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1、-WORD 格式-可编辑- - . 2018 届高三第二轮复习数列 第 1 讲等差、等比考点 【高 考感悟】 从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 考什么 怎么考 题型与难度 主要考查等差、等比数列的基 题型：三种题型均可出现 1.等差 (比 )数列的基本运算 本量的求解 难度：基础题 主要考查等差、等比数列的定 题型：三种题型均可出现 2.等差 (比 )数列的判定与证明 义证明 难度：基础题或中档题 主要考查等差、等比数列的性 题型：选择题或填空题 3.等差 (比 )数列的性质 质 难度：基础题或中档题 1必记公式 (1) 等差数列通项公式： an a1 (n 1) d. n（ a1 a
2、n） n（ n 1 ） d (2) 等差数列前 n 项和公式： S na1 . n 2 2 (3) 等比数列通项公式： ana1qn 1 . (4) 等比数列前 n 项和公式： na1 （ q 1） S n n n . a1（ 1 q ） a1 a q （ q 1） 1 q 1 q (5) 等差中项公式： 2an an 1 an 1 (n 2) (6) 等比中项公式： a2n an 1 an 1(n 2) S1 （ n 1） (7) 数列 an的前 n 项和与通项 an 之间的关系： an . Sn Sn 1（ n 2） 2重要性质 (1) 通项公式的推广：等差数列中， an am (n m
3、)d；等比数列中， an amqn m. -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . (2) 增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列 等比数列中，若 a1 0 且 q 1 或 a1 0 且 0 q 1，则数列为递增数列；若 a1 0 且 0 q 1 或 a1 0 且 q 1，则数列为递减数列 3易错提醒 (1) 忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件 (2) 漏掉等比中项：正数 a， b 的等比中项是 ab，容易漏掉 ab . 【真 题体验】 1 (2015 新课标高考)已知 an是公差为 1
4、 的等差数列， Sn 为 an的前 n 项和若 S8 4S4，则 a10 ( ) 17 19 A. B. C 10 D 12 2 2 1 2 (2015 新课标高考)已知等比数列 an满足 a1 ， a3a5 4( a4 1) ，则 a2 ( ) 4 1 1 A 2 B 1 C.D. 2 8 3 (2015 浙江高考)已知 n是等差数列，公差 d 不为零若 a 2， a 3， 7 成等比数列，且 2 a 1 a 2 1，则 a a a1 _， d _ 4 (2016 全国卷1)已知 an 是公差为 3 的等差数列，数列 bn 满足 b1=1， b2 = 1， anbn 1 bn 1 nbn ，
5、 . 3 （ I ）求 an 的通项公式；（ II ）求 bn 的前 n 项和 . -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . 【考 点突破】 考点一、 等差（比）的基本运算 1 (2015 湖南高考)设 Sn 为等比数列 an的前 n 项和，若 a1 1，且 3 S1， 2S2 ， S3 成等差数列，则 an _ 9 2 (2015 重庆高考)已知等差数列 an满足 a3 2，前 3 项和 S3 . 2 (1) 求 an的通项公式； (2) 设等比数列 bn满足 b1 a1 ， b4 a15，求 bn的前 n 项和 Tn. 考点二、 等差（比）的证明与判断 【典例
6、 1 】( 2017 全国1 )记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，已知 S2=2 ， S3 =-6. （ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 Sn，并判断 Sn+1， Sn， Sn+2 是否成等差数列 。 . -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . 【规律感悟】 判断和证明数列是等差 (比 )数列的三种方法 (1) n1 的任意自然数，验证 an 1 an 或 an 1 定义法：对于 为同一常数 an (2) 通 项公式法： 若 an a1 (n 1) d am (n m)d 或 an kn b(n N *)，则 an为等差数列； 若 an a1qn
7、 1 amqn m 或 an pq kn b(n N* )，则 an为等比数列 (3) 中项公式法： 若 2an an 1 an 1 (n N*， n 2) ，则an为等差数列； 若 a2n an 1 an 1(n N *， n 2) ，且an 0，则 an为等比数列 变式： (2014 全国大纲高考 )数列 an满足 a1 1， a2 2， an 2 2 an 1 an 2. (1) 设 bn an 1 an，证明 bn是等差数列； (2) 求 an的通项公式 考点三、 等差（比）数列的性质 命题角度一 与等差 (比 )数列的项有关的性质 【典例 2 】 (1)(2015 新课标高考)已知等
8、比数列 an满足 a1 3 ， a1 a3 a5 21 ，则 a3 a5 a7 ( ) A 21 B 42 C 63 D 84 (2)(2015 铜陵模拟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S10 12，则 a5 a6 ( ) -WORD 格式-可编辑- - 12 6 A. B 12 C 6 D. 5 5 . -WORD 格式-可编辑- - . 命题角度二 与等差 (比 )数列的和有关的性质 【典例 3】 (1)(2014 全国大纲高考)设等比数列 a 的前 n 项和为 S .若 S 3， S 15 ，则 n n 2 4 S6 () A 31 B 32C 63 D 64 (2)(2
9、015衡水中学二调)等差数列 an中， 3(a3 a5 ) 2(a7 a 10 a13) 24，则该数列前 13 项 的和是 ( ) A 13 B 26 C 52 D 156 针对训练 1 在等差数列 n中，若 a 3 4 5 a 6 7 25，则 a 2 8 _ a a a a a 2 在等比数列 n中， 4 8 16，则 a45 7 8 的值为 _ a a a a a a 3 若等比数列 n 的各项均为正数，且 10 a 11 9 a 12 2e5 ，则 ln a 1 ln 2 ln 20 a a a a a _ 【巩 固训练】 一、选择题 1 (2015 新课标高考)设 S n 是等差数
