任意角、弧度制及任意角的三角函数

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1、【2014年高考会这样考年高考会这样考】 1考查用三角函数的定义求三角函数值 2考查三角函数值符号的确定第第1讲讲任意角、弧度制及任意任意角、弧度制及任意角的三角函数角的三角函数 抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练角的概念的推广角的概念的推广弧度的定义和公式弧度的定义和公式任意角的三角函数任意角的三角函数考向一考向一考向二考向二考向三考向三三角函数的定义与其他知识的结合问题三角函数的定义与其他知识的结合问题 单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测 A A级级【例1】 【训练1】 【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】 弧度制的应用弧

2、度制的应用三角函数的符号和三角函数的符号和角的位置的判断角的位置的判断 任意角的三角函数任意角的三角函数选择题填空题解答题B B级级选择题填空题解答题1角的概念的推广角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形置旋转到另一个位置所形成的图形 (2)(2)分类分类 按旋转方向不同分为按旋转方向不同分为_、 _ _ 、 _。按终边位置不同分为按终边位置不同分为_和轴线角。和轴线角。(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内，在内，可构成

3、一个集合可构成一个集合S |k360，kZ2弧度的定义和公式弧度的定义和公式(1)定义：长度等于定义：长度等于_的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度的角 弧度记作弧度记作rad.(2)公式：公式： 弧度与角度的换算：弧度与角度的换算：360_弧度；弧度；180_弧度；弧度； 弧长公式：弧长公式：l_； 扇形面积公式：扇形面积公式：S扇形扇形 lr |r2.正角负角零角象限角半径长2|r 考点梳理考点梳理3任意角的三角函数任意角的三角函数(1)定义：设定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点P(x，y)， 则则sin _ ，cos _ ，tan _ (x0

4、).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正 弦线的起点都在弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的 起点都是起点都是(1,0) 如图中有向线段如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角分别叫做角的的_， _和和_.正弦线余弦线正切线考点梳理考点梳理一条规律两点提醒三角函数值在各象限的符号为：一全正、三角函数值在各象限的符号为：一全正、二正弦、三正切、四余弦二正弦、三正切、四余弦 (1)(1)在判定角的终边所在的象限时，要注意在判定角的终边所在的象限时，要注意对对k k进行分类讨论进

5、行分类讨论(2)(2)在表示角的集合时，切忌同时采用角度在表示角的集合时，切忌同时采用角度制与弧度制两种度量单位制与弧度制两种度量单位 助学微博助学微博单击题号显示结果单击题号显示结果答案显示答案显示单击图标显示详解单击图标显示详解ABCC2rad12345 考点自测考点自测依据三角函数定依据三角函数定义，可在角义，可在角的终的终边上任取一点边上任取一点P（4t,-3t),求出求出r，由于含有参数，由于含有参数t，要注意分类讨，要注意分类讨论论 【审题视点审题视点 】【方法锦囊方法锦囊】在利用三角函数的在利用三角函数的定义求角定义求角的三角的三角函数值时，若角函数值时，若角的终边上点的坐标的终

6、边上点的坐标是以参数的形式给是以参数的形式给出的，则要根据问出的，则要根据问题的实际及解题的题的实际及解题的需要对参数进行分需要对参数进行分类讨论任意角的类讨论任意角的三角函数值仅与角三角函数值仅与角的终边位置有关，的终边位置有关，而与角而与角终边上点终边上点P的位置无关的位置无关 考向一考向一 任意角的三角函数任意角的三角函数解注意设点技巧和t的范围解故角故角是第二或第三象限角是第二或第三象限角角角是第二象限角是第二象限角角角是第三象限角是第三象限角综上可知综上可知 考向一考向一 任意角的三角函数任意角的三角函数【审题视点审题视点 】【方法锦囊方法锦囊】 (1)由由cos sin 0 可得可

7、得 从而确定从而确定所在象限所在象限解析（1）（2）(2)由点由点P所在的象所在的象限得到限得到sin 与与cos 的符号，从而确定的符号，从而确定所在的象限所在的象限(1)熟练掌握三角函熟练掌握三角函数的符号法则是解数的符号法则是解决此类题目的关键决此类题目的关键(2)由三角函数符号由三角函数符号判断角所在象限，判断角所在象限，首先确定每个三角首先确定每个三角函数值的符号，再函数值的符号，再确定角所在的象限确定角所在的象限 考向二考向二 三角函数的符号和角的位置的判断三角函数的符号和角的位置的判断【审题视点审题视点 】【方法锦囊方法锦囊】(1)熟练掌握三角熟练掌握三角函数的符号法则函数的符号

8、法则是解决此类题目是解决此类题目的关键的关键(2)由三角函数符由三角函数符号判断角所在象号判断角所在象限，首先确定每限，首先确定每个三角函数值的个三角函数值的符号，再确定角符号，再确定角所在的象限所在的象限由两条件之一出由两条件之一出发分析发分析范围，范围，再找出同时满足再找出同时满足另一条件的另一条件的范范围即可围即可解 考向二考向二 三角函数的符号和角的位置的判断三角函数的符号和角的位置的判断方法一完方法二方法二方法一方法一考向二 三角函数的符号和角的位置的判断三角函数的符号和角的位置的判断 【审题视点审题视点 】【方法锦囊方法锦囊】(1)熟练掌握三角熟练掌握三角函数的符号法则函数的符号法

