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1、算术平均数Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望问题情境 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量。这种说法对吗？考点聚焦 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用。1.均值不等式定理及其重要变形： 相关定理2.不等式链： 相关定理3.均值不等式定理的适当推广： 特别提示 1二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功
2、能。2“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。 口诀：一“正”，二“定”，三“等号”。3创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或拼凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于等号能够成立。点击高考 BB1.（2002年北京、春）设a、bR+，且a+b=2,则3a+3b的最小值是（ ）。A18 B. 6 C.2 D.22.（2005年全国）若ab1,P= , Q= ,R= , 则（ ）。ARPQ B. PQR C. QPR D.PRQ3.（2004年全国）若正数a 、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 。题型一、利用基本不等式求最值
3、【例【例1】(1)已知已知求函数求函数 的最大值；的最大值；【例【例1】(2)已知已知 x0，y0，且，且求求x+y的最小值；的最小值； 变变式式:已已知知 且且 ,求求 的最小值的最小值.解解:将式中的常数将式中的常数1代换成代换成 ,则则当且仅当当且仅当 且且 即即 时上式取等号时上式取等号 . 题型二、利用基本不等式证明不等式【例【例2】已知】已知a，b，cR，求证：，求证：n n小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。所以n n证一： a,b,c为不等正数，且abc=1证二： a,b,c为不等正数，且abc=1练习、已知a,b,c为不等正
4、数，且abc=1，求证： 题型三、基本不等式的综合应用【例例3】某某单单位位决决定定投投资资3200元元建建一一仓仓库库(长长方方体体状状)，高高度度恒恒定定，它它的的后后墙墙利利用用旧旧墙墙不不花花钱钱，正正面面用用铁铁栅栅，每每米米长长造造价价40元元，两两侧侧墙墙砌砌砖砖，每每米米长长造造价价45元元，顶顶部部每每平平方方米米造造价价20元，试算：元，试算：(1)仓库面积仓库面积S的最大允许值是多少？的最大允许值是多少？(2)为为使使S达达到到最最大大，而而实实际际投投资资又又不不超超过过预预算，那么正面铁栅应设计为多长？算，那么正面铁栅应设计为多长？解解析析:用用字字母母分分别别表表示
5、示铁铁栅栅长长和和一一堵堵砖砖墙墙长长，再再由由题意翻译数量关系。题意翻译数量关系。设铁栅长为设铁栅长为x米，一堵砖墙长为米，一堵砖墙长为y米，则有：米，则有：S=xy由题意得由题意得40x+245y+20xy=3200因因此此S最最大大允允许许值值是是100米米2，取取得得此此最最大大值值的的条条件件是是40x=90y而而xy=100，由由此此求求得得x=15，即即铁铁栅栅的的长长应应是是15米。米。课堂小结 1.在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足“正”、“定”、“等”的条件。 2.正确理解：“和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小。” 3.注意掌握均值不等式的逆用、变形等，注重数学的思维和能力的培养。研究性问题 有一位同学写了一个不等式： ，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？ 有一位同学写了一个不等式： ，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？ 有一位同学写了一个不等式： ，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？
