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1、统计物理学基础一、基本概念:热力学系统、外界、宏观量、微观量、平衡态、状态参量、状态方程二、宏观量和微观量的关系:理想气体的微观模型,理想气体的压强,温度的微观意义三、能量均分定理,内能:分子的自由度,能量均分定理,理想气体的内能统计物理学基础四、微观态的描述概率、等概率原理、微观态的描述、三种统计规律1.麦克斯韦-玻尔兹曼分布(M-B分布)2.费米-狄拉克分布(F-D分布)3. 玻色-爱因斯坦分布(B-E分布)4.经典极限:五、麦克斯韦分子速率分布vv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1vpvo f (v)1. 物理意义2.三种速率:(1).最概然速率:(2).平均速率:(3)
2、.方均根速率:3.重力场中粒子的分布:六、分子碰撞的统计规律1.平均碰撞频率:2.平均自由程:例题1、设系统由两个近独立的粒子组成,它们的单粒子量子态 有三个,试就这个系统是玻耳兹曼系统,玻色系统和费 米系统的情形,分别列出并讨论系统有哪些微观态。解:(1)玻耳兹曼系统:粒子可分辨。微观态有9个。(2)玻色系统,粒子不可分辨,且每一个量子态上的粒子数不受限制,故微观态有 6个。(3)费米系统,粒子不可分辨,且每一个量子态最多容纳一个粒子,微观态数有3个。例题2、设粒子的能级i为1=0,2=,3=2,并且都是非简 并的。试分析由4个这样的粒子所组成的近独立粒子系, 当系统的能量E=2时,粒子按能
3、级的分布及其相应的微观 态数。假设系统是玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统。解:分布:N1=3,N2=0,N3=1,Ni=0(i4)N1=2,N2=2,Ni=0(i3)(1)(2)(3)费米系统不可能实现这种分布例题3、假想的气体分子,其速率分布如图所示。当 v 5v0 时分子 数为零。试求(1)根据N和 v0 ,表示常数 a 的值;(2)速 率在 2v0 到 3v0 间隔内的分子数;(3)分子的平均速率。Nf(v)v0v02v03v04v05v0a2a3a解:(1)速率分布可表示为:由归一化条件可得:(3)分子的平均速率为(2)速率分布在2v0到3v0间隔内的分子数N为附1、已知一定量的某种理
4、想气体,在温度T1与T2时的分子最概 然速率分别为Vp1和Vp2,分子速率分布函数的最大值分别为 f(Vp1)和f(Vp2)。若T1T2则附2、图示的两条曲线分别表示氦,氧两种气体在相同温度 T 时 分子按速率的分布。问(1)1,2分别表示哪种气体分子的 速率分布曲线?(2)画有斜线的小长条面积表示什么? (3)分布曲线下所包围的面积表示什么?解:(1)1是氧,2是氦(2)速率在vv+v范围内的分 子数占总分子数的百分率(3)速率在0整个速率区间 内的分子数的百分率总和例题4、根据麦克斯韦速率分布率,试求: (1)平均动能( mV2 /2 )介于 +d之间的分子数率; (2)平均动能的最概然值
5、 P .解:(1)根据麦克斯韦速率分布率,速率介于vv+dv之间的分子数占分子数的比率为:(2)最概然速率所对应的平均动能为:例题5、半径为R的球型容器里贮有分子有效直径为d的气体,求容 器中最多可容纳多少个分子,才能使分子之间不至相碰。解:为使气体分子之间不相碰,则必须使分子的平均自由程 不小于容器的直径,必须满足:附3、一定量的理想气体,经等压过程从体积V0膨胀到2V0,求: (1)平均自由程之比;(2)平均速率之比;(3)平均动能之比。解:(1)(2)(3)例题6、已知尘埃的质量m=10-21kg,漂浮在空气中。试求尘埃浓 度改变不大于1%的空气层的厚度。(设空气的温度均匀, T=300
6、K)解:根据玻耳兹曼分布律,在重力场中分子数密度按高度的分 布为“-”表明随高度增加(dz0),尘埃浓度减少(dn0)附4、拉萨海拔约为3600m,气温为273K,忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为1.013105Pa时,试求(1)拉萨的 大气压强;(2)若某人在海平面上每分钟呼吸17次,他在 拉萨应呼吸多少次才能吸入同样质量的空气?(空气的摩 尔质量为M=2910-3kg/mol)解:(1)(2)设某人每次呼吸吸入的空气容积为V0 ,例题7、一容器内某理想气体的温度为T=273K,压强为 p=1.013105Pa,密度为=1.25g/m3,试求(1)气体分子 运动的方均根速率;(2)
7、气体分子的摩尔质量;(3)气 体分子的平均平动动能和转动动能;(4)单位体积内气 体分子的总平动动能;(5)设该气体有0.3mol,气体的 内能?(气体为双原子分子)解:(1)(2)(3)(4)(5)附5、容器内有11kg的二氧化碳和2kg的氢气,已知混合气体的 内能是8.1106J,求(1)混合气体的温度;(2)两种气体分子 的平均动能。解:(1)(2)例题8、有210-3m3刚性双原子分子理想气体,其内能为 6.75102 J(1)求气体的压强(2)设分子总数为 5.41022J.K-1,求分子的平均平动动能及气体的温度。解:(1)设分子数为N由例题9、若某种理想气体分子的方均根速率为45
8、0ms-1,气体的压强为 7104Pa,则该气体的密度为多少?解:例例2 2:已知某气体在温度:已知某气体在温度T T时的速率分布函数为时的速率分布函数为 , 说明下列各表达式的意义说明下列各表达式的意义 (1)(1) (2) (2) (3)(3) (4) (4) (2) (2) 表示在表示在 间隔的分子间隔的分子 (3) (3) 表示某气体分子的速率在表示某气体分子的速率在 间隔内的间隔内的 概率。或者说,速率在概率。或者说,速率在 间隔内的分子数占总分间隔内的分子数占总分 子数的百分比。子数的百分比。 (4) (4) 表示在表示在 间隔内的分子数。间隔内的分子数。解:速率分布函数解:速率分布函数 的物理意义为:气体分子的速率处的物理意义为:气体分子的速率处 于于 附近单位速率区间的概率附近单位速率区间的概率 (1) (1) 表示某气体分子的速率在表示某气体分子的速率在 间隔内的间隔内的 概率。或者说,速率在概率。或者说,速率在 间隔内的分子数占总间隔内的分子数占总 分子数的百分比。分子数的百分比。