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1、模糊数学绪论模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如模糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等等。等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。 1年轻
2、、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象模糊数学模糊数学研究和揭示模糊现象的研究和揭示模糊现象的定量处理方法。定量处理方法。 模糊数学绪论模糊数学绪论2产生产生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）扎德） 发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control
3、, 8, 338-353 )基本思想基本思想用用属于程度属于程度代替属于或不属于。代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于另一个人属于秃子的程度为秃子的程度为0.3等等.模糊数学绪论模糊数学绪论3模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空
4、调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊数学绪论4模糊数学绪论模糊数学绪论 课堂主要内容课堂主要内容一、基本概念一、基本概念二、主要应用二、主要应用1. 模糊聚类分析模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性值，颜
5、色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。状，对土壤进行分类。52.模糊模式识别模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。一类模型。模糊数学绪论模糊数学绪论例如：苹果分级问题例如：苹果分级问题苹果，有苹果，有I级，级，II级，级，III级，级，IV级级四个等级。四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。63.模糊综合评判模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课
6、进行评价例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面四方面给出给出很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好四层次的评价四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解解称为原问题的模糊最优解7模糊数学模糊数学一一模糊集合及其运算模糊集合及
7、其运算二二二二模糊聚类分析模糊聚类分析三三模糊模式识别模糊模式识别四四模糊综合评判模糊综合评判五五模糊线性规划模糊线性规划8一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算9. uAA. u模糊集合及其运算模糊集合及其运算10在论域在论域
8、U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中模糊集合及其运算模糊集合及其运算非此即彼非此即彼函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。Ac c11模糊集合及其运算模糊集合及其运算亦此亦彼亦此亦彼 UA模糊集合模糊集合 , 元素元素 x若若 x 位于位于 A 的内部，的内部， 则用则用1来记录，来记录，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部， 则用则用0来记录，来记录，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的内部，一部分位于的内部，一部分位于 A 的外部，的外部， 则用则用 x
9、位于位于 A 内部的长度来表示内部的长度来表示 x 对于对于 A 的隶属程度。的隶属程度。12 0, 1 0, 1 特征函数特征函数 隶属函数隶属函数 二、模糊子集二、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射 确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数， 称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。13模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算越接近于越接近于0, 表示表示
10、 x 隶属于隶属于A 的程度越小；的程度越小； 越接近于越接近于1, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越大；的程度越大； 0.5, 最具有模糊性，过渡点最具有模糊性，过渡点 14模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算15（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集
11、表示为：模糊集合及其运算模糊集合及其运算16例例1. 有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品 评价，评价，结果为：结果为：81人认为人认为x1 质量好，质量好，53人认为人认为x2 质量好，质量好，所有人认为所有人认为x3 质量好，没有人认为质量好，没有人认为x4 质量好，质量好，24人人认为认为x5 质量好质量好则模糊集则模糊集A（质量好）（质量好）17 例例2：考虑年龄集：考虑年龄集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一也是一个年龄集，个年龄集，u = 20 A，40 呢？呢？札德给出了札德给出了 “ “年老年老” ” 集函数刻画集函数刻画: :1819则模糊集则模糊集O（年
12、老）（年老）则模糊集则模糊集Y（年轻）（年轻）202、模糊集的运算、模糊集的运算 定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义 相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余： 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。模糊集合及其运算模糊集合及其运算21模糊集合及其运算模糊集合及其运算并交余计算的性质并交余计算的性质 1. 幂等律幂等律 2. 交换律交换律 3. 结合律结合律 4. 吸收律吸收律 23模糊集合及其运算模糊集合及其运算6. 0-1律律 7. 还原律还原律 8. 对偶律对偶律 5. 分配律分配律 24引入概率算子和有界算子：引入概率算子和有界算子：
13、定义：定义： 称称 、 + 为为概率算子概率算子，对，对 a,b 0,1,有：有：a b=aba+b=a+b-ab由定义可知，如由定义可知，如a,b 0,1,则则a b 0,1, a+b 0,1。25引入概率算子和有界算子：引入概率算子和有界算子：定义：定义： 设A,B F(U),则定义代数运算：(1)A与与B的的代数积代数积记作记作A B，运算规则，运算规则由下式确定：由下式确定： A B(u)= A(u) B(u) u U A + B(u)= A(u)+ B(u)- - A(u) B(u) u U(2)A与与B的的代数和代数和记作记作A + B，运算规则，运算规则由下式确定：由下式确定：2
14、6定义：定义：称 、为有界算子，对a,b0,1,有：a b= max(0,a+b-1)a b= min(1,a+b)可以证明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1定义定义10 :设A,B F(U),则定义有界运算：(1)A与B的有界积记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)=max (0, A(u)+B(u) -1) u U(2)A与B的有界和记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U27几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子 （2）取大、乘积算子）取大、乘积算子 （3）环和、乘积