10、列 n的前 n 项和若 a 1 3 5 3，则 5 ( ) a a a S A 5 B 7 C 9 D 11 2 (2014 福建高考)等差数列 n的前 n 项和为 S n ，若 1 2， S 3 12，则 a 6 等于( ) a a A 8 B 10 C 12 D 14 3 (2014 重庆高考)对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是 ( ) -WORD 格式-可编辑- - A a1， a3 ， a9 成等比数列 B a2 ， a3， a6 成 等比数列 . -WORD 格式-可编辑- - . C a 2， a4 ， a8 成等比数列 D a3， a6 ， a9 成等比数列 4 (201
11、4 天津高考)设 an是首项为 a1 ，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和若 S1， S2 ， S4 成等比数列，则 a1 ( ) A 2 B 2 1 1 C. D 2 2 * 1 5 (2015 辽宁大连模拟)数列 n n a n1 n n1 n n ，且 b 1 a 满足 a a a (n N )，数列 b 满足 b an b b 90 ，则 b b ( ) 2 9 4 6 A最大值为 99 B为定值 99 C最大值为 100 D最大值为 200 二、填空题 6 (2015 陕西高考)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列， 其末项为 2 015 ，则该数列的首项为 _
12、7 (2015 安徽高考)已知数列 an是递增的等比数列， a1 a4 9 ， a2a3 8，则数列 an 的前 n 项和等于 _ 8 (2014 江西高考)在等差数列 an中， a1 7 ，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n 8 时 Sn 取得最大 值，则 d 的取值范围为 _ 三、解答题 9 (文 )(2015 兰州模拟)在等比数列 an中，已知 a1 2， a4 16. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 若 a3 ， a5 分别为等差数列 bn的第 3 项和第 5 项，试求数列 bn 的前 n 项和 Sn. -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑
13、- - . 10 、 (2014 湖北高考)已知等差数列 an满足： a1 2 ，且 a1 ， a2 ， a5 成等比数列 (1) 求数列 an的通项公式； (2) 记 Sn 为数列 an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn 60 n 800 ？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由 11 (2015 江苏高考)设 a1 ， a2 ， a3， a4 是各项为正数且公差为 d(d 0) 的等差数列 (1) 证明： 2a1， 2 a2， 2 a3 ， 2 a4 依次构成等比数列； (2) 是否存在 a1， d，使得 a1 ， a22， a33， a44 依次构成等比数列？并说明理由
14、 第 2 讲 数列求和（通项）及其综合应用 【高 考感悟】 从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 考什么 怎么考 题型与难度 1.数列的通项 考查等差、等比数列的基本量的求解； 题型：三种题型均可出现 公式 考查 an 与 Sn 的关系，递推关系等 难度：基础题或中档题 2.数列的前 n 考查等差、等比数列前 n 项和公式； 题型： 三种题型均可出现，更多 . -WORD 格式-可编辑- - . 项和 考查用裂项相消法、错位相减法、分解 为解答题 组合法求和 . 难度：中档题 3.数列的综合 证明数列为等差或者等比； 题型：解答题 应用 考查数列与不等式的综合 . 难度：中档题 【 真题体
15、验】 1 (2015 北京高考)设 an是等差数列，下列结论中正确的是 ( ) A若 a1 a2 0，则 a2 a3 0 B若 a1 a3 0，则 a1 a2 0 C若 0 a1 a2 ，则 a2 a1 a3 D若 a1 0，则 (a2 a1)(a2 a3 ) 0 2 (2015 武汉模拟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a5 5， S5 15，则数列 1 的前 anan 1 100 99 99 101 100 项和为 () A. B. C. D. 101 101 100 100 3 (2015 福建高考)等差数列 an中， a2 4， a4 a7 15. (1)求数列 a n的通
16、项公式； (2)设 bn 2an 2 n，求 b1 b2 b3 b10 的值 -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . 【考点突破】 考点一、数列的通项公式 【规律感悟】 求通项的常用方法 (1) 归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法 (2) 已 知 S 与 a 的关系，利用 S1 ， n 1， a 求 a . n n n n S n Sn 1， n2 (3) 累 加法：数列递推关系形如 a n 1 a n ( )，其中数列 ( )前 n 项和可求，这种类型的数列求通项公式 f n f n 时，常用累加法 (叠加法 ) (4) 累乘法：
17、数列递推关系如 an 1 g(n)an，其中数列 g(n)前 n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法( 叠乘法 ) (5) a pa q(p q ) a q p an q 1) 构造法：递推关系形如 n1 n 为常数 可化为 n 1 (p 的形式，利 ， p 1 p 1 用 a q p 为公比的等比数列求解 是以 n p 1 an 1 pan (p 为非零常数 )可化为 1 1 1 递推关系形如 an 的形式 an p an 1 p 1 (2015 新课标高考)设 S n 是数列 n的前 n 项和，且 a 1 1， n 1 n n1 ，则 S n _ a a S S 1 1 1 2 (2
