(完整版)北师大数学七年级下册第一章乘法公式(提高)

《(完整版)北师大数学七年级下册第一章乘法公式(提高)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)北师大数学七年级下册第一章乘法公式(提高)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、乘法公式（提高） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22()()ab abab 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的

2、平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()abba 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35 )(35 )xyxy （3）指数变化：如3232()()mnmn （4）符号变化：如()()ab ab （5）增项变化：如()()mnp mnp （6）增因式变化：如2244()()()()ab ab abab 要点二、完全平方公式 完全平方公式：2222abaabb 2222)(bababa 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积

3、的 2 倍.以下是常见的变形： 2222ababab22abab 224ababab 要点三、添括号法则 添括号时， 如果括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()xp xqxpq xpq；2233()()ab aabbab； 33223()33abaa babb；2222()222abcabcabacbc. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(21)(221)( 421)(821)(1621)(32

4、21)1 【思路点拨】 本题直接计算比较复杂， 但观察可以发现 21 与 21，221与221，421与421等能够构成平方差，只需在前面添上因式（21） ，即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】 解：原式(21)(21)( 221)(421)(821)(1621)(3221) 1 (221)( 221)( 421)(821)(1621)(3221)1 64211642 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力 举一反三： 【变式 1】计算： (1)2(3)(9)(3)xxx (2)(ab)( ab)( 22ab)

5、( 44ab) 【答案】 解：(1)原式(x3)(x3)(29x )(29x )(29x )481x (2)原式(ab)( ab)( 22ab)( 44ab) (22ab)( 22ab)( 44ab) (44ab)( 44ab)88ab 【变式 2】 （2015内江） （1）填空： （ab） （a+b）= ； （ab） （a2+ab+b2）= ； （ab） （a3+a2b+ab2+b3）= （2）猜想： （ab） （an1+an2b+abn2+bn1）= （其中 n 为正整数，且 n2） （3）利用（2）猜想的结论计算：2928+27+2322+2 【答案】 解： （1） （ab） （a+b）

6、=a2b2； （ab） （a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2a2bab2b3=a3b3； （ab） （a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3a3ba2b2ab3b4=a4b4； 故答案为：a2b2，a3b3，a4b4； （2）由（1）的规律可得： 原式=anbn， 故答案为：anbn； （3）2928+27+2322+2=（21） （28+26+24+22+2）=342 2、 （2014 春牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加 3 米，面积则增加了 63 平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案与解析

7、】 解：设原绿地的边长为 x 米，则新绿地的边长为 x+3 米， 根据题意得， （x+3）2x2=63， 由平方差公式得， （x+3+x） （x+3x）=63， 解得，x=9； 原绿地的面积为：99=81（平方米） ； 答：原绿地的边长为 9 米，原绿地的面积为 81 平方米 【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差； （a+b） （ab）=a2b2，熟练应用平方差公式可简化计算 举一反三： 【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)( 25)4 (1).xxx xxxxx 【答案】 解： (3)(3)(2)1,(25)( 25)4

8、 (1).xxx xxxxx 由得22921xxx，210x ，5x 由得2225(2 )44xxx，2225444xxx， 425x ，6.25x 不等式组的解集为6.25x 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算： （1）2(23)ab； （2）(23 )(23 )abc abc 【思路点拨】 （1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23ab化成(23)ab，看成a与(23)b和的平方再应用公式； （2）是两个三项式相乘，其中a与a完全相同，2b，3c与2b，3c分别互为相反数， 与平方差公式特征一致，可适当添加括号， 使完全相同部分作为 “一项”

9、， 互为相反数的部分括在一起作为 “另一项” 【答案与解析】 解： （1）原式222(23)2 (23)(23)abaabb 22464129aababb 22446129ababab （2）原式22222(23 )(23 )(23 )4129abcabcabcabbcc 【总结升华】配成公式中的“a” “b”的形式再进行计算. 举一反三： 【变式】运用乘法公式计算： (1)abcabc ； (2)211 2xyyx ； (3)2xyz； (4)231 1 23abab 【答案】 解：(1) abcabc a(bc) a(bc) 222222abcabbcc 2222abbcc (2) 211

10、 2xyyx 2x(y1)2x(y1) 222221421xyxyy 22421xyy (3)22222xyzxyzxyxy zz 222222xxyyxzyzz (4) 231 1 23abab2231ab 22(23 )2(23 ) 1 abab 22(2 )2 233461aabbab 224129461aabbab 4、已知ABC 的三边长a、b、c满足2220abcabbcac，试判断ABC的形状 【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系 【答案与解析】 解： 2220abcabbcac， 2222222220abcabbcac， 即222222(2)