15、算子）环和、乘积算子 模糊集合及其运算模糊集合及其运算28（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子 （5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子 （6）Einstain算子算子 模糊集合及其运算模糊集合及其运算29三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，制约着制约着 的运动。的运动。 可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖致使致使 对对A的隶
16、属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。模糊集合及其运算模糊集合及其运算30特点：在各次试验中，特点：在各次试验中， 是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算31模糊集合及其运算模糊集合及其运算对对129人进行调查人进行调查, 让他们给出让他们给出“青年人青年人”的年龄区间，的年龄区间，18-25 17-30 17-28 18-25 16-3514-25 18-30
17、 18-35 18-35 16-2515-30 18-35 17-30 18-25 18-3515-30 18-30 17-25 18-29 18-28问年龄问年龄 27属于模糊集属于模糊集A（青年人）的隶属度。（青年人）的隶属度。32对年龄对年龄27作出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(27) = 0.78(变动的圈是否盖住不动的点变动的圈是否盖住不动的点)n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101 隶属频率0.780.760.760
18、.750.790.78 332、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算 一般会有一些大致的选择方向：一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，偏大型，偏小型，中间型。中间型。例如：例如：在论域在论域 中，确定中，确定A=“靠近靠近5的的数数”的隶属函数的隶属函数中间型中间型34模糊集合及其运算模糊集合及其运算可以选取
19、柯西分布中间类型的隶属函数可以选取柯西分布中间类型的隶属函数先确定一个简单的，比如先确定一个简单的，比如此时有此时有不太合理，故改变不太合理，故改变35模糊集合及其运算模糊集合及其运算取取此时有此时有有所改善。有所改善。36常用的模糊分布3738(1) 偏大型 (S 型) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图3.7） 2）升半 分布 （图3.8） 3）升半正态分布 （图3.9） 4）升半柯西分布（图3.10） 5）升半梯形分布（图3.11） 6）升岭形分布 （图3.12）39(2) 偏小型 ( Z型 ) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大
20、而减小，随所选函数的形式又可分为： 1）降半矩形分布（图3.13） 2）降半 分布 （图3.14） 3）降半正态分布（图3.15） 4）降半柯西分布（图3.16） 5）降半梯形分布（图3.17） 6）降岭形分布 （图3.18）40(3) 中间型 ( 型) ：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在 (a，+ ) 为偏小型，所以称为中间型，随所选函数的形式又可分为: 1）矩形分布 （图3.19） 2）尖 分布 （图3.20） 3）正态分布 （图3.21） 4）柯西分布 （图3.22） 5）梯形分布 （图3.23） 6）岭形分布 （图3.24）41 (1) 偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随
21、 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩形分布（图3.7）10axA(x)422）升半 分布（图3.8）10axA(x)a+1/k图图 3.8433 3）升半正态分布（图3.9）10axA(x)图图 3.9444 4）升半柯西分布（图3.10）10axA(x)图图 3.10455）升半梯形分布（图3.11）10a1xA(x)a2图图 3.11466）升岭形分布（图3.12）10a1xA(x)a2图图 3.12(a1+a2)/247(2) 偏小型 (Z 型 )：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，又可分为：1）降半矩形分布（图3.13） 01axA(x)图图 3.13 降半
22、矩形分布降半矩形分布482）降半 分布（图 3.14）01a a+1/kxA(x)图图 3.14 降半降半分布分布493）降半正态分布（图3.15） 01axA(x)图图 3.15 降半正态分布降半正态分布504）降半柯西分布（图3.16） A(x)01ax图图3.16 降半柯西分布降半柯西分布515）降半梯形分布（图3.17） A(x)01a1xa2526）降岭形分布（图3.18）01/21a1a2xA(x)53(3) 中间型（ 型）：这种类型的隶属函数在 ( ，a) 上为偏大型，在 (a, + ) 为偏小型，所以称为中间型，又可分为:1）矩形分布（图 3.19）01A(x)a-baa+bx
23、542）尖 分布（图3.20） 01A(x)a-1/kaa+1/kx553）正态分布（图 3.21） 0ax1A(x)564）柯西分布（图 3.22） 0ax1A(x)返回返回575）梯形分布（图3.23） 01A(x)a-a1aa+a2xa-a2a+a1586）岭形分布（图 3.24）01A(x)a1a2-a1-a2x593、其它方法、其它方法 德尔菲法：德尔菲法：专家评分法专家评分法；二元对比排序法：二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比
24、平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合及其运算相对比较法：相对比较法： 论域论域U中元素中元素v1, v2, vn ，要对论域中的元素按某，要对论域中的元素按某种特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，种特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于该特性的隶属函数。该特性的隶属函数。60相对比较法的具体步骤：相对比较法的具体步骤： 设论域设论域U中的一对元素中的一对元素(v1, v2), 在在v1和和v2的二元对比中的二元对比中,v1具有某特征的程度用具有某特征
25、的程度用gv2(v1)表示，表示，v2具有某特征的具有某特征的程度用程度用gv1(v2)表示。表示。且满足：且满足： 0 gv2(v1) 1 、 0 gv1(v2) 1 令：且定义且定义g(vi /vj ) =1，当，当i=j时。时。61以以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造为元素构造相及矩阵相及矩阵G: 推广：推广： n个元素个元素 的相及矩阵的相及矩阵G:62 对矩阵对矩阵G的每一行取最小值，然后按大小排序，的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素对某特征的隶属函数。可得各元素对某特征的隶属函数。例：例： 设论域设论域U= v1,v2,v3,v0,其中其中v1表示长
26、子，表示长子，v2表示次子，表示次子，v3表示三子，表示三子，v0表示父亲。表示父亲。长子和次子与父亲长子和次子与父亲次子和三子与父亲次子和三子与父亲长子和三子与父亲长子和三子与父亲长子：长子：0.8次子：次子：0.5次子：次子：0.4三子：三子：0.7长子：长子：0.5次子：次子：0.3求与父亲相似的隶属度函数。求与父亲相似的隶属度函数。63解：二元对比关系：解：二元对比关系：( gv2(v1) , gv1(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1 ( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7），），gv2(v2)=1 ( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.
