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1、1 1椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算测绘工程系测绘工程系 2 2n n1.地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数4-14-1地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系椭圆的长半轴：椭圆的长半轴： a a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴： b b椭圆的扁率：椭圆的扁率： 五个基本几何参数五个基本几何参数 椭圆的第一偏心率：椭圆的第一偏心率： 椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率： a、b称为长度元素称为长度元素扁率反映了扁率反映了椭球体的扁椭球体的扁平程度平程度 e和和e反映椭球体反映椭球体的扁平程度，偏心的
2、扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁率越大，椭球愈扁 3 3n n决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a a或或或或b b）。）。）。）。n n为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以
3、下符号和两个辅助函数：注注 意意式中，式中，W W 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V V 第二基本纬度函数。第二基本纬度函数。4 40.00673949674220.00673949674227 70.0067395018190.0067395018194734730.0067385254140.006738525414683683e2e20.00669437990130.00669437990130.0066943849990.0066943849995885880.0066934216220.006693421622966966e2e21/298.2572235631/298.257
4、2235631/298.2571/298.2571/298.31/298.36399593.62586399593.62586399596.6519886399596.651988010501056399698.9017826399698.90178271107110c c6356752.31426356752.31426356755.2881576356755.288157528752876356863.0187736356863.01877304730473b b637813763781376378140637814063782456378245a aWGS-84WGS-84系椭球系椭球系
5、椭球系椭球19751975国际椭球国际椭球国际椭球国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球 我国所采用的的我国所采用的的19541954年北京坐标系应用的是克年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的拉索夫斯基椭球参数；以后采用的19801980国家大地坐国家大地坐标系应用的是标系应用的是19751975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPSGPS应用的是应用的是WGS-84WGS-84系椭球参数。系椭球参数。 5 54-24-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系大地坐标系、大地坐标系、空间直角坐标系空间直角坐标系（以上两
6、种是大地测量中两种基本坐标系）（以上两种是大地测量中两种基本坐标系）大地极坐标系大地极坐标系 6 61）大地坐标系）大地坐标系 P点的子午面点的子午面NPS与起始子与起始子午面午面NGS所构成的二面角所构成的二面角叫做叫做P点点大地经度大地经度，P点的点的法线法线Pn与赤道面的夹角与赤道面的夹角B叫叫P点的点的大地纬度大地纬度，P点的位点的位置用置用L、B表示表示 。P若若P点不在椭球面上，还要点不在椭球面上，还要一个参数：一个参数：大地高大地高H来表示来表示点位。它与正常高及正高的点位。它与正常高及正高的关系为：关系为：7 7 大地坐标系是大地测量的基本坐标系，具有如下的优点: (1)它是整
7、个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。 经纬线是地形图的基本线，所以在测图及制图中应用这种坐标系。 (2)它与同一点的天文坐标(天文经纬度)比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。8 82）空间直角坐标系）空间直角坐标系 以椭球中心以椭球中心O为原点，起为原点，起始子午面与赤道面交线为始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与轴，在赤道面上与X轴轴正交的方向为正交的方向为Y轴，椭球轴，椭球体的旋转轴为体的旋转轴为Z轴，构成轴，构成右手坐标系右手坐标系O-XYZ，在，在该坐标系中，该坐标系中，P点的位置点的位置用用X、Y、Z表示表示 9 93）大地极坐标系）大地极坐标系 M为椭圆体面
8、上任意为椭圆体面上任意一点，一点，MN为过为过M点的子点的子午线，午线，S为连结为连结MP的大的大地线长，地线长，A为大地线在为大地线在M点的大地方位角。以点的大地方位角。以M为极点、为极点、MN为极轴、为极轴、S为极径、为极径、A为极角，就构为极角，就构成了大地极坐标系。成了大地极坐标系。P点点位置用位置用S、A表示。表示。 椭球面上的极坐标（椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。10104）空间直角坐标系与大地坐标系的关系）空间直角坐标系与大地坐标系的关系 X XY Y当当P P点位于椭球面上
9、时：点位于椭球面上时：1111当当P P点不在椭球面上时：点不在椭球面上时：12121、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径M M M M小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径a a a aM M M M随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大M M M M等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径B=0B=0B=0B=0（在赤道处）（在赤道处）（在赤道处）（在赤道处）0 0 0 0B B B B90909090B=90B=90B=90B=90（在极点处）（在极点处）（在极点处）（在极点处）说说说说 明明明明M M M MB B B B4
10、.3椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径13132、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径 卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N=cN=cN=cN=cN N N N90909090=c=c=c=cB=90B=90B=90B=900 0 0 0N N N N随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大a a a aN N N Nc c c c0 0 0 00 0 0 0B90B90B90BR M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：，即： 由于由于R RA A的数值随方位的数
11、值随方位A A的变化而变化，给测量带来不便，在的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径-平均曲平均曲率半径率半径 就是过椭球面上一点的一切法截弧就是过椭球面上一点的一切法截弧(02(02），当其数目），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用曲率半径，用R R表示表示 。16164.4 椭球面上的弧长计算椭
12、球面上的弧长计算1.1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式17172.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标子午面直角坐标x：如果平行圈上有两点，其如果平行圈上有两点，其经经差差 ，可写出平行圈弧长公式：可写出平行圈弧长公式： 18183.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较1.1.30.9230.923 3 29.876 29.87626.80226.80221.90221.90215.50015.5008.0288.0280.0000.0001.1.3
13、6m36m1792.541792.541608.131608.131314.141314.14930.02930.02481.71481.710.000.00111321m111321m10755210755296488964887884878848558015580128902289020 030.71630.71630.73830.73830.79530.79530.87330.87330.95130.95131.00731.00731.02731.0271842.941842.941844.261844.261847.711847.711852.391852.391857.041857.
