembert)判别法) 若正项级数 满足 ，则当 时， 收敛； 当 时， 可能收敛，也可能发散，即此时不能利用比值判别法判定
4、的收敛性.当 时， 发散，并且此时 ；例5 判定级数 收敛性.解 原级数为正项级数，其通项为当ae时，原级数收敛；当0ae时，原级数发散.例6 判定级数 的收敛性.解 所给级数为正项级数，其通项比值判别法失效，利用比较判别法注意到当n时, 与 为同阶无穷小量,令 则 为发散级数.由于 由极限形式的比较判别法知 发散.例7 判定级数 的收敛性.解 原级数为正项级数，其通项为不能利用比值判别法判定，利用比较判定法注意到当n时, 与 为二阶无穷小量,由p级数猜想所给级数收敛令 ,则 为收敛级数,由于由极限形式的比较判别法知 收敛. 由例7，例8可知 ，正项级数 的比值判别法，对于 的情形失效.只能考虑利用其他方法判定.判定正项级数 的收敛性应注意以下几点：1.如果 易求，应先判定是否 ？若 则可知 发散.2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 中含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.3.使用比较判别法时，应先对 的收敛性作一个猜 想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 ，使 其放大后的表达式 ，而正项级数 收敛.如果 猜想级数发散，只需适当缩小 ，使其缩小后的 表达式 ，而正项级数 发散.