27、3），），gv3(v3)=1 64计算相及矩阵计算相及矩阵G,=在相及矩阵中取每一行的最小值，按大在相及矩阵中取每一行的最小值，按大小排列：小排列：13/54/7结论：长子最象父亲结论：长子最象父亲(1)；三子次之；三子次之(0.6)；次子；次子最不象最不象(0.57)。由此确定出隶属度函数：由此确定出隶属度函数：65模糊集合及其运算模糊集合及其运算四、模糊矩阵四、模糊矩阵 定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，称称R为为模糊单位矩阵模糊
28、单位矩阵。例如：例如：66（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算 定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义 相等：相等：包含：包含：模糊集合及其运算模糊集合及其运算并：并：交：交：余：余：67（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵 为为A与与B的的合成合成，其中，其中 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算即：即：定义：定义： 设设A为为 阶，则模糊方阵的幂定义为阶，则模糊方阵的幂定义为 69例例5：模糊集合及其运算模糊集合及其运算70（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的转置矩阵，其中转置矩阵，其中
29、。模糊集合及其运算模糊集合及其运算性质：性质：71（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中显然，截矩阵为显然，截矩阵为Boole矩阵。矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算72例例6：模糊集合及其运算模糊集合及其运算73截矩阵的性质：截矩阵的性质：性质性质1.性质性质2.性质性质3.性质性质4.模糊集合及其运算模糊集合及其运算74（5）特殊的模糊矩阵）特殊的模糊矩阵定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为为自反矩阵自反矩阵。例如例如是模糊自反矩阵。是模糊自反矩阵。定义：定义：若模糊方阵满足
30、若模糊方阵满足则称则称A为为对称矩阵对称矩阵。例如例如是模糊对称矩阵。是模糊对称矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算75模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为模糊为模糊传递矩阵传递矩阵。例如例如是模糊传递矩阵。是模糊传递矩阵。76模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：定义：若模糊方阵若模糊方阵Q，S，A满足满足则称则称 S 为为 A 的的传递闭包传递闭包，记为记为 t (A)。7778模糊聚类分析模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理79模糊聚类分析模糊聚类分析定理：定理：R是是n阶模糊等价矩阵阶模糊等价矩阵是等是等价的价的Boole矩
31、阵。矩阵。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当系是可以分类的。因此，当在在0,1上变动时，上变动时，由由 得到不同的分类。得到不同的分类。80模糊聚类分析模糊聚类分析81例例6：设对于模糊等价矩阵设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析82模糊聚类分析模糊聚类分析画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.80.60.50.4183模糊聚类分析模糊聚类分析84例例7：设有模糊相似矩阵：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析85二、模糊
32、聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析86（1）标准差标准化）标准差标准化模糊聚类分析模糊聚类分析87（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值规格化其中：其中：模糊聚类分析模糊聚类分析88、建立模糊相似矩阵（标定）、建立模糊相似矩阵（标定）（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法模糊聚类分析模糊聚类分析89（2）距离法）距离法Hamming距离距离Euclid距离距离Chebyshev距离距离模糊聚类分析模糊聚类分析90（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小
33、法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法模糊聚类分析模糊聚类分析913 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包法步骤：步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析（2）boole矩阵法（略）矩阵法（略）92（3）直接聚类法）直接聚类法模糊聚类分析模糊聚类分析取取作相似类作相似类当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。 取取找出找出的元素对的元素对将对应于将对应于 的等价分类中的等价分类中 所在类与所在类与 所在类合并，所在类合并，所有情况合并后得到相应于所有情况合并后得到相应于 的等价分类。的等价分类。
34、 依次类推，直到合并到依次类推，直到合并到U U成为一类为止。成为一类为止。（4）最大树法）最大树法（5）编网法）编网法93模糊聚类分析模糊聚类分析94解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为采用采用最大值规格化最大值规格化法将数据规格化为法将数据规格化为模糊聚类分析模糊聚类分析95用用最大最小法最大最小法构造构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到模糊聚类分析模糊聚类分析96用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包97取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析98取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析99取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析100画出动态聚类