14、041860.421860.421861.601861.60110576m110576m1106561106561108631108631111431111431114231114231116251116251116961116960 01515303045456060757590901 11 1L=1L=11111平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长BB 单位纬差的子午线弧长随单位纬差的子午线弧长随B B的增大而缓慢地增大；而单位的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随经差的平行圈弧长则随B B的增大而急剧缩短。同时还知，子午的增大而急剧缩短
15、。同时还知，子午弧长弧长11约为约为110KM110KM，11约为约为1.8KM1.8KM，11约为约为30M30M；而平行圈；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B B的增大它的增大它们的差值愈来愈大。们的差值愈来愈大。19194.5 大地线大地线 1.相对法截线的概念相对法截线的概念 （1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的
16、）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。20202、大地线、大地线椭球面上两点间的最短曲线椭球面上两点间的最短曲线叫做叫做大地线大地线。大大地地线线是是椭椭球球面面上上两两点点间间唯唯一一最最短短线线，而而且且位位于于相相对对法法截截线线之之间间，并并靠靠近近正正法截线，它与法截线，它与正正法截线间的夹角为：法截线间的夹角为： 在一等三角测量中，在一等三角测量中，可达千分之四秒，可达
17、千分之四秒，可达千分之一二秒可达千分之一二秒 n n大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在
18、地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。算到相应大地线的方向、距离。算到相应大地线的方向、距离。算到相应大地线的方向、距离。21214.6 4.6 将地面观测值归算到椭球面将地面观测值归算到椭球面将水平方向归算至椭球面，将水平方向归算至椭球面，三差改正：三差改正：垂线偏差改正、垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为习惯上称此三项为。4.6.1 将地面
19、观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面2222垂线偏差改正的计算公式垂线偏差改正的计算公式 1）垂）垂线线偏差改正偏差改正 把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正垂线偏差改正。23232）标高差改正）标高差改正标高差改正：由照准点高度引起的改正标高差改正：由照准点高度引起的改正照准点大地纬度照准点大地纬度 测站点至照准点测站点至照准点的大地方位角的大地方位角 与照准点的纬度与照准点的纬度B B2 2对对应的子午圈曲率半径应的子午圈曲率半径 照准点
20、的觇标高照准点的觇标高 标高差改正主要与照准点的标高差改正主要与照准点的高程有关。高程有关。 24243 3）截面差改正）截面差改正将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正截面差改正 测站点大地纬度测站点大地纬度 与测站点的纬度与测站点的纬度B B1 1对应的对应的 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 截面差改正主要与测站点至照准点截面差改正主要与测站点至照准点间的距离间的距离S S有关。有关。25254 4）三差改正的计算）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：各等三角测量在归算时对取位的要求： 一等需算至一等需算至0.0010.001； 二
21、等为二等为0.010.01； 三等和四等为三等和四等为0.10.1。 在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在等和四等三角测量只有在 或或H2000mH2000m时，才分时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。 26261 1、基线尺量距高程对长度归算的影响：、基线尺量距高程对长度归算的影响：基线两端点平基线两端点平均大地高程均大地高程 基线方向法截基线方向法截线曲率半径线曲率半
22、径 将上式展开级数，取至二次项将上式展开级数，取至二次项 4.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面27272 2、电磁波测距的归算、电磁波测距的归算 前提：前提：1) 在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度；度；2) 两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小率半径的圆弧长相差也很微小(如当如当S=64
23、0KM时，之差等于时，之差等于0.3米；米；S=200KM时，之差等于时，之差等于0.005m)。由于工程测量中边长一般为几公里，。由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以认为是半径不计。因此所求的大地线长度可以认为是半径RA相应的圆弧长。相应的圆弧长。 2828由于控制点由于控制点之高差引起之高差引起的倾斜改正的倾斜改正的主项，经的主项，经过此项改正，过此项改正，测线已变成测线已变成平距。平距。由于平均测由于平均测线高出参考线高出参考椭球面而引椭球面而引起的投影改起的投影改正，经过此正，经过此项改正后，项改正后，测线已变为测线已变为弦线。弦线。是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的改正项。改正项。简化后：简化后：
