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1、乘法公式(提高) 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义; 2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义, 能利用公式进行乘法运算; 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式:22()()ab abab 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 要点诠释:在这里,ba,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项” ,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的
2、平方.常见的变式有以下类型: (1)位置变化:如()()abba 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (2)系数变化:如(35 )(35 )xyxy (3)指数变化:如3232()()mnmn (4)符号变化:如()()ab ab (5)增项变化:如()()mnp mnp (6)增因式变化:如2244()()()()ab ab abab 要点二、完全平方公式 完全平方公式:2222abaabb 2222)(bababa 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积
3、的 2 倍.以下是常见的变形: 2222ababab22abab 224ababab 要点三、添括号法则 添括号时, 如果括号前面是正号, 括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()xp xqxpq xpq;2233()()ab aabbab; 33223()33abaa babb;2222()222abcabcabacbc. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(21)(221)( 421)(821)(1621)(32
4、21)1 【思路点拨】 本题直接计算比较复杂, 但观察可以发现 21 与 21,221与221,421与421等能够构成平方差,只需在前面添上因式(21) ,即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】 解:原式(21)(21)( 221)(421)(821)(1621)(3221) 1 (221)( 221)( 421)(821)(1621)(3221)1 64211642 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题,不妨先仔细观察,看是否有规律,然后去解决,会事半功倍,提高解题能力 举一反三: 【变式 1】计算: (1)2(3)(9)(3)xxx (2)(ab)( ab)( 22ab)
5、( 44ab) 【答案】 解:(1)原式(x3)(x3)(29x )(29x )(29x )481x (2)原式(ab)( ab)( 22ab)( 44ab) (22ab)( 22ab)( 44ab) (44ab)( 44ab)88ab 【变式 2】 (2015内江) (1)填空: (ab) (a+b)= ; (ab) (a2+ab+b2)= ; (ab) (a3+a2b+ab2+b3)= (2)猜想: (ab) (an1+an2b+abn2+bn1)= (其中 n 为正整数,且 n2) (3)利用(2)猜想的结论计算:2928+27+2322+2 【答案】 解: (1) (ab) (a+b)
6、=a2b2; (ab) (a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2a2bab2b3=a3b3; (ab) (a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3a3ba2b2ab3b4=a4b4; 故答案为:a2b2,a3b3,a4b4; (2)由(1)的规律可得: 原式=anbn, 故答案为:anbn; (3)2928+27+2322+2=(21) (28+26+24+22+2)=342 2、 (2014 春牟定县校级期末)新实验中学校园正在进行绿地改造,原有一正方形绿地,现将它每边都增加 3 米,面积则增加了 63 平方米,问原绿地的边长为多少?原绿地的面积又为多少? 【答案与解析
7、】 解:设原绿地的边长为 x 米,则新绿地的边长为 x+3 米, 根据题意得, (x+3)2x2=63, 由平方差公式得, (x+3+x) (x+3x)=63, 解得,x=9; 原绿地的面积为:99=81(平方米) ; 答:原绿地的边长为 9 米,原绿地的面积为 81 平方米 【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用,两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差; (a+b) (ab)=a2b2,熟练应用平方差公式可简化计算 举一反三: 【变式】解不等式组:(3)(3)(2)1,(25)( 25)4 (1).xxx xxxxx 【答案】 解: (3)(3)(2)1,(25)( 25)4
8、 (1).xxx xxxxx 由得22921xxx,210x ,5x 由得2225(2 )44xxx,2225444xxx, 425x ,6.25x 不等式组的解集为6.25x 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算: (1)2(23)ab; (2)(23 )(23 )abc abc 【思路点拨】 (1)是一个三项式的平方,不能直接运用完全平方公式,可以用加法结合律将23ab化成(23)ab,看成a与(23)b和的平方再应用公式; (2)是两个三项式相乘,其中a与a完全相同,2b,3c与2b,3c分别互为相反数, 与平方差公式特征一致,可适当添加括号, 使完全相同部分作为 “一项”
9、, 互为相反数的部分括在一起作为 “另一项” 【答案与解析】 解: (1)原式222(23)2 (23)(23)abaabb 22464129aababb 22446129ababab (2)原式22222(23 )(23 )(23 )4129abcabcabcabbcc 【总结升华】配成公式中的“a” “b”的形式再进行计算. 举一反三: 【变式】运用乘法公式计算: (1)abcabc ; (2)211 2xyyx ; (3)2xyz; (4)231 1 23abab 【答案】 解:(1) abcabc a(bc) a(bc) 222222abcabbcc 2222abbcc (2) 211