18、015 铜陵模拟)数列 an满足 3 a1 32 a2 3nan 3 n 1 ， n N*，则 an _ 5 an 13 3若数列 an满足 a1 3 ， an 1 ，则 a2 015 的值为 _ -WORD 格式-可编辑- - 3an 7 . -WORD 格式-可编辑- - . 考点二、 数列的前 n 项和 【规律感悟】 1.分组求和的常见方法 (1) 根据等差、等比数列分组 (2) 根据正号、负号分组 (3) 根据数列的周期性分组 2裂项后相消的规律 常用的拆项公式 (其中 n N*) 1 1 1 1 ） 1 1 1 （ 1 1 1 1 （ ） . （ k n n k . ）（ 2 n ）
19、 ( ) n n 1 n n 1 n n k 2 n 1 1 2 2n 1 2 n 1 3错位相减法的关注点 (1) 适用题型：等差数列 an乘以等比数列 bn对应项 ( an bn)型数列求和 (2) 步骤：求和时先乘以数列 bn 的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式 4倒序求和。 命题角度一 基本数列求和、分组求和 【典例 1 】 (2015 湖北八校联考 )等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn是等比数列， 满足 a1 3， b1 1 ， b2 S2 10 ， a5 2b2 a3. 2 ， n 为奇数， (1) 求数列 an和 bn的通项公式； (2) 令 cn Sn 设
20、数列 cn的前 n 项和为 Tn，求 T2n. bn， n 为偶数， -WORD 格式-可编辑- - 命题角度二 裂项相消法求和 . -WORD 格式-可编辑- - . 【典例 2 】 (2015 安徽高考)已知数列 an是递增的等比数列，且 a1 a4 9， a2a3 8. (1) 求数列 an的通项公式； an 1 (2) 设 Sn 为数列 an的前 n 项和， bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. SnSn 1 命题角度三 错位相减法求和 【典例 3 】 (2015 天津高考)已知 an是各项均为正数的等比数列， bn是等差数列，且 a1 b1 1，b2 b3 2 a3， a5 3
21、b2 7. (1) 求 an和 bn的通项公式； (2) 设 cn anbn， n N*，求数列 cn 的前 n 项和 针对训练 -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . n2 n 1 (2014 湖南高考)已知数列 n的前 n 项和 S n ， N* . a n 2 (1) 求数列 an的通项公式； (2) 设 bn 2an ( 1) nan，求数列 bn的前 2n 项和 1 n 2 (2015 山东高考)已知数列 an是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 . an an 1 2n 1 (1) 求数列 an的通项公式； (2) 设 bn ( an 1)
22、 2 an，求数列 bn的前 n 项和 Tn. .考点三、 数列的综合应用 【典例 4】 (2015 陕西汉中质检 )正项数列 a 的前 n 项和 S 2 2 n 1) S 2 n) 0. 满足： S (n (n n n n n (1) 求数列 an的通项公式 an； -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . (2) 令 bn n 1 5 ，数列 bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 n N* ，都有 Tn . （ n 2） 2 an2 64 an 变式： (2015 辽宁大连模拟 )数列 an 满足 an 1 ， a1 1. 2an 1 (1) 证明：数
23、列 1 (2) 求数列 1 1 1 1n 是等差数列； 的前 n 项和 S ，并证明 . an an n S1 S2 Sn n 1 【巩 固训练】 一、选择题 -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . 1 (2015 浙江高考)已知 a n是等差数列， 公差 d 不为零， 前 n 项和是 n.若 ， ， 成等比数列， 则 () S a3 a4 a8 A a1 d 0， dS4 0 B a1 d 0， dS4 0 C a1 d 0 ， dS4 0 D a1d 0， dS4 0 2 (2015 保定调研)在数列 an中，已知 a1 1， an 1 2 an 1，则其通
24、项公式为 an () A 2n 1 B 2 n 1 1 C 2n 1 D 2( n 1) 3 (预测题 )已知数列 n满足 a 1 a n n2，且 a 1 2 015 项的和等于 () n 1 1 ，则该数列的前 a 2 a 2 3 023 A. B 3 023 C 1 512 D 3 024 2 4 (2015 长春质检)设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 a2 1， nSn (n 2) an为等差数列， 则 an () n n 1 2 n 1 n 1 A. n 1 B. n C. n D. n 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 anan 1 1 5 (2015 云南第一次
25、统一检测 )在数列 an中， an 0， a1 ，如果 an 1 是 1 与 2 的等比中项，那 2 4 an a2 a3 a4 a100 么 a1 4 的值是 ( ) 22 3 2 2 100 2 100 101 100 99 A. B. 100 C. D. 99 101 100 二、填空题 6 (2014 全国新课标高考)数列 an满足 an 1 1 ， a8 2，则 a1 -WORD 格式-可编辑- - _ 1 an 7若数列 n(n 4)( 2 k 项，则 k _ )n中的最大项是第 3 . -WORD 格式-可编辑- - . 8(2015 江苏高考)设数列 an满足 a1 1 ，且
26、an 1 an n 1( n N *)，则数列 1 前 10 项 的和为 _ an 9 (2015 福建高考)若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p 0 ， q 0) 的两个不同的零点，且 a， b， 2 这三个 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于 _ 三、解答题 10 (201 5湖北高考)设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q.已知 b1 a1 ， b2 2 ， q d， S10 100. (1) 求数列 an ， bn的通项公式； an (2) 当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和
