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1、2.3.2 两个变量的线性关系2.3.2 两个变量的线性关系1、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。例例：（：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系）商品销售收入与广告支出经费之间的关系 （2）粮食产量与施肥量之间的关系）粮食产量与施肥量之间的关系 （3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系）人体内脂肪含量与年龄之间的关系不同点：不同点：函数关系是一种确定的关系；而函数关系是一种确定的关系；而 相关关系是一种非确定关系相关关系是一种非确定关系.相关关系与函数关系的异同点：相关关系与函数关系的异同点：相同点：相同点：均是指两个变量的关系均是指两个变量的关系
2、2.3.2 两个变量的线性关系2、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响。定的随机因素的影响。3、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系2.3.2 两个变量的线性关系 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：研究人员获得了一组样本数据：年龄年龄 23273941454950脂肪脂肪 9.517.8 21.225.927.526.328.2年龄年龄 53545657586061脂肪脂肪 29.630.231.430
3、.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？有怎样的关系？2.3.2 两个变量的线性关系散点图散点图: 两个变量的两个变量的散点图中点的分布的位置是从左中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系为为正相关。正相关。2.3.2 两个变量的线性关系思考：思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？有什么特点？答：两个变量的散点图中点的分布的
4、位置是从答：两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一大，而另一个变量值由个变量值由大变小，我大变小，我们称这种相们称这种相关关系为关关系为负负相关。相关。2.3.2 两个变量的线性关系2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗负相关的例子吗？ 如学习时间与成如学习时间与成绩，负相关如日用眼绩，负相关如日用眼时间和视力，汽车的时间和视力，汽车的重量和汽车每消耗一重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的平均升汽油所行驶的平均路程等。路程等。注：若两个变量散点图呈上图，则不
5、具有相关关注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系，如：身高与数学成绩没有相关关系。系，如：身高与数学成绩没有相关关系。2.3.2 两个变量的线性关系散散点点图图回归直线：如果散点图中点的分布回归直线：如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有有线性相关关系线性相关关系，这条直线就叫做，这条直线就叫做回归直线回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。这条回归直线的方程，简称为回归方程。2.3.2 两个变量的线性关系1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系2.如果所有的样本点都
6、落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系2.3.2 两个变量的线性关系方案一：方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回归方程。三
7、、我们应该如何具体的求出这个回归方程呢三、我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？2.3.2 两个变量的线性关系方案二方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。两侧的点的个数基本相同。2.3.2 两个变量的线性关系方案三方案三: 在散点图中多取几组点，确定几条在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。的斜率和截距。2.3.2 两个变量的线性关系上述三种方案均有一定的道理，但可靠性上述三种方案均
8、有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的不强，我们回到回归直线的定义定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看，各点与直线的偏差最小”。计。计算回归方程的斜率和截距的一般公式：算回归方程的斜率和截距的一般公式：其中，其中，b是回归方程的斜率，是回归方程的斜率，a是截距。是截距。2.3.2 两个变量的线性关系5、最小二乘法的公式的探索过程如下：、最小二乘法的公式的探索过程如下：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据： （x1，y1），（），（x2，y2），
9、），（，（xn，yn）设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中其中a，b是待定是待定的系数。当变量的系数。当变量x取取x1，x2，xn时，可以得到时，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，n）它与实际收集得到的它与实际收集得到的yi之间偏差是之间偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi ，yi ）yi-Yiy x这样，用这这样，用这n个偏差的和来刻画个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。是比较合适的。2.3.2 两个变量的线性关系（yi-Yi）的最小值的最小值ni=1|yi-Yi
10、|的最小值的最小值ni=1（yi-Yi）2的最小值的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2当当a，b取什么值时，取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小的值最小，即总体偏差最小（xi-x）（）（yi-y）ni=1b=（xi-x）ni=1a=y-bx2.3.2 两个变量的线性关系我们可以用计算机来求我们可以用计算机来求回归方程回归方程。 人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归直线来反映。直线来反映。2.3.2 两个变量的线性关系 将年龄作为将年龄作为x代入上述回归方程，看看得代入上述回归方程，看看得出数值与真实
11、值之间有何关系？出数值与真实值之间有何关系？年龄年龄23273941454950脂肪脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回归值回归值12.815.122.023.225.527.828.4年龄年龄53545657586061脂肪脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回归值回归值30.130.731.832.433.034.134.72.3.2 两个变量的线性关系 若某人若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.1（0.57765-0.448= 37.1）附近的可能）附近的可能性比较大。性比较大。 但不能说他体内脂肪含量一定是
12、但不能说他体内脂肪含量一定是37.1原因原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于误差，也不可能百分百地保证对应于x，预报，预报值值Y能等于实际值能等于实际值y2.3.2 两个变量的线性关系2.3.2 两个变量的线性关系例例2、假设关于某设备的使用年限、假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修年）和所支出的维修费用费用y（万元），有如下的统计资料：万元），有如下的统计资料：使用
13、年限使用年限x（年）年） 2 3 4 5 6维修费用维修费用y（万元）万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若资料知若资料知y，x呈呈线性相关关系线性相关关系，试求：，试求：（1） 线性回归方程线性回归方程Y=bx+a的回归系数的回归系数a、b；（2） 估计使用年限为估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？2.3.2 两个变量的线性关系i解：解：（1）于是有）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*42）=1.23, a=5-1.23*4=0.08（2）回归方程回归方程为为Y=1.23x+0.08，当当x =10时，时，Y=12.38 （万元），即估计使
14、用万元），即估计使用10年时维护费用是年时维护费用是12.38万元。万元。2.3.2 两个变量的线性关系例例1：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：天气温的对比表：1、画出散点图；、画出散点图；2、从散点图中发现气温与热饮销售、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；杯数之间关系的一般规律；3、求回归方程；、求回归方程；4、如果某天的气温是、如果某天的气温是2摄氏度，预测摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。这天卖出
15、的热饮杯数。2.3.2 两个变量的线性关系1、散点图、散点图2、从图、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。出去的热饮杯数越少。2.3.2 两个变量的线性关系3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式因此利用公式1求出回归方程的系数。求出回归方程的系数。 Y= -2.352x+147.7674、当、当x=2时，时，Y=143.063 因此，某天的气温为因此，某天的气温为2摄氏度时，摄氏度时，这天大约可以卖出这天大约可以卖出143杯热饮。杯热饮。2.3.2 两个变量的线性关系