35、图如下：画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531模糊聚类分析模糊聚类分析101若利用直接聚类法若利用直接聚类法模糊相似矩阵模糊相似矩阵取取1, 此时此时 为单位矩阵，故分类自然为为单位矩阵，故分类自然为 x1，x2，x3，x4，x5。取取0.70, 此时此时102故分类应为故分类应为x1， x3， x2, x4，x5。x2, x4为相似类为相似类取取0.63, 此时此时x2, x4， x1, x4为相似类，为相似类，有公共元素有公共元素x4的相似类为的相似类为 x1, x2, x4故分类应为故分类应为x1 , x2, x4， x3， x5。103取取0.62, 此时此时x2, x4
36、, x1, x4, x1, x3为相似类，为相似类，有公共元素有公共元素x4的相似类为的相似类为 x1, x2, x3,x4故分类应为故分类应为x1, x2, x3,x4， x5。104取取0.53, 此时此时故分类应为故分类应为x1, x2, x3, x4 , x5 。105模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN1064 4、最佳阈值的确定、最佳阈值的确定模糊聚类分析模糊聚类分析（1） 按实际需要，调整按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。的值，或者是专家给值。（2） 用用 F - - 统计量统计量确定最佳确定最佳值值。针对原始矩阵针对原始矩阵 X，得到，得到其中，其中，设对应
37、于设对应于 的分类数为的分类数为 r , 第第 j 类的样本数为类的样本数为 nj ,第第 j 类的样本记为：类的样本记为：107则第则第j类的聚类中心为向量：类的聚类中心为向量：其中，其中， 为第为第k个特征的平均值个特征的平均值作作F - - 统计量统计量模糊聚类分析模糊聚类分析108模糊聚类分析模糊聚类分析若是若是则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著若满足不等式的若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察值不止一个，则可进一步考察差值差值 的大小，从较大者中选择一个即可。的大小，从较大者中选择一个即可。其中其中109110模糊模式识别模糊模
38、式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。111 模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型数学形式化
39、了的类型)的的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。模糊模式识别模糊模式识别112 在在科科学学分分析析与与决决策策中中，我我们们往往往往需需要要将将搜搜集集到到的的历历史史资资料料归归纳纳整整理理，分分成成若若干干类类型型，以以便便使使用用管管理理。当当我我们们取取到到一一个个新新的的样样本本时时，把把它它归归于于哪哪一一类类呢呢？或或者者它它是是不不是是一一个
40、个新新的的类类型型呢呢？这这就就是是所所谓谓的的模模式式识识别别问问题题。在在经经济济分分析析，预预测测与与决决策策中中，在在知知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本本节节介介绍绍两两类类模模式式识识别别的的模模糊糊方方法法。一一类类是是元元素素对对标标准准模模糊糊集集的的识识别别问问题题 点点对对集集；另另一一类类是模糊集对标准模糊集的识别问题是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集集对集。模糊模式识别模糊模式识别113例例1. 苹果的分级问题苹果的分级问题 设论域设论域 X = 若干苹果若干苹果。苹果被摘下来。苹果被摘下来后要分级。一般
41、按照苹果的大小、色泽、有无损后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为型库规定为 = 级，级，级，级，级，级，级级，显，显然，模型然，模型级，级，级，级，级，级，级是模糊的。当级是模糊的。当果农拿到一个苹果果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。集的识别问题。模糊模式识别模糊模式识别114例例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过
42、程。设论域别过程。设论域 X = 各种疾病的症候各种疾病的症候 (称为症称为症候群空间候群空间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，心脏病，胃溃疡，感冒，感冒，显然，这些模型，显然，这些模型(疾病疾病)都是模糊的。病都是模糊的。病人向医生诉说症状人向医生诉说症状(也是模糊的也是模糊的)，由医生将病人的，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集
43、的识别问题识别问题.模糊模式识别模糊模式识别115点对集点对集1. 问题的数学模型问题的数学模型 (1) 第一类模型第一类模型：设在论域设在论域 X 上有若干模糊集：上有若干模糊集：A1，A2，An F ( X )，将这些模糊集视为将这些模糊集视为 n 个标准模式，个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ? (2) 第二类模型：第二类模型：设设 A F ( X )为标准模式为标准模式，x1, x2, , xn X 为为 n 个待选择的对象，问最优录选对象个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个是哪一
44、个 xi (i =1，2， n ) ?模糊模式识别模糊模式识别116一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别117按最大隶属原则，按最大隶属原则，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊模式识别模糊模式识别118例：例：考虑通货膨胀问题。设论域为考虑通货膨胀问题。设论域为 R+ = x R| x0，它表它表示价格指数的集合，将通货状态分成示价格指数的集合，将通货状态分成 5 个类型（个类型（x 表示物价表示物价上涨上涨 x %)：通货稳定通货稳定轻度通货膨胀轻度通货膨胀模糊模式识别模糊模式识别119中度通货膨胀中度通货膨胀重度通货