27、Tn. bn 11 (2014 山东高考)已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1， S2 ， S4 成等比数列 (1) 求数列 an的通项公式； 4 n (2) 令 bn ( 1) n 1 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. an an 1 -WORD 格式-可编辑- - . -WORD 格式-可编辑- - . 2018 届高三第二轮复习数列答案 【 真 题 体 验 】 （第 1 讲等差、等比考点） 1【解析】 设等差数列 a 的首项为 a1 ，公差为 d.由题设知 d 1 ， S8 4 S4，所以 8a1 28 4(4 a1 6) ， n 1 1 19 解得 a1
28、，所以 a10 9 .故选 B. 2 2 2 1 2【解析】 设等比数列 an的公比为 q， a1 ， a3 a5 4( a4 1) ，由题可知 q 1，则 a1 q2 a1 q 4 4( a1 q3 4 1 1 1 6 3 1) 6 3 3 8) 2 3 8，q 2，a2 .故选 C. 1) ， q 4( q ，q 16 q 64 0 ，( q 0， q 16 4 2 3 3【解析】 由 a2 ， a3 ， a7 成等比数列，得 a32 a2a7 ，则 2 d2 3a1d，即 d a1 .又 2a1 a2 1，所以 2 2 2 a1 ， d 1.【答案】 1 3 3 n (2) b 3 1
29、4【解】 (1) a 3n 1 n 2 2 3n 1 考点一、 等差（比）的基本运算 1 【解析】 本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等 比数列的通项公式由 3 S1 ， 2 S2 ， S3 成等差数列，得 4 S2 3 S1 S3 ，即 3S2 3 S1 S3 S2 ，则 3 a2 a3， n n1 3 n 1 .【答案】 3 n 1 得公比 q 3 ，所以 a a1 q -WORD 格式-可编辑- - 2【解】 本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前 n 项和公式，考查考生的运算求解能力 (1) 将已知条件中的 a3， S3 用首项 a1
30、与公差 d 表示，求得 a1 ， d，即可求得数列 an的通项公式； (2) 结 合 (1) 利用条件 b1 a1， b4 a15 求得公比，然后利用等比数列的前 n 项和公式进行计算 . -WORD 格式-可编辑- - . (1) 设 an的公差为 d，则由已知条件得 3 2 9 a1 2d 2 ， 3 a1 d ， 2 2 3 即 a1 2 d 2， a1 d ， 2 1 解得 a1 1 ， d ， 2 故通项公式为 a 1 n 1 n 1 ，即 a . n n 2 2 15 1 (2) 由 (1) 得 b1 1 ， b4 a15 8. 2 b4 设 bn的公比为 q，则 q3 8 ，从而
31、 q2 ， b1 故 bn的前 n 项和 b1（ 1 qn） 1 （1 2n） Tn 1 2 2n 1 1 q 考点二、 等差（比）的证明与判断 【典例 1】 解：（ 1）设 an 的公比为 q ，由题设可得 a1(1 q) 2, 解得 q 2, a1 2 故 an 的通项公式为 an ( 2) n a2 (1 q q2 ) 6. （ 2 ）由（ 1）可得 Sn a1 (1 qn ) 2 ( 1)n 2n 1 1 q 3 3 由于 Sn 2 Sn 1 4 ( 1)n 2n 3 2n 2 2 2 ( 1)n 2n 1 2Sn ,故 Sn 1 , Sn , Sn 2 成等差数列 3 3 3 3 变
32、式【解】 (1) 证明：由 an 2 2an 1 an 2 得 an 2 an 1 an 1 an 2 ， 即 bn 1 bn 2. 又 b1 a2 a1 1， 所以 bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 (2) 由 (1) 得 bn 1 2( n 1) ，即 an 1 an 2 n 1. -WORD 格式-可编辑- - 于是 ， 所以 an 1 a1 n2，即 an 1 n2 a1. 又 a1 1 ，所以 an的通项公式为 an n2 2n 2. 考点三、 等差（比）数列的性质 . -WORD 格式-可编辑- - . 命题角度一 与等差 (比 )数列的项有关的性质 【解析】 (1) 本题
33、主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力由于 a1(1 q2 q4 ) 21 ， a1 3，所以 q4 q2 6 0 ，所以 q2 2( q2 3 舍去 )， a3 a5 a7 q2(a1 a3 a5) 2 21 42. 故选 B. (2) 本题主要考查等差数列的性质am an ap aq. a1 a10 由 S10 12 得 10 12 ， 2 12 12 所以 a1 a10 ，所以 a5 a6 .故选 A. 5 5 命题角度二 与等差 (比 ) 数列的和有关的性质 【解析】 （ 1 ）在等比数列 an中， S2 ， S4 S2， S6 S4 也成等比数列，故
34、(S4 S2) 2 S2( S6 S4)，则 (15 3) 2 3(S6 15) 解得 S6 63. 故选 C. (2) 3( a3 a5 ) 2( a7 a10 a13 ) 24，6a4 6a10 24 ，a4 a10 4 ，S13 13 （ a1 a13） 13 （ a4 a10） 2 2 13 4 26. 故选 B. 2 针对训练 1【解析】 由 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 25 得 5 a 5 25，所以 5 5，故 a 2 8 2 a 5 10. a a 2【解析】 a4a5a 7 a8 a4 a8 a5a7 (a4a8 )2 256. 【答案】 256 3【解析】 10
35、 11 9 a 12 2e 5， 10 11 e5 ， ln a 1 ln a 2 ln a 20 10ln( a 10 11 ) 10 ln e 5 50. a a a a a a 【巩固训练】 一、选择题 5 （ a1 a5） 5 2a3 1【解析】 数列 an为等差数列， a1 a3 a5 3 a3 3，a3 1，S5 5.【答案】 2 2 A 3 2 2【解析】 由题知 3 a1 2 d 12，a1 2 ，解得 d 2 ，又 a6 a1 5 d，a6 12. 故选 C. 3【解析】 由等比数列的性质得， a3 a9 a62 0 ，因此 a3， a6 ， a9 一定成等比数列故选 D.
