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1、仅供个人参考 不得用于商业用途 For personal use only in study and research; not for commercial use 空间几何体的表面积与体积专题 一、选择题 1棱长为2 的正四面体的表面积是 ( C ) A. 3 B 4 C 4 3 D 16 解析 每个面的面积为：122232 3.正四面体的表面积为： 4 3. 2把球的表面积扩大到原来的2 倍，那么体积扩大到原来的 ( B ) A2 倍 B 2 2倍 C. 2倍 D.32倍 解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积V43R3，知体积扩大到原来的2 2倍 3如图是一个长方体截去一个角
2、后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为 ( B ) A.1423 B.2843 C.2803 D.1403 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 VV长方体V正三棱锥446131222 22843. 4某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A823 B83 C82 D.23 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥，所以V23132823. 5已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为( A)A2432 B2
3、43 C24 D242 仅供个人参考 不得用于商业用途 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积V234121232432. 6某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C ) A.952 cm2 B.942 cm2 C.942 cm2 D.952 cm2 解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为 2331214304；中间部分的表面积为 2121，下面部分的表面积为 2441624644.故其表面积是 942. 7已知球的直径S
4、C4，A，B是该球球面上的两点，AB 3，ASCBSC30，则棱锥S-ABC的体积为( C) A3 3 B2 3 C. 3 D1 解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SDx，则DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得ADBD33x，又因为SC为直径，所以SBCSAC90，所以DCBDCA60，在BDC中 ，BD 3(4x)，所以33x 3(4x)，所以x3，ADBD 3，所以三角形ABD为正三角形，所以V13SABD4 3. 二、填空题 8三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是
5、边长为 2 的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_ 3_解析 依题意有，三棱锥PABC的体积V13SABC|PA|1334223 3. 9一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 32_ 解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是 2r，圆柱的侧面积是 2r2r4r2，设球的半径是R，则球的表面积是 4R2，根据已知 4R24r2，所以Rr.所以圆柱的体积是 r22r仅供个人参考 不得用于商业用途 2r3，球的体积是43r3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2r343r332. 10 如图所示， 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为
6、 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_26_ 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V13112226. 11如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_2R2_ 解析 由球的半径为R，可知球的表面积为 4R2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h， 则h2r2R2.而圆柱的侧面积为2r2h4rh4r2h222R2(当且仅当rh时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为 2R2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2R2. 12如图
7、，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_13_cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 5212213 (cm) 三、解答题 13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1 所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH， 下半部分是长方体ABCDEFGH.图 2、 图3 分别是该标识墩的正视图和俯视图 (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积 解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全
8、标识墩的体积为 VVPEFGHVABCDEFGH13402604022064 000(cm3) 14 .一个几何体的三视图如图所示 已知正视图是底边长为 1 的平行四边形，侧视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成仅供个人参考 不得用于商业用途 的矩形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1 的正方形，高为3，所以 V113 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1， 所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均
9、为矩形， S2(111312)62 3. 15 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S. 解析 由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为 6，高为h2的等腰三角形，如右图所示 (1)几何体的体积为：V13S矩形h1368464. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1 42325.左、右侧面
10、的底边上的高为：h2 42424 2.故几何体的侧面面积为：S212851264 2 4024 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. . 解：设展开图的正方形边长为 a，圆柱的底面半径为 r，则 2r=a，2ar，底面圆的面积是24a，于是全面积与侧面积的比是2221222aaa， 2在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体， 则截去与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. 2解：正方体的体积为 1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248，于是
11、8 个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65， 3一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是 5cm，则这个直棱柱的全面积是 。 3答案：148 cm2 解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和 8cm，所以底面边长是 5cm， 侧面面积是 455=100cm2，两个底面面积是 48cm2， 所以棱柱的全面积是 148cm2. 4已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它们的高之比为 。 仅供个人参考 不得用于商业用途 4答案：22：5 解：设圆柱的母线长为 l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，
12、且它们的侧面积之比为 1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23和43， 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2 rl，得13lr ，223lr ， 所以它们的高的比是2222( )2 2325()3llll. 5 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， 且长度分别为 1cm， 2cm， 3cm， 则此棱锥的体积_ 5答案：1cm3 解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是 1，高为 3， 则它的体积是3113=1cm3. 6矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时,
13、 所形成的几何体的体积之比为 6答案：ba 解： 矩形绕a边旋转， 所得几何体的体积是 V1=b2a， 矩形绕b边旋转， 所得几何体的体积是 V2=a2b，所以两个几何体的体积的比是2122Vb abVa ba 16四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积 解析 (1)如图，在四面体ABCD中，设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P， BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD平面BPC，VA-BCDVA-BPCVD-BPC 13SBPCAP13SBPCPD13SBPCAD1312a a2x24a24xa12
14、?3a2x2?x2 a123a2218a3(当且仅当x62a时取等号)该四面体的体积的最大值为18a3. (2)由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为62a，S表234a221262a a264a2 32a262a10a432a215a242 3 154a2. 仅供个人参考 不得用于商业用途 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文