9、则是解决此类题目是解决此类题目的关键的关键(2)由三角函数符由三角函数符号判断角所在象号判断角所在象限，首先确定每限，首先确定每个三角函数值的个三角函数值的符号，再确定角符号，再确定角所在的象限所在的象限由两条件之一出由两条件之一出发分析发分析范围，范围，再找出同时满足再找出同时满足另一条件的另一条件的范范围即可围即可解方法一方法一方法二方法二方法二完 (2)由周长弧长由周长弧长2半径与扇形面积公式建半径与扇形面积公式建立函数关系式立函数关系式 审题视点 【方法锦囊方法锦囊】 【例例3】已知扇形的圆心角是已知扇形的圆心角是，半径为，半径为R.(1)若若60，R10 cm，求扇形的弧长，求扇形的

10、弧长l.(2)若扇形的周长为若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为多少为多少 弧度时，这个扇形的面积最大？弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)引进弧度制后，引进弧度制后，实现了角度与弧度的实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：下可以应用弧长公式：lr|，扇形面积，扇形面积公式：公式：S lr r2|，求弧，求弧长和扇形的面积长和扇形的面积 (2)应用上述公式时，应用上述公式时，要先把角统一用弧度要先把角统一用弧度制表示利用弧度制制表示利用弧度制比角度制解题更为简比角度制解题更为简捷、方便捷、方便 考向三考向三 弧度制的应用弧度制的应用(

11、2)方法一方法一(2)方法二方法二计算与计算与l |R相相关的量，代入即得关的量，代入即得 审题视点审题视点 【方法锦囊方法锦囊】解：(1)引进弧度制后，引进弧度制后，实现了角度与弧度的实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：下可以应用弧长公式：lr|，扇形面积，扇形面积公式：公式：S lr r2|，求弧长，求弧长和扇形的面积和扇形的面积 (2)(2)应用上述公式时，应用上述公式时，要先把角统一用弧度要先把角统一用弧度制表示利用弧度制制表示利用弧度制比角度制解题更为简比角度制解题更为简捷、方便捷、方便【训练训练3】 已知扇形的圆心角是已知扇形的圆心角是120，

12、弦长，弦长 AB12 cm，求弧长，求弧长l.设扇形的半径为设扇形的半径为R，如图，如图 l|R 考向三考向三 弧度制的应用弧度制的应用AB1200l6006弦心距半弦长半径这个三角形，是连接扇形中各量的纽带，应把握 热点突破热点突破9三角函数的定义与其他知识的结合问题三角函数的定义与其他知识的结合问题 通过近三年的高考试题分析，单独考查三角函数定义的问题，难通过近三年的高考试题分析，单独考查三角函数定义的问题，难度较低；若结合三角函数的基础知识及三角恒等变形，涉及的知识点度较低；若结合三角函数的基础知识及三角恒等变形，涉及的知识点较多，难度稍大题型均以选择题、填空题出现较多，难度稍大题型均以

13、选择题、填空题出现【真题探究】 (2012(2012山东山东) )如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，一单位圆的圆心的初始位置在中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)(0,1)，此时圆上一点，此时圆上一点P P的位置在的位置在(0,0)(0,0)，圆在圆在x x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于位于(2,1)(2,1)时，时， 的坐标为的坐标为_ ACBD教你审题 通过通过P P点、圆心、及点、圆心、及x x轴构造直角三角形轴构造直角三角形 解法 如图，连如图，连AP， 分别过分别过P P，A A作作PC，AB垂直垂直x轴于轴于C，B点，点，

14、 过过A作作ADPC于于D点点 由题意知由题意知 的长为的长为2.圆半径为圆半径为1，BAP2， 故故DAP2 .DPAPsin(2 )cos 2，PC1cos 2 ， DAAPcos(2 )sin 2，OC2sin 2.故故 (2sin 2,1cos 2)反思 熟记三角函数的定义，掌握点的坐标及该点到原点的距离三个数间的比值所对应的三角函数 揭秘揭秘3年高考年高考(2sin 2,1cos 2)OP(1，0)Q 揭秘揭秘3年高考年高考一、选择题一、选择题题号题号点击题号出答案点击题号出答案单击显单击显:题干题干/详解详解1234CBBD A级级 基础演练基础演练题号题号点击题号出答案点击题号出答案单击显：题干单击显：题干/详解详解二、填空题二、填空题56四四 A级级 基础演练基础演练三、解答题三、解答题 78 A级级 基础演练基础演练三、解答题三、解答题78 A级级 基础演练基础演练一、选择题一、选择题题号题号点击题号出答案点击题号出答案单击显：题干单击显：题干/详解详解12AB B级级 能力突破能力突破题号题号点击题号出答案点击题号出答案单击显：题干单击显：题干/详解详解二、填空题二、填空题34 B级级 能力突破能力突破三、解答题三、解答题56 B级级 能力突破能力突破三、解答题三、解答题 56 B级级 能力突破能力突破返回 自测 考点自测详解考点自测详解