36、4【解由题意知 22 2 1 ) 2 1( 14 3 )， 代入整理得 1 -WORD 格式-可编辑- - 析】 S S 1 4，(2 1 a 4 a d 把 d 1 a 1 .故选 S a d 2 2 2 D. 5【解析】 将 n a a 1 n n1 两边同时除以 n n 1 可得 1 1 b n 1 b n 1 ，所以 n是公 1，即 a a a a a an 1 an b 差为 d 1 9（ b1 b9 ） 90 ，所以 b1 b9 20 ，将 b9 b1 8 d b1 8 ，代入 的等差数列，其前 9 项和为 2 . -WORD 格式-可编辑- - . 得 b1 6，所以 b4 9，
37、 b6 11，所以 b4 b6 99.故选 B. 二、填空题 6【解析】 设等差数列的首项为 a1，根据等差数列的性质可得， a1 2 015 2 1 010 ，解得 a1 5.【答 案】 5 a1 a4 9， a1 a4 9， a1 1 7【 解析】 则 a1 ， a4 可以看作一元二次方程 x2 9x 8 0 的两根，故 ， a2 a3 8， a1a4 8 ， a4 8 a1 8， a1 1， n 或 数列a 是递增的等比数列， 可得公比 q 2 ，前 n 项和 S n 2 1. n a4 1. a4 8. n（ n 1） d d d d 8【解析】 等差数列的前 n 项和为 Sn，则 S
38、n na 1 d n2 (a1 )n n2 (7 ) n，对称 2 2 2 2 2 d d 7 2 7 7 7 2 轴为 ，对称轴介于 7.5 与 8.5 之间，即 7.5 8.5 ，解得 1 d . 【答案】 1， d d 8 8 三、解答题 9 .【解】 (1) 设数列 n的公比为 q ，n 为等比数列， a a a4 n1 n 3 q 8，q 2 ，an 22 2 . a1 (2) 设数列 bn的公差为 d，b3 a3 2 3 8 ， b5 a5 2 5 32，且 bn为等差数列， n（ n 1 ） n 2 22n. b5 b3 24 2 d，d 12，b1 b3 2 d 16，S 16
39、n 12 6 n 2 10 、【解】 (1) 设数列 an的公差为 d，依题意， 2， 2 d，2 4 d 成等比数列，故有 (2 d)2 2(2 4d)，化 简得 d2 4 d 0，解得 d 0 或 d 4. 当 d 0 时， a 2；当 d 4 时， a 2 (n 1) 4 4n 2 ，从而得数列 a 的通项公式为 a 2 或 a n n n n n 4 n 2. (2) 当 an 2 时， Sn 2 n.显然 2n 60n 800 ， 此时不存在正整数 n，使得 Sn 60 n 800 成立 n2（ 4 n 2） -WORD 格式-可编辑- - 当 an 4 n 2 时， Sn 2n2.
