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1、算术平均数Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望问题情境 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量。这种说法对吗?考点聚焦 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单地应用。1.均值不等式定理及其重要变形: 相关定理2.不等式链: 相关定理3.均值不等式定理的适当推广: 特别提示 1二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功
2、能。2“和定积最大,积定和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 口诀:一“正”,二“定”,三“等号”。3创设应用均值不等式的条件,合理拆分项或拼凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的目的在于等号能够成立。点击高考 BB1.(2002年北京、春)设a、bR+,且a+b=2,则3a+3b的最小值是( )。A18 B. 6 C.2 D.22.(2005年全国)若ab1,P= , Q= ,R= , 则( )。ARPQ B. PQR C. QPR D.PRQ3.(2004年全国)若正数a 、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 。题型一、利用基本不等式求最值
3、【例【例1】(1)已知已知求函数求函数 的最大值;的最大值;【例【例1】(2)已知已知 x0,y0,且,且求求x+y的最小值;的最小值; 变变式式:已已知知 且且 ,求求 的最小值的最小值.解解:将式中的常数将式中的常数1代换成代换成 ,则则当且仅当当且仅当 且且 即即 时上式取等号时上式取等号 . 题型二、利用基本不等式证明不等式【例【例2】已知】已知a,b,cR,求证:,求证:n n小结:根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。小结:根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。所以n n证一: a,b,c为不等正数,且abc=1证二: a,b,c为不等正数,且abc=1练习、已知a,b,c为不等正
4、数,且abc=1,求证: 题型三、基本不等式的综合应用【例例3】某某单单位位决决定定投投资资3200元元建建一一仓仓库库(长长方方体体状状),高高度度恒恒定定,它它的的后后墙墙利利用用旧旧墙墙不不花花钱钱,正正面面用用铁铁栅栅,每每米米长长造造价价40元元,两两侧侧墙墙砌砌砖砖,每每米米长长造造价价45元元,顶顶部部每每平平方方米米造造价价20元,试算:元,试算:(1)仓库面积仓库面积S的最大允许值是多少?的最大允许值是多少?(2)为为使使S达达到到最最大大,而而实实际际投投资资又又不不超超过过预预算,那么正面铁栅应设计为多长?算,那么正面铁栅应设计为多长?解解析析:用用字字母母分分别别表表示
5、示铁铁栅栅长长和和一一堵堵砖砖墙墙长长,再再由由题意翻译数量关系。题意翻译数量关系。设铁栅长为设铁栅长为x米,一堵砖墙长为米,一堵砖墙长为y米,则有:米,则有:S=xy由题意得由题意得40x+245y+20xy=3200因因此此S最最大大允允许许值值是是100米米2,取取得得此此最最大大值值的的条条件件是是40x=90y而而xy=100,由由此此求求得得x=15,即即铁铁栅栅的的长长应应是是15米。米。课堂小结 1.在运用均值不等式时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足“正”、“定”、“等”的条件。 2.正确理解:“和一定,相等时,积最大;积一定,相等时,和最小。” 3.注意掌握均值不等式的逆用、变形等,注重数学的思维和能力的培养。研究性问题 有一位同学写了一个不等式: ,他发现当c=1、2、3时,不等式都成立。试问:不等式是否对任意正实数c都成立?为什么? 有一位同学写了一个不等式: ,他发现当c=1、2、3时,不等式都成立。试问:不等式是否对任意正实数c都成立?为什么? 有一位同学写了一个不等式: ,他发现当c=1、2、3时,不等式都成立。试问:不等式是否对任意正实数c都成立?为什么?