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1、第五节 隐函数的求导公式 第九章第九章 (Derivation of Implicit Function)一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结与思考练习三、小结与思考练习8/17/20241本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .8/17/20242一、一个方程的情形定理定理1 1 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(
2、隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域某邻域内内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数8/17/20243两边对 x 求导在的某邻域内则8/17/20244在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数并求例例1 验证方程解解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且8/17/202458/17/20246两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时 利用隐函数求导导数的另一求法导数的另一求法8/17/20247若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并
3、有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确定理定理28/17/20248两边对 x 求偏导同样可得则8/17/20249解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导例2 设设8/17/202410设则两边对 x 求偏导解法2 利用公式8/17/202411二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F, G 的偏导数组成的行列式称为F, G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即8/17/202412的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连
4、续函数单值连续函数且有偏导数公式: 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；定理定理3 38/17/202413定理证明略.仅推导偏导数公式如下：8/17/202414有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组二元线性代二元线性代数方程组解数方程组解的公式的公式在点P 的某邻域内故得系数行列式8/17/202415同样可得8/17/202416分析：分析：此题可以直接用课本中的公式（公式（6）求解， 但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.8/17/2024178/17/202418解：解：8/17/202419内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在
5、定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方求导方法法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 代公式代公式思考与练习1. 设设求求8/17/202420 解法1:8/17/202421由d y, d z 的系数即可得解法解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.8/17/202422分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,2. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研考研)解得因此8/17/202423是由方程和所确定的函数 , 求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (99考研考研)3. 设设8/17/202424对各方程两边分别求微分:化简得消去可得解法解法2 微分法微分法.8/17/202425