45、膨胀重度通货膨胀恶性通货膨胀恶性通货膨胀模糊模式识别模糊模式识别120 当当 x0 = 8 时，即物价上涨率为时，即物价上涨率为 8 %，我们有：，我们有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。此时，通货状态属于轻度通货膨胀。此时，通货状态属于轻度通货膨胀。模糊模式识别模糊模式识别 当当 x0 = 40 时，即物价上涨率为时，即物价上涨率为40 %，我们有：，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0
46、.6412。此时，通货状态属于恶性通货膨胀。此时，通货状态属于恶性通货膨胀。121一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别122例例 细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别别, ,而几何图形常常化为若干个三角图形而几何图形常常化为若干个三角图形, ,故设论域为三故设论域为三角形全体角形全体. .即即X = (A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库标准模型库=E(正三角形正三角形),R(直角三角形直角三角形),
47、 I(等腰等腰三角形三角形),IR(等腰直角三角形等腰直角三角形),T(任意三角形任意三角形). 某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为三个内角分别为94,50,36,94,50,36,即待识别对象为即待识别对象为x x0 0=(94,50,36).=(94,50,36).问问x x0 0应隶属于哪一种三角形？应隶属于哪一种三角形？123先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数. 直角三角形直角三角形的隶属函数的隶属函数R(A,B,C)应满足条件：应满足条件： (1) 当当A=90时时, R(A
48、,B,C)=1; (2) 当当A=180时时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1. 因此，不妨定义因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - - |A - - 90|/90. 则则R(x0)=0.955. 124正三角形正三角形的隶属函数的隶属函数E(A,B,C)应满足：应满足：(1) 当当A = B = C = 60时时, E(A,B,C )=1;(2) 当当A = 180, B = C = 0时时, E(A,B,C)=0;(3) 0E(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180. 则则E(x0) =0.677. 125
49、等腰三角形等腰三角形的隶属函数的隶属函数I(A,B,C)应满足：应满足：(1) 当当A = B 或者或者 B = C时时, I(A,B,C )=1;(2) 当当A = 180, B = 60, C = 0时时, I(A,B,C ) = 0;(3) 0I(A,B,C )1. 因此，不妨定义因此，不妨定义I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 则则I(x0) =0.766. 126等腰直角三角形等腰直角三角形的隶属函数的隶属函数(IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);(IR) (x0) = 0.7660.955=0.766.任意三角形任意三角形的隶属函数的
50、隶属函数T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算通过以上计算,R(x0) = 0.955最大最大,所以所以x0应隶属于直角应隶属于直角三角形三角形.127例例 选择优秀考生。设考试的科目有六门选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治政治 x2：语文语文 x3：数学数学x4：理、化理、化 x5：史、地史、地 x6：外语外语考生为考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设设 A = “优秀优秀”，是，是 Y 上的模糊上的模糊集，集，
51、A(yi) 是第是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下：的计算方法如下：模糊模式识别模糊模式识别128式中式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考是考试科目的编号，试科目的编号， j 是第是第 j 个考试科目的权重系数。个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶，就可根据计算出的各考生隶属于属于“优秀优秀”的程度（隶属度）来排序。的程度（隶属度）来排序。 例如若令例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有有 四个考生四个
52、考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表其考试成绩分别如表 3.4模糊模式识别模糊模式识别129表 3.4 考生成绩表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式识别模糊模式识别130则可以计算出则可以计算出于是这四个考生在于是这四个考生在“优秀优秀”模糊集中的排序为：模糊集中的排序为：y2, y4, y1, y3.模糊模式识别模糊模式识别131阈值原则：阈值原则：模糊模式识别模糊模式识别有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论
53、域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型）论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选，也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：则，该原则的数学描述如下：132模糊模式识别模糊模式识别133例例 设有三个三角形的模糊集：设有三个三角形的模糊集：I 表示表示“近