11、(2)(2)0aabbbbccaacc 即222()()()0abbcac 0ab，0bc，0ac， 即abc， ABC 为等边三角形 【总结升华】式子2220abcabbcac体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的 2 倍，故想到等式两边同时扩大 2 倍，从而得到结论 举一反三： 【变式】多项式222225xxyyy的最小值是_. 【答案】4； 提示：2222222514xxyyyxyy，所以最小值为 4. 【巩固练习】 一.选择题 1下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( ) 2552abxxab axyaxy abcabc mnmn A.4个 B.3个 C

12、.2个 D.1个 2. 若214xkx是完全平方式，则k值是（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 1 3.下面计算77abab 正确的是( ) A.原式(7ab)7(ab)272ab B.原式(7ab)7(ab)272ab C.原式(7ab)(7ab)272ab D.原式(7a)b(7a)b227ab 4(a3)(2a9)(a3)的计算结果是( ) A.4a81 B.4a81 C. 4a81 D.814a 5下列式子不能成立的有( )个 22xyyx 22224abab 32abbaab xyxyxyxy 22112xxx A.1 B.2 C.3 D.4 6 （2015 春开江县期末）计

13、算 2015220142016 的结果是（ ） A2 B1 C0 D1 二.填空题 7多项式28xxk是一个完全平方式，则k_ 8. 已知15aa，则221aa的结果是_. 9. 若把代数式223xx化为2xmk的形式，其中m，k为常数，则mk_. 10. （2015 春深圳期末） 若 A= （2+1）（22+1）（24+1）（28+1） +1， 则 A 的末位数字是 11对于任意的正整数n，能整除代数式 31 3133nnnn的最小正整数是_. 12. 如果221 221abab63，那么ab的值为_. 三.解答题 13.计算下列各值. 22(1) 10199 2222(2)224mmm (

14、3) ()()abc abc 2(4) (321)xy 14.（2015 春成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2202，12=4222，20=6242，因此 4、12、20 都是这种“神秘数” （1）28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； （2）试说明神秘数能被 4 整除； （3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由 15. 已知：26,90,ababca求abc 的值. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】，可用平方差公式. 2. 【答案】B； 【解析】2221112224xxxkx ，所

15、以k1. 3. 【答案】C； 4. 【答案】C； 【解析】(a3)(2a9)(a3)224(9)(9)81aaa. 5. 【答案】B； 【解析】，不成立. 6. 【答案】D； 【解析】 解： 原式=20152 （20151） （2015+1） =20152 （201521） =2015220152+1=1， 故选 D. 二.填空题 7. 【答案】16； 【解析】22282 44xxkxx ，k16. 8. 【答案】23； 【解析】21()25,aa222211225,23aaaa. 9. 【答案】3； 【解析】2222321 1 314xxxxx ，m1，k4. 10.【答案】6； 【解析】解

16、： （2+1） （22+1） （24+1） （28+1）+1 =（21） （2+1） （22+1） （24+1） （28+1）+1， =（221） （22+1） （24+1） （28+1）+1， =（241） （24+1） （28+1）+1， =（281） （28+1）+1， =（2161） （216+1）+1， =2321+1， 因为 232的末位数字是 6，所以原式末位数字是 6 故答案为：6 11.【答案】10； 【解析】利用平方差公式化简得 1021n ，故能被 10 整除. 12.【答案】4； 【解析】221 221abab222163, 228,4ababab . 三.解答题 13

17、.【解析】 解： （1）原式2210011001=100002001 100002001=20002 （2）原式 22222484441632256mmmmm （3）原式222222abcabcbc （4）原式 222(321)321 2 322 32 2xyxyxyxy 229412641xyxyxy 14.【解析】 解： （1）是，理由如下： 28=8262，2012=50425022， 28 是“神秘数” ；2012 是“神秘数” ； （2） “神秘数”是 4 的倍数理由如下： （2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k） （2k+22k）=2（4k+2）=4（2k+1） ， “神秘数”是 4 的倍数； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k1，则 （2k+1）2（2k1）2=8k， 而由（2）知“神秘数”是 4 的倍数，但不是 8 的倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数 15.【解析】 解：6,ab6ab 290,abca 2690,bbca 2230,bca 3,bca 363,3ac 3333abc .