40、 2 令 2n2 60n 800 ，即 n2 30n 400 0 ，解得 n 40 或 n 10( 舍去 )，此时存在正整数 n，使得 Sn 60n 800 成立， n 的最小值为 41. 综上，当 an 2 时，不存在满足题意的 n；当 an 4n 2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41. . -WORD 格式-可编辑- - . 2 an 1 11 【解】 (1) 证明：因为 2 an 1 an 2 d(n 1， 2， 3) 是同一个常数，所以 2 a1， 2a2 ， 2 a3， 2 a4 2an 依次构成等比数列 (2) 不存在，理由如下：令 a 1 d ，则 a 1， 2， a 3
41、， 4 分别为 a ， ， a ， 2 ( ， a a a d a d a d a d a 2d， d 0) 假设存在 a1 ， d，使得 a1， a22， a33， a44 依次构成等比数列， 则 a4 (a d)(a d)3，且 (a d)6 a2(a 2 d)4. d 1 令 t ，则 1 (1 t)(1 t)3 ，且 (1 t)6 (1 2t)4 t 1 ， t0， a 2 化简得 t3 2 t2 2 0(*) ，且 t2 t 1. 将 t2 t 1 代入 (*) 式， 1 t(t 1) 2( t 1) 2 t2 3 t t 1 3t 4t 1 0，则 t . 4 1 显然 t 不是上
42、面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在 2 3 4 a1， d，使得 a1 ， a2， a3， a4依次 4 构成等比数列 第 2 讲 数列求和及其综合应用 【真 题体验】 1 (2015 北京高考)设 an是等差数列，下列结论中正确的是 ( ) A若 a1 a2 0 ，则 a2 a3 0 B若 a1 a3 0 ，则 a1 a2 0 C 若 0 a1 a2，则 a2 a1a3 D 若 a1 0 ，则 (a2 a1 )(a2 a3) 0 【解析】 若 a 是递减的等差数列，则选项 A、 B 都不一定正确若 a 为公差为 0 的等差数列，则 n n C 选项，由条件可知 an为公差不为 a1
43、a3 选项 D 不正确对于 0 的正项数列，由等差中项的性质得 a2 ， 2 a1 a3 a1a3，所以 C 正确 由基本不等式得 2 -WORD 格式-可编辑- - 【答案】 C 1 2 (2015 武汉模拟)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a5 5， S5 15 ，则数列 的前 100 项和为 ( ) anan 1 . -WORD 格式-可编辑- - . 100 99 A. B. 101 101 99 101 C.D. 100100 【解析】 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d. a5 5 ， S5 15， a1 4d 5 ， 5（5 1） 5 a1 2 d 15， a
44、1 1 ， an a1 (n 1) d n. d 1， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n（ n 1） ，数列 anan1 的前 100 项和为 1 100 1 anan 1 n n 1 2 2 3 101 101 100 . 101 【答案】 A 3 (2015 福建高考)等差数列 an中， a2 4 ， a4 a7 15. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 设 bn 2an 2 n，求 b1 b2 b3 b10 的值【解】 (1) 设等差数列 an的公差为 d. a1 d 4 ， 由已知得 （ a1 3 d）（ a1 6 d） 15 ， a1 3， 解得 d 1. 所以
45、 an a1 (n 1) d n 2. (2) 由 (1) 可得 bn 2 n n， 所以 b1 b2 b3 b10 (2 1) (2 2 2) (2 3 3) (2 10 10) (2 22 23 210) (1 2 3 10) 2（1 210 ） （ 1 10 ） 10 1 2 2 211 53 2 101. 数列的通项公式（自主探究型） -WORD 格式-可编辑- - 1当 n 1 时， S 1 1 1，所以 1 a n 1 n 1 S n 1 1 1 1.因为 n n 1，所以 1，即 a S1 S S S Sn 1 Sn Sn 1 . -WORD 格式-可编辑- - . 1 1 1
46、1，所以 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，所以 ( 1) (n 1) ( 1) n，所以 Sn Sn Sn Sn 1 . n 1 2当 n 1 时， a1 3 1 1，所以 a1 12， 3 当 n2 时，： 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 an 1 an 3 n 1，： a1 a2 an 1 3( n 1) 3 3 2 3n 1 3n 3 32 3 n 1 1. 1 得： 3 nan (3 n 1) 3(n 1) 1， 1 12， n 1， 12， n 1， 即 an 3 ，所以 an 3n 1 ，综上可得： an 【答案】 3n 3n 1 ， n 2. 3 n 1， n2
47、 3 本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决 由于 a1 3，求 a2 1 ， a3 2 ， a4 3，所以数列 an是周期为 3 的周期数列，所以 a2 015 a671 3 2 a2 1. 数列的前 n 项和（多维探究型） 命题角度一 基本数列求和、分组求和 b2 S2 10， q 6 d 10 ， 【典例 1】 (1) 设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q，则由 得 3 4d 2 q 3 2d， a5 2 b2 a3 ， d 2， 解得 q 2， 所以 an 3 2( n 1) 2n 1， bn 2n 1 . n a 2 ， n 为奇数， （ 1