10、 2xyyx 2x(y1)2x(y1) 222221421xyxyy 22421xyy (3)22222xyzxyzxyxy zz 222222xxyyxzyzz (4) 231 1 23abab2231ab 22(23 )2(23 ) 1 abab 22(2 )2 233461aabbab 224129461aabbab 4、已知ABC 的三边长a、b、c满足2220abcabbcac,试判断ABC的形状 【思路点拨】通过对式子变化,化为平方和等于零的形式,从而求出三边长的关系 【答案与解析】 解: 2220abcabbcac, 2222222220abcabbcac, 即222222(2)
11、(2)(2)0aabbbbccaacc 即222()()()0abbcac 0ab,0bc,0ac, 即abc, ABC 为等边三角形 【总结升华】式子2220abcabbcac体现了三角形三边长关系,从形式上看与完全平方式相仿,但差着2ab中的 2 倍,故想到等式两边同时扩大 2 倍,从而得到结论 举一反三: 【变式】多项式222225xxyyy的最小值是_. 【答案】4; 提示:2222222514xxyyyxyy,所以最小值为 4. 【巩固练习】 一.选择题 1下列各多项式相乘,可以用平方差公式的有( ) 2552abxxab axyaxy abcabc mnmn A.4个 B.3个 C
12、.2个 D.1个 2. 若214xkx是完全平方式,则k值是( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 1 3.下面计算77abab 正确的是( ) A.原式(7ab)7(ab)272ab B.原式(7ab)7(ab)272ab C.原式(7ab)(7ab)272ab D.原式(7a)b(7a)b227ab 4(a3)(2a9)(a3)的计算结果是( ) A.4a81 B.4a81 C. 4a81 D.814a 5下列式子不能成立的有( )个 22xyyx 22224abab 32abbaab xyxyxyxy 22112xxx A.1 B.2 C.3 D.4 6 (2015 春开江县期末)计
13、算 2015220142016 的结果是( ) A2 B1 C0 D1 二.填空题 7多项式28xxk是一个完全平方式,则k_ 8. 已知15aa,则221aa的结果是_. 9. 若把代数式223xx化为2xmk的形式,其中m,k为常数,则mk_. 10. (2015 春深圳期末) 若 A= (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) +1, 则 A 的末位数字是 11对于任意的正整数n,能整除代数式 31 3133nnnn的最小正整数是_. 12. 如果221 221abab63,那么ab的值为_. 三.解答题 13.计算下列各值. 22(1) 10199 2222(2)224mmm (
14、3) ()()abc abc 2(4) (321)xy 14.(2015 春成华区月考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如:4=2202,12=4222,20=6242,因此 4、12、20 都是这种“神秘数” (1)28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗?试说明理由; (2)试说明神秘数能被 4 整除; (3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗?试说明理由 15. 已知:26,90,ababca求abc 的值. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B; 【解析】,可用平方差公式. 2. 【答案】B; 【解析】2221112224xxxkx ,所
15、以k1. 3. 【答案】C; 4. 【答案】C; 【解析】(a3)(2a9)(a3)224(9)(9)81aaa. 5. 【答案】B; 【解析】,不成立. 6. 【答案】D; 【解析】 解: 原式=20152 (20151) (2015+1) =20152 (201521) =2015220152+1=1, 故选 D. 二.填空题 7. 【答案】16; 【解析】22282 44xxkxx ,k16. 8. 【答案】23; 【解析】21()25,aa222211225,23aaaa. 9. 【答案】3; 【解析】2222321 1 314xxxxx ,m1,k4. 10.【答案】6; 【解析】解
16、: (2+1) (22+1) (24+1) (28+1)+1 =(21) (2+1) (22+1) (24+1) (28+1)+1, =(221) (22+1) (24+1) (28+1)+1, =(241) (24+1) (28+1)+1, =(281) (28+1)+1, =(2161) (216+1)+1, =2321+1, 因为 232的末位数字是 6,所以原式末位数字是 6 故答案为:6 11.【答案】10; 【解析】利用平方差公式化简得 1021n ,故能被 10 整除. 12.【答案】4; 【解析】221 221abab222163, 228,4ababab . 三.解答题 13
17、.【解析】 解: (1)原式2210011001=100002001 100002001=20002 (2)原式 22222484441632256mmmmm (3)原式222222abcabcbc (4)原式 222(321)321 2 322 32 2xyxyxyxy 229412641xyxyxy 14.【解析】 解: (1)是,理由如下: 28=8262,2012=50425022, 28 是“神秘数” ;2012 是“神秘数” ; (2) “神秘数”是 4 的倍数理由如下: (2k+2)2(2k)2=(2k+2+2k) (2k+22k)=2(4k+2)=4(2k+1) , “神秘数”是 4 的倍数; (3)设两个连续的奇数为:2k+1,2k1,则 (2k+1)2(2k1)2=8k, 而由(2)知“神秘数”是 4 的倍数,但不是 8 的倍数, 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数 15.【解析】 解:6,ab6ab 290,abca 2690,bbca 2230,bca 3,bca 363,3ac 3333abc .