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1、2.3.1 2.3.1 向量数量积的物向量数量积的物 理背景与定义理背景与定义托克托县第一中学托克托县第一中学 教学目标：教学目标： 1、了解平面向量数量积的物理背景；、了解平面向量数量积的物理背景； 2、理解向量在轴上的正射影及正射影的数量；、理解向量在轴上的正射影及正射影的数量； 3、掌握平面向量数量积的定义、几何意义及性质；、掌握平面向量数量积的定义、几何意义及性质； 4 、体会类比的数学思想方法；、体会类比的数学思想方法；教学重点：教学重点： 平面向量数量积的概念及性质；平面向量数量积的概念及性质；教学难点：教学难点： 平面向量数量积的定义及性质的理解和应用平面向量数量积的定义及性质的
2、理解和应用; 问题问题1:1: 我们研究了向量的哪些运算？我们研究了向量的哪些运算？一、导入新课一、导入新课这些运算的结果是什么？这些运算的结果是什么？问题问题:如图所示，一物体在力如图所示，一物体在力F的作用下产生的作用下产生 位移位移S，FFS（）力（）力F F所做的功所做的功W W= 。 （）请同学们分析这个公式的特点：（）请同学们分析这个公式的特点： W W（功）是（功）是 量，量，F F（力）是（力）是 量，量， S S（位移）是（位移）是 量量,是是 。| |F|F| |s|cos|s|cos 向向数数向向力力F F方向与位移方向与位移S S方向的夹角方向的夹角作作 ,1 1 向量
3、向量夹角的定义夹角的定义 OA=a， OB=bbBbOAaa已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，ab二、讲授新课二、讲授新课则AOB称为向量a和向量b的夹角，记作 ,规定 0 注意注意: :在两向量的夹角定义中在两向量的夹角定义中, ,两两 向量必向量必须是同起点的须是同起点的, ,且且 = 记作记作OABabOABbaOABba与与 垂直，垂直，ba 与与 反向反向ba 与与 同向同向baba特殊情况特殊情况说说明明：零零向向量量与与任任意意向向量量垂垂直直( 1 )ba4040O( 2)ab60O(4)ab( 3) ab60O(6)ba( 5 )ba说出下列两个向量说出下列两个向量
4、和和 的夹角的大小的夹角的大小是多少？是多少？ba例例1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！a b =| a | b |cos OABba baa b | a | b |cos已知两个非零向量已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为它们的夹角为，我们把数我们把数量量 叫做叫做 a 与与 b 的数量积（或内积）的数量积（或内积），记作记作 ，文字描述文字描述数学表达式数学表达式2 2、数量积、数量积( (内积）的定义内积）的定义注意注意： “ ”不能省略不写，也不能写为
5、“”规定: 0 a=0 数量积数量积: a b =| a | b |cos a b表示数而不表示向量，其大小由| a | b | 和和 cos 共同决定共同决定 a, b 为非零向量时， a b的符号由 cos 决定决定例例2.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.练习:A 1题解：解： a b =|a|b|cos =54cos120 = 10.进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例3、)(且方向相反平行与,2CDAB,)(.603的夹角是与ADAB3.向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影 （1）概念：）概念： 已知向量已知向量a和轴和轴l，
6、作，作 =a，过点，过点O，A分别作轴分别作轴l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为O1，A1，则，则向量向量 叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的正射影上的正射影. OA1 1 O A（2）正射影的数量：）正射影的数量：例4.已知轴l（1）.向量OA=5, OA, l=60,求OA在上的正射影的数量OA1（2）.向量OB=5, OB,l =120,求OB在l上的正射影的数量OB1解：OA1=5COS600=5( )=5/2-5/2练习：练习：B 2题题1数量积数量积a b等于等于a的长度与的长度与b在在a方向上正方向上正射影的数量射影的数量|b|cos 的乘积的乘积.4 向量数量积的几何意义练习
7、B 1题2同学自己写同学自己写5 两个向量的数量积的性质：设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是单位向量是单位向量.1. e a = a e =|a|cos ;2. a b a b = 03. a a = |a|2或或4. cos = ；5.|a b| |a|.|b| .内积为零是判定两向量垂直的条件内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的模用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状*. 已知已知ABC中中, AB=a, AC=b, 当当 ab 0, ab =0时时, ABC各是什么三角形？各是什么三角形？当当a b0时，时， c
8、os 0，为钝角三角形为钝角三角形当当a b=0时，时，为直角三角形为直角三角形当当a b0时，时， cos 0，为钝角三角形为钝角三角形cos = 的应用的应用练习A 2题公公式式变变形形对功对功对功对功W=|W=|F|s|cosF|s|cos 结构分析结构分析结构分析结构分析抽抽抽抽象象象象特特殊殊化化五五条条五五条条重重要要性性质质重重要要性性质质数形数形结合结合几何几何意义意义平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义a a b=| a | | b | b=| a | | b | coscos 练习2 已知已知|a|，|b|，当，当ab，ab，a与
9、与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求abab时，时， ab =18；ab时，时，ab=0； a与与b的夹角是的夹角是60时，时，ab=9.练习练习3 3已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是(1)A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形DCA A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角三角形钝角三角形D D 不能确定不能确定判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.( )()( )()()()练习练习4 4