48、 n） a n（ n 2 ） (2) 由 a1 3， an 2n 1 得 Sn 2 n(n 2) ，则 cn 2n 1， n 为偶数， 1 1 ， n 为奇数， 即 cn n n 2 2 n 1， n 为偶数， -WORD 格式-可编辑- - T2n (c1 c3 c2n 1) (c2 c4 c2n) 1 1 1 1 1 1 (2 23 2 2n 1) 3 3 5 2 n 1 2 n 1 1 2（ 1 4 n） 2n 2 1 (4 n 1) 2n 1 1 4 2n 1 3 命题角度二 裂项相消法求和 【典例 2】 (1) 由题设知 a1 a4 a2 a3 8， . -WORD 格式-可编辑-
49、- . 又 a1 a4 9 ，可解得 a1 1， a1 8 a4 8 或 (舍去 ) a4 1 设等比数列 a n的公比为 q ，由 a 4 1 3 得 q 2，故 a n 1 q n 1 2 n 1. a q a a1（ 1 qn） n an 1 Sn 1 Sn 1 1 n 2 1 n ， (2)S ，又 b SnSn1 1 q SnSn 1 Sn Sn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . n n S2 S3 Sn 1 S1 Sn 1 2n 1 1 所以 T b1 b2 b S1 S2 Sn 命题角度三 错位相减法求和 典例 3 】 (1) 设数列 a 的公比为 q，数列 b 的
50、公差为 d，由题意 q 0. n n （ 1 d）（ 1 2q） 2q， 2q2 3 d 2 ， 消去 d，整理得 q4 2 q2 8 0. 由已知，有 q4 3 （ 1 d） 7， q4 3d10 ， 又因为 q 0 ，解得 q 2 ，所以 d 2. 所以数列 an的通项公式为 an 2 n 1 ， n N *；数列 bn的通项公式为 bn 2 n 1 ， n N * . n1 的前 n 项和为 Sn，则 (2) 由 (1) 有 cn (2 n 1) 2 ，设 cn S 0 1 n2 (2 n n 1 n 12 32 52 (2 3) 2 1) 2 ， n 2Sn 1 3 n1 (2 n 1
51、) n 12 32 52 (2 n 3) 2 2， 上述两式相减，得 Sn 1 2 2 2 3 n n n1 n n 2 (2 n 1) 2 2 3 (2 n 1) 2 (2 n 3) 2 3 ， 所以， Sn n * . (2n 3) 2 3， n N 针对训练 1【解】 (1) 当 n 1 时， a1 S1 1 ； 当 n 2时， a n S n S n 1 n2 n （ n 1） 2（ n 1 ） . 2 2 n 故数列 an的通项公式为 an n. -WORD 格式-可编辑- - (2) 由 (1) 知， bn 2 n ( 1) nn.记数列 bn的前 2 n 项和为 T2 n，则 T
52、2n (2 1 22 22 n) ( 1 2 3 4 2n) 记 A 2 1 22 22 n， B 1 2 3 4 2n，则 2（ 1 2 2n） A 2 2n 1 2， 1 2 B ( 1 2) ( 3 4) (2 n 1) 2 n n.故数列 bn的前 2n 项和 T2n A B 2 2n 1 n 2. 2 【解】 1 1 (1) 设数列 a 的公差为 d.令 n 1 ，得 ， n a1a2 3 所以 a1a2 3. 令 n 2，得 1 1 2 ，所以 a2 a3 15. a1 a2 a2a3 5 解得 a1 1 ， d 2 ，所以 an 2n 1. (2) 由 (1) 知 bn 2 n2
53、n 1 n4n， T 1 2 n n 所以 n 14 24 4， . -WORD 格式-可编辑- - . 所以 4Tn 2 3 n1 ， 14 24 n4 n 1 4 （ 1 4 n） 1 3 n 4 两式相减，得 3Tn 4 1 2 n n1 n 1 4 4 n4 n4 3 4 . 1 4 3 3n 1 4 4 （ 3 n 1） 4n 1 所以 Tn 9 4 n 1 9 9 . 数列的综合应用（师生共研型） 【典例 4】 【解】 2 2 1) Sn 2 2 n)(Sn 1) 0. (1) 由 Sn (n n (n n) 0，得 Sn (n 由于 an是正项数列，所以 Sn 0， Sn n2
54、n. 于是 a1 S1 2， n2 时， an Sn Sn 1 n2 n ( n 1) 2 (n 1) 2 n. 综上，数列 an的通项公式为 an 2n. (2) 证明：由于 a n 2 n ， n n 1 ， b （ n 2） 2an2 则 bn n 1 1 1 1 . 16 n2 ） 2 4 n2（ n 2 ）2 （ n 2 所 以 Tn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （ n 2 ） 2 16 32 22 42 32 52 （ n 1 ） 2 （ n 1 ） 2 n2 16 1 1 1 1 1 5 1 16 1 64 . 22 （ n 1） 2 （ n 2 ） 2 2
55、2 a n 1 2 a 1 1 1 (1) 证明：an 1 n 2 变式：【解】 ， ，化简得 ， 2an 1 an 1 an an 1 an 1 1 1 即 2 ，故数列 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 an 1 an an 1 （ 1 2 n 1 ） (2) 由 (1) 知 2 n 1 n 2 . ， n an S 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 -WORD 格式-可编辑- - S1 S2 Sn 1 2 22 n2 1 2 2 3 n（ n 1 ） 2 2 3 n n 1 1 n . n 1 n 1 【巩 固训练】 .