54、似等腰近似等腰三角形三角形”，R 表示表示“近似直角三角形近似直角三角形”，E 表示表示“近似正三角形近似正三角形”，它们是论域，它们是论域 X= (A, B, C) | A + B + C =180, A B C 0 上的模糊集，其上的模糊集，其隶属函数规定如下：隶属函数规定如下：134容易验证，当容易验证，当A =B 或或 B = C 时，时，I ( A, B, C ) =1；I(120, 60, 0) = 0；当当 A = 90 时，时，R( A，B，C ) =1；R(180，0，0) = 0； 当当 A = B = C 时，时，E(60，60，60) =1；E(180, 0, 0)=0
55、。这说明以上隶属函数在边界情况下是合理的。这说明以上隶属函数在边界情况下是合理的。 现有一三角形，其三个内角分别为现有一三角形，其三个内角分别为 A = 70，B = 60，C = 50，问这个三角形应该算作哪一类三角形？问这个三角形应该算作哪一类三角形？135计算计算按最大隶属度原则按最大隶属度原则，这个三角形比较接近，这个三角形比较接近“近似正三角形近似正三角形”136 若给定若给定 1= 0.85，则因，则因 E (70, 60, 50) = 0.889 1，所以所以 (70, 60, 50) 可认为属于可认为属于“近似正三角形近似正三角形”。 若给定若给定 2= 0.8, 则因则因 I
56、(70, 60, 50) = 0.833 2， E(70, 60,5 0) = 0.889 2，所以所以 (70, 60, 50) 可认为既属可认为既属于于“近似等腰三角形近似等腰三角形”又属于又属于“近似正三角形近似正三角形”。 这就是说在模糊集的识别问题中，有时也不是唯一这就是说在模糊集的识别问题中，有时也不是唯一的，也存在着的，也存在着“亦此亦彼亦此亦彼”的情况。的情况。137例如例如 已知已知 “青年人青年人” 模糊集模糊集 Y，其隶属度规定为其隶属度规定为对于对于 x1 = 27 岁及岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值岁的人来说，若取阈值模糊模式识别模糊模式识别138 1 =
57、 0.7，模糊模式识别模糊模式识别故认为故认为 27 岁和岁和 30 岁的人都属于岁的人都属于“青年人青年人” 范畴。范畴。则因 Y(27) = 0.862 1，而 Y(30) = 0.5 2, 而 Y(30) = 0.5 = 2 ，139模糊模式识别模糊模式识别集对集集对集例如：例如：论域为论域为“茶叶茶叶”，标准有，标准有5种种 待识别茶叶为待识别茶叶为B，反映茶叶质量的，反映茶叶质量的6个指标为：条索，个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶属于哪种茶A1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.2
58、0.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.3140在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象待识别的对象不不是论域是论域 X 中的元素中的元素 x，而是模糊集而是
59、模糊集 A，已知的模已知的模糊集是糊集是 A1, A2, , An，那么问那么问 A 属于哪个属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题就是另一类模糊模式识别问题 集对集集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的集之间的距离或贴近度距离或贴近度。1411. 距离距离判别分析判别分析定义定义 设设 A、B F ( X )。称。称如下定义的如下定义的dP(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Minkowski (闵可夫斯基闵可夫斯基) 距离距离 (P1)： ) 当当 X = x1, x2, , xn 时，时， ) 当当 X = a,
60、 b 时，时，模糊模式识别模糊模式识别142特别地，特别地，p=1 时，称时，称 d 1(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Hamming (海明海明) 距距离离。p=2 时，称时，称 d2(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Euclid (欧几里德欧几里德) 距离距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应相应有有 (1) 相对相对 Minkowski 距离距离模糊模式识别模糊模式识别143 (2) 相对相对 Hamming 距离距离模糊模式识别模糊模式
61、识别144 (3) 相对相对 Euclid 距离距离模糊模式识别模糊模式识别145 有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。此时就有加权的模糊集距离。一一般权重函数满足下述条件：般权重函数满足下述条件： 当当 X = x1，x2，xn 时，有时，有 当当 X = a, b 时，有时，有加权加权 Minkowski 距离距离定义为定义为模糊模式识别模糊模式识别146加权加权 Hamming 距离距离定义为定义为加权加权 Euclid 距离距离定义为定义为模糊模式识别模糊模式识别147例例 欲将在欲将在
62、 A 地生长良好的某农作物移植到地生长良好的某农作物移植到 B地或地或 C 地，问地，问 B、C 两地哪里最适宜？两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温气温)，x2 (湿度湿度)，x3 (土壤土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为上的模糊集，经测定，得三个模糊集为模糊模式识别模糊模式识别148由于由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明说明 A，B 环境比环境比较相似，该农作物宜于移植较相似，该农作物宜于移植 B 地。地。
63、模糊模式识别模糊模式识别 设权重系数为设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算。计算 A 与与 B 及及 A 与与 C 的加权的加权 Hamming 距离，得距离，得1492、贴近度、贴近度模糊模式识别模糊模式识别按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。A B=定义定义 设设 A，B F (U)，称，称为为 A 与与 B 的的内积内积，称，称为为 A 与与 B 的的外积外积。150比比较较，可可以以看看出出 A B 与与 ab 十十分分相相似似，只只要要把把经经典典数数学学中中的的内内积积运运算算的的加加 “+” 与
