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1、1第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 1.4 复变函数复变函数一、一、基本概念基本概念二、二、图形表示图形表示三三、极限极限四四、连续连续2第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 一、一、基本概念基本概念 在以后的讨论中，在以后的讨论中，D 常常是一个平面常常是一个平面区域区域，称之为，称之为定义域定义域。按照一定法则，有确定的按照一定法则，有确定的复数复数 w 与它对应，与它对应，一般情形下，一般情形下，所讨论的所讨论的“函数函数”都是指单值函数。都是指单值函数。上定义一个上定义一个复变函数复变函数，记作，记作定义定义 设设 D 是复平面上的一个点集，对于是复平面上的一个点集，对于
2、D 中任意的一点中任意的一点 ，z对每个对每个 有唯一的有唯一的 w 与它对应；与它对应； 单值函数单值函数比如比如 多值函数多值函数 对每个对每个 有多个有多个 w 与它对应；与它对应；比如比如则称在则称在 D3第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 一、一、基本概念基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析分析则则 可以写成可以写成设设 其中，其中， 与与 为实值二元函数。为实值二元函数。分开上式的实部与虚部得到分开上式的实部与虚部得到4第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 分开实部与虚部即得分开实部与虚部即得代入代入 得得解解 记记 P2
3、1 例例1.13 5第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 G GG二、二、图形表示图形表示C映射映射 复变函数复变函数 在几何上被看作是把在几何上被看作是把 z 平面上的一个平面上的一个平面平面z平面平面w点集点集 变到变到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 的的映射映射( (或者或者变换变换) )。其中，点集其中，点集 称为称为像像，点集，点集 称为称为原像原像。 函数函数、映射映射以及以及变换变换可视为同一个概念。可视为同一个概念。( (分析分析) )( (几何几何) )( (代数代数) )Dzxywuv6第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 二、二、图形表示图形表示反函数与逆
4、映射反函数与逆映射双方单值与一一映射双方单值与一一映射为为 w 平面上的点集平面上的点集 G，设函数设函数 的的定义域定义域为为 z 平面上的点集平面上的点集 D，值域值域的一个的一个( (或几个或几个) )点点 z，一个函数一个函数它称为函数它称为函数 的的反函数反函数，也称，也称为映射为映射 的的逆映射逆映射。若若映射映射 与它的逆映射与它的逆映射 都是单值的，都是单值的，则称映射则称映射 是是双方单值的双方单值的或者或者一一映射一一映射。则则 G 中的每个点中的每个点 w 必将对应着必将对应着 D 中中按照函数的定义，在按照函数的定义，在 G 上就确定了上就确定了7第一章 复数与复变函数
5、 1.4 复变函数 解解 (1) 点点 对应的像对应的像( (点点) )为为 (2) 区域区域 D 可改写为：可改写为：令令则则可得区域可得区域 D 的像的像( (区域区域) )G 满足满足即即P22 8第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 函数函数 对应于两个二元实变函数对应于两个二元实变函数例例因此，它把因此，它把 z 平面上的两族平面上的两族双曲线双曲线分别映射成分别映射成 w 平平面面上的两族平行直线上的两族平行直线xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c209第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 三三
6、、极限极限定义定义 设函数设函数 在在 的的去心邻域去心邻域 内有定义内有定义 ,若存在复数若存在复数使得使得当当 时，时，有有记作记作或或注注 (1) 函数函数 在在 点可以无定义；点可以无定义；(2) 趋向于趋向于 的方式是任意的。的方式是任意的。则称则称 A 为函数为函数 当当 z 趋向于趋向于 z0 时的时的极限极限， P23定义定义 1.1 10第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 xyz0d d几何意义几何意义三三、极限极限它的像点它的像点 就落在就落在 A 的预先给定的的预先给定的 e e 邻域内。邻域内。uvAe e 当变点当变点 一旦进入一旦进入 的充分小的的充分小的 d
7、 d 邻域时邻域时,z0zf (z)z11第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 性质性质 如果如果则则三三、极限极限12第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 定理定理三三、极限极限设设证明证明如果如果则则当当时，时，则则必要性必要性 “ ” P23定理定理 1.1 ( (跳过跳过?)?)13第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 证明证明 充分性充分性 “ ”则则当当 时，时，如果如果定理定理 设设三三、极限极限则则14第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 三三、极限极限 关于含关于含 的极限作如下规定：的极限作如下规定：(3) 所所关心的两个问题关心的两个问题：(1) 如何证明
8、极限存在？如何证明极限存在？(2) 如何证明极限不存在？如何证明极限不存在？ 选择选择不同的路径不同的路径进行攻击进行攻击。放大技巧放大技巧 。(1)(2)15第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 xy讨论函数讨论函数 在在 的极限。的极限。例例当当 时，时，当当 时，时，因此极限不存在。因此极限不存在。解解 方法一方法一 P24 例例1.15 16第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 解解当当 时，时，当当 时，时，因此极限不存在。因此极限不存在。方法二方法二xy方法三方法三沿着射线沿着射线与与 有关，因此极限不存在。有关，因此极限不存在。讨论函数讨论函数 在在 的极限。的极限。例例
9、xy17第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 四四、连续连续定义定义则称则称 在在 点点连续连续。若若z0若若 在区域在区域 D 内处处连续，则称内处处连续，则称 在在 D 内内连续连续。注注 (1) 连续连续的三个要素：的三个要素：存在；存在；存在；存在；相等。相等。(2) 连续连续的等价表示：的等价表示：其中，其中，(3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。通常说：通常说：当自变量充分靠近时，函数值充分靠近当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。 P24定义定义 1.2 18第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 性质性质四四、连
10、续连续(1) 在在 连续的两个函数连续的两个函数 与与 的和、差、积、的和、差、积、商商( (分母在分母在 不为零不为零) )在在 处连续。处连续。z0z0z0(2) 如果函数如果函数 在在 处连续，函数处连续，函数 在在连续，则函数连续，则函数 在在 处连续。处连续。z0z0( (由由基本初等函数基本初等函数的连续性可得的连续性可得初等函数初等函数的连续性的连续性) )(3) 如果函数如果函数 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续，则上连续，则 P2619第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 证证 ( (略略) ) 例例 证明证明在复平面上除去原点在复平面上除去原点和负实轴的区域上连续。和负实轴的区域上连续。讨论函数讨论函数 的连续性。的连续性。例例( (当当 时时) )故函数故函数 处处连续。处处连续。解解yxe ez0d d P25 例例1.16 20第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 证明证明 ( (略略) )例如例如函数函数 在复平面内除原点外在复平面内除原点外是处处连续的。是处处连续的。 因为因为 除原点外是处处连续的，除原点外是处处连续的，而而 是处处连续的。是处处连续的。 P25定理定理 1.2 四四、连续连续21第一章 复数与复变函数 1.4 复变函数 轻松一下吧
