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1、 第八章第八章 习题课习题课一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 多元函数微分法多元函数微分法一、一、 基本概念基本概念1. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质要求动点要求动点P(x,y)以任何方式趋于以任何方式趋于P0(x0,y0)时，时，函数函数f(x,y)的值都趋于常数的值都趋于常数A.称称 函数函数f (x, y)在点在点P0(x0,y0)处处连续。连续。2. 几个基本概念的关系几个基本概念的关系函数偏导数
2、存在函数偏导数存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续思考与练习思考与练习1. 讨论二重极限讨论二重极限解法解法1解法解法2 令令时时, 下列算法下列算法是否正确是否正确?分析分析:解法1解法2 令此法此法未考虑分母变化的所有情况未考虑分母变化的所有情况, , 此法排除了沿曲线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为此时极限为 1 .由由以上分析可见以上分析可见, 二种解法都不对二种解法都不对, 因为都不能保证因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到同时还可看到, 本题极限实际上不存在本题极限实际上不
3、存在 .提示提示: 利用利用 故故 f 在在 (0,0) 连连续续;知知在点在点(0,0) 处连续且偏导数存在处连续且偏导数存在 , 但不可微但不可微 . 2. 证明证明:若若f(x,y)在在(0,0)处可微，则必有处可微，则必有即即而而所以所以 f 在点在点(0,0)不可微不可微 !y=kx3. 已知已知求出求出 的表达式的表达式. 解法解法1 令令即即解法解法2 以下与解法以下与解法1 相同相同.则则且且二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1. 分析复合结构分析复合结构(画变量关系图画变量关系图)自变量个数自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个方程总
4、个数数自变量与因变量由所求对象判定自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号练习题练习题1. 设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数求下列函数的二阶偏导数设设解答提示解答提示:则则z = xf (u),设设则则z = f (u),设设则则z = f (x, u),2 设设求求提示提示:3.设设求求提示提示: 提示提示:分别由下列两式确定分别由下列两式确定 :又函数又函数有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,4. 设设解解: 两
5、个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得(2001考研考研)解得解得因此因此5. 求求在点在点处可微处可微 , 且且设函数设函数解解: 由题设由题设(2001考研考研)是是复合复合而成而成.三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法, 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 求解最值问题求解最值问题时时, 具有极值具有极值定理定理 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令令则则: 1) 当当A0
6、时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当证明略证明略 时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数且且引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数. 利用拉格利用拉格极值点满足极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.定理定理 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.例如例如,由方程组解出由方程组解出x, y和和,其中其中x, y就可能是所求条件极值就可能是所求条件极值的极值点的极值点. 一般可以根据具体问题的性质进行判别一般可以根据具体问题的性质进行判
7、别 例例1. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;例例2. 求求旋转抛物面旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解解: 设设为为抛物面抛物面上任一点，上任一点，则 P 的的距离为距离为问题归结为问题归结为约束条件约束条件:目标函数目标函数:作辅助函数作辅助函数到平面到平面令令解此解此方程组得唯一驻点方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在 ,故故由由(1)(2)得得代入代入(4)得得上述结论代入上述结论代入(3)得得将将y=x, z=2x2,代入代入(1)得得