64、与乘乘 “ ” 换换成成取取大大 “ ” 与取小与取小 “ ” 运算，就得到运算，就得到 A B。模糊模式识别模糊模式识别 若若 X =x1, x2, xn，记，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则，则与经典数学中的向量与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量与向量 b = b1, b2, bn 的内积的内积151例例 设设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6,则则 A B模糊模式识别模糊模式识别152例例 设设 A，B F (R)，A、B 均均为正态型模糊集，为正态型模糊集，其隶属函数如图其隶属函数如图ABCDE0ax*bx图图 3.33 正态型
65、模糊集正态型模糊集 A、B 模糊模式识别模糊模式识别153由定义知由定义知A B 应为应为 max( AB ) ，隶属度曲线，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线部分的峰值，即曲线 A(x) 与与 B(x) 的交点的交点 x* 处的纵处的纵坐标。为求坐标。为求 x*，令，令解得解得于是于是类似地，由于类似地，由于故故 A B=0。模糊模式识别模糊模式识别154模糊模式识别模糊模式识别表示两个模糊集表示两个模糊集A，B之间的之间的贴近程度贴近程度。或或 L( A，B) = ( A B) ( A B)C155 C = C =故故B比比A更贴近于更贴近于.模糊模式识别模糊模式识别156模糊模式识别模
66、糊模式识别157模糊模式识别模糊模式识别158二二、择近原则、择近原则模糊模式识别模糊模式识别159模糊模式识别模糊模式识别例如：例如：论域为论域为“茶叶茶叶”，标准有，标准有5种种 待识别茶叶为待识别茶叶为B，反映茶叶质量的，反映茶叶质量的6个指标为：条索，个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶属于哪种茶A1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10
67、.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.3 B)， 160模糊模式识别模糊模式识别计算得计算得故茶叶故茶叶 B 为为 A1 型茶叶。型茶叶。161162模糊综合评判模糊综合评判一、一级模糊综合评判一、一级模糊综合评判163模糊综合评判模糊综合评判164模糊综合评判模糊综合评判165模糊综合评判模糊综合评判166模糊综合评判模糊综合评判167根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判模糊综合评判168例如有单因素评判矩阵例如有单因素评判矩阵则则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18)169模糊综合评判模糊综合评判170模糊综合评判
68、模糊综合评判171其中：其中：模糊综合评判模糊综合评判172实例：实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收三种三收)乙乙(两茬平作两茬平作),丙丙(两年三熟两年三熟) 3种方案种方案,主要评价指标有：粮食亩主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共程度共5项，根据当地实际情况，这项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为个因素的权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表其评价等级如下表分数分数亩产量亩产量/k
69、g产品质量产品质量/级级亩用工量亩用工量/工日工日亩纯收入亩纯收入/元元生态平衡影生态平衡影响程度响程度/级级5550-600120以下以下130以上以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下以下660以上以上50以下以下6173经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案种方案的的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。方案方案甲甲乙乙
70、丙丙亩产量亩产量/kg592.5529412产品质量产品质量/级级321亩用工量亩用工量/工日工日553832亩纯收入亩纯收入/元元7210585生态平衡影响程度生态平衡影响程度/级级532过程：过程：因素集因素集权重权重A（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25）评判集评判集174建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立立隶属函数隶属函数，用，用模糊关系矩阵模糊关系矩阵来表示。来表示。543210550-600500-550450-500400-450350-400350以下以下产量的隶属函数产量的隶属函数 17554
71、3210123456产品质量的隶属函数产品质量的隶属函数 176用工的隶属函数用工的隶属函数 纯收入的隶属函数纯收入的隶属函数 生态平衡的影响因素的隶属函数生态平衡的影响因素的隶属函数 177将方案中的数据代入各隶属函数的公式中，算出相应的隶属度。将方案中的数据代入各隶属函数的公式中，算出相应的隶属度。方案甲方案甲 592.5 355725178得到单因素评判矩阵得到单因素评判矩阵 由加权平均型进行综合评判由加权平均型进行综合评判 归一化得归一化得 可见，乙方案最佳，丙方案次之，甲方案最差。可见，乙方案最佳，丙方案次之，甲方案最差。 179二、多级模糊综合评判（以二级为例）二、多级模糊综合评判
72、（以二级为例）问题：问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面对高等学校的评估可以考虑如下方面模糊综合评判模糊综合评判180二级模糊综合评判的二级模糊综合评判的步骤步骤：模糊综合评判模糊综合评判181模糊综合评判模糊综合评判182模糊综合评判模糊综合评判183模糊综合评判模糊综合评判184模糊综合评判模糊综合评判185模糊综合评判模糊综合评判186模糊综合评判模糊综合评判187模糊综合评判模糊综合评判188189模糊线性规划模糊线性规划一、模糊约束条件下的极值问题一、模糊约束条件下的极值问题 例：例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好