56、 -WORD 格式-可编辑- - . 一、选择题 1【解析】 由 a 3， a 4， 8 成等比数列可得： ( 1 3 d )2 ( 1 2 d ) ( 1 7 d )，即 3 a 1 5 d 0，所以 a 1 a a a a 5 （ a1 a4）4 2 d，所以 a1d 0.又 dS4 2 d 2(2 a1 3 d)d d2 0.故选 B. 3 3 2【解析】 由题意知 a n 1 1 2( a n 1) ， n 1 ( n 1 n n 1.【答案】 A 1 1) 2 2 ， n2 a a a 1 1 1 3 【解析】 因为 a1 ，又 an 1 an an2 ，所以 a2 1 ，从而 a3
57、 ， a4 1 ，即得 an 2 2 2 1 ， n 2 k 1 （ k N *）， 1 3 021 3 023 2 故数列的前 2 015 项的和等于 S2 015 1 007 (1 ) 1 2 1 2 .【答 2 1 ， n 2 k（ k N* ），案】 A 4【解析】 设 b nS (n 2) a ，有 b1 4 ， b2 8 ，则 b 4 n，即 b nS (n 2) a 4n， S (1 n n n n nn n n 2 )an 4. n 2 2 当 n2 时， Sn Sn 1 (1 )an (1 )an 1 0， n n 1 2（ n 1） n 1 an an 1 所以 n an
58、an 1，即 2 ， n 1 n n 1 an 1 an 1 n 1 ， an n 所以 n 是以 2 为公比， 1 为首项的等比数列，所以 n 2 2n 1.故选 A. 【答案】 A 2 anan 1 1 1 5【解析】 2 ? (2 an 1 anan 1 1) a(2n 1 anan 1 1) 0? an 1 ? 由题意可得， an 1 4 an2 2 an an 1 1 1 an 1 1 ? 1 ， 2 an an 1 1 an 1 1 1 n an 1 a2 a100 1 1 1 1 (n 1) n 1? a ? ，a1 1 a n 1 1 n n n （ 1 ） 2 2 100 2
59、 2 2 3 100 1 2 1 n n -WORD 格式-可编辑- - 2 1 100 .【答案】 C 101 101 二、填空题 1 1 1 1 6【解析】 将 a8 2 代入 an 1 ，可求得 a7 ；再将 a7 代入 an 1 ，可求得a6 1 ； 1 an 2 2 1 an 1 再将 a6 1 代入 an 1 ，可求得 a5 2 ；由此可以推出数列 an是一个周期数列，且周期为 3，所以 1 an 1 a1 a7 . 2 . -WORD 格式-可编辑- - . 7【解析】 设数列为 n，则 n 1 n ( 1)( 5)( 2 4)( 2 2 2 2 6 5) 2 4 a n )n
60、1 ( )n ( )n ( n n a a n n n 3 3 n n 3 3 2 n 3 n 1 (10 n2)， 所以当 n3 时， an 1 an；当 n4 时， an 1 an. 因此， a1 a2 a3 a4 ， a4 a5 a6 ，故 a4 最大，所以 k 4. 8【解析】 由 a1 1，且 an 1 an n 1( n N *)得， an a1 (a2 a1 ) (a3 a2) (an an 1 ) 1 2 n（ n 1 ） 1 2 11 1 1 1 1 3 n ，则 2 ，故数列 前 10 项的和 S10 2(1 2 2 an n（ n 1 ） n n 1 an 2 3 1 1
61、 1 20 20 ) 2(1 ) .【答案】 10 11 11 11 11 p2 4 q 0 ， 8【解析】 因为 a， b 为函数 f(x) x2 px q(p 0， q 0) 的两个不同零点，所以 a b p， 所以 a ab q. 0 ， b 0 ，所以数列 a， 2， b 不可能成等差数列，数列 a， b， 2 不可能成等比数列，数列 2， a， b 不可能成等比数列不妨取 a b，则只需研究数列 a， b， 2 成等差数列，数列 a， 2， b 成等比数列， a 2 2 b， a 4 ， a 2， p 5 ， 则有 解得 或 (舍去 )，所以 所以 p q 9.【答案】 9 ab 4
62、， b 1 b 2 q 4 ， 三、解答题 9【解】 (1) 由题意有， 10 a1 45d 100 ， 2a1 9d 20， a1d 2 ， 即 a1 d 2， a1 9 ， 1 ）， n a1 1， an 2n 1， a （ 2n 79 2 9 解得 2 ， 或 故 n 2n 1 或 d b 2 n 1 d . bn 9 . 9 9 2n 1 (2) 由 d1 ，知 an 2n 1， bn 2n 1 ，故 cn 2 n 1 ，于是 3 5 7 9 2 n 1 Tn 1 2n 1 ， 2 2 2 23 2 4 1 Tn 1 3 5 7 9 2n 1 -WORD 格式-可编辑- - 2 2 2
63、2 23 24 25 2 n . 可得 1 1 1 1 2 1 2 n 3 2 n 3 Tn 2 n 3 ，故 Tn 6 . 2 2 n 2n 2 2 2 2n 2 2 n 1 2 1 10 【解】 (1) 因为 S1 a1， S2 2a1 2 2 a1 2， 2 . -WORD 格式-可编辑- - . 4 3 S4 4 a1 2 4a1 12， 2 由题意得 (2 a1 2) 2 a1(4 a1 12) ，解得 a1 1 ，所以 an 2n 1. 4n 4n 1 1 (2) bn ( 1) n 1 ( 1) n 1 ( 1) n 1 . anan1 （ 2 n 1）（ 2n 1） 2n 1 2n 1 当 n 为偶数时， Tn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 1 . 3 3 5 2n 3 2 n 1 2 n 1 2n 1 2 n 1 2 n 1 当 n 为奇数时， Tn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 2 1 . 3 3 5 2n 3 2 n 1 2 n 1 2n 1 2 n 1 2 n 1 2n 2 ， n 为奇数， 2 n 1（ 1） n 1 2n 1 所以 Tn (或 Tn 2n 1 ) 2n ， n 为偶数 . 2n 1 -WORD 格式-可编辑- - .