73、，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调查结果如表供选择，经调查结果如表大衣大衣x1x2x3x4X5式样式样过时过时较陈旧较陈旧时髦时髦较新较新一般一般质量质量好好较好较好好好较差较差一般一般尺寸尺寸合身合身较合身较合身合身合身合身合身较合身较合身价格价格40801008570问他应该购买哪一件大衣？问他应该购买哪一件大衣？ 190模糊线性规划模糊线性规划该类问题的解题过程：该类问题的解题过程：2. 目标函数目标函数f(x)模糊化模糊化 1.将将语语言真言真值值(评评价价结结果果)转转化化为为各模糊各模糊约约束集的隶
74、属度束集的隶属度3.定义模糊判决：定义模糊判决：加权型：加权型：对称型：对称型：4. 由最大隶属原则求出由最大隶属原则求出x*, 则则x*为模糊条件极大值点。为模糊条件极大值点。191解：解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格化为模糊目标价格化为模糊目标G：大衣大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度其中模糊目标其中模糊目标 192总约束集总约束集模糊目标集模糊目标集约束
75、与目标对等时，用对称型模糊判决约束与目标对等时，用对称型模糊判决 由最大隶属原则，应该买由最大隶属原则，应该买x5.193如果要求价格更便宜，则放松约束，令如果要求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4, b=0.6加权型判决为加权型判决为由最大隶属原则，应该买由最大隶属原则，应该买x1.194普通线性规划的一般形式为普通线性规划的一般形式为 目标函数目标函数 约束条件约束条件 矩阵表达形式矩阵表达形式 模糊线性规划模糊线性规划二、模糊线性规划问题二、模糊线性规划问题 (1)195模糊线性规划是将模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化约束条件和目标函数模糊化，引引入隶属函数入隶属函数，从而导出
76、一个，从而导出一个新新的线性规划的线性规划问题问题，它，它的最优解称为原问题的的最优解称为原问题的模糊最优解模糊最优解. . 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方法来处理法来处理.196模糊线性规划，其模型为模糊线性规划，其模型为 为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di ,197模型又可写成模型又可写成当当时，时， 当当取取内某
77、一内某一值值。 （2）198模糊线性规划模糊线性规划199模糊线性规划模糊线性规划200模糊线性规划模糊线性规划201模糊线性规划模糊线性规划202模糊线性规划模糊线性规划203模糊线性规划模糊线性规划204模糊线性规划模糊线性规划205实例实例1：饮料配方问题：饮料配方问题 某种饮料含有三种主要成份某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分别为每瓶含量分别为755 mg, 1205 mg, 1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料这三种成份主要来自于五种原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生各种原料每千克所含成分与单价如下表
78、所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？原料原料B1B2B3B4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200单价单价/元元1.31.51.61.71.8206多目标线性规划多目标线性规划 在相同的条件下在相同的条件下, ,要求多个目标函数都得到要求多个目标函数都得到最好的满足最好的满足, ,这便是这便是多目标规划多目标规划. . 若目标函数和若目标函数和约束条件都是线性的约束条件都是线性的, ,则为则为多目标线性规划多目标线性规划. . 一般来说一般来说, ,多个目标函数不可能
79、同时达多个目标函数不可能同时达到其最优值到其最优值, ,因此只能求使各个目标都比较因此只能求使各个目标都比较“满意满意”的模糊最优解的模糊最优解. . 模糊线性规划模糊线性规划207例例2 解多目标线性规划问题解多目标线性规划问题模糊线性规划模糊线性规划208解普通线性规划问题：解普通线性规划问题： 得最优解为得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值最优值为为2，此时，此时 f 2 = 8. 模糊线性规划模糊线性规划209解普通线性规划问题：解普通线性规划问题： 得最优解为得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优最优值为值为20，此时，此时f 1
80、 = 10. 模糊线性规划模糊线性规划210的最优解的最优解为为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为最优值为2, ,此时此时 f 2 = 8. .的最优解的最优解为为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为最优值为20，此时此时f 1 = 10. . 同时考虑两个目标，合理的方案是使同时考虑两个目标，合理的方案是使f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸缩指标分别为可取伸缩指标分别为d1 = 10 - - 2 = 8, d2 = 20 - - 8 = 12. . 如果认为目标如果认为目标 f 1更重要更重要, ,可单独缩小可单独缩小d1; 如果认为目如果认为目标标 f 2更重要，可单独缩小更重要，可单独缩小d2. . 211 再分别将两个目标函数模糊化再分别将两个目标函数模糊化, ,变为解普通变为解普通线性规划问题：线性规划问题： 得最优解为得最优解为x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57.此时此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.212
