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1、梁的变形分析与梁的变形分析与 刚度问题刚度问题 上上上上一一一一章章章章的的的的分分分分析析析析结结果果果果表表表表明明明明，在在在在平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的情情情情形形形形下下下下，梁梁梁梁的的的的轴轴线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成平平平平面面面面曲曲曲曲线线。如如如如果果果果变变形形形形太太太太大大大大，也也也也会会会会影影影影响响响响构构构构件件件件正正正正常常常常工工工工作作作作。因因因因此此此此，对对机机机机器器器器中中中中的的的的零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件以以以以及及及及土土土土木木木木工工工工程程程程中中中中的的的的结结构构构构构构构构件件件件
2、设设计计时时，除除除除了了了了满满足足足足强强度度度度要要要要求求求求外外外外，还还必必必必须须满满足足足足一一一一定定定定的的的的刚刚度度度度要要要要求求求求，即即即即将将将将其其其其变变形形形形限限限限制制制制在在在在一一一一定定定定的的的的范范范范围围内内内内。为为此此此此，必必必必须须分分分分析析析析和和和和计计算梁的算梁的算梁的算梁的变变形。形。形。形。 另另另另一一一一方方方方面面面面，某某某某些些些些机机机机械械械械零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件，则则要要要要求求求求有有有有较较大大大大的的的的变变形形形形，以以以以减减减减少少少少机机机机械械械械运运运运转转时时所所所
3、所产产生生生生的的的的振振振振动动。汽汽汽汽车车中中中中的的的的钣钣簧簧簧簧即即即即为为一一一一例例例例。这这种种种种情情情情形形形形下下下下也也也也需需需需要要要要研研研研究究究究变变形。形。形。形。 此外，求解静不定梁，也必此外，求解静不定梁，也必此外，求解静不定梁，也必此外，求解静不定梁，也必须须考考考考虑虑梁的梁的梁的梁的变变形以建立形以建立形以建立形以建立补补充方程。充方程。充方程。充方程。 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题 本本本本章章章章将将将将在在在在上上上上一一一一章章章章得得得得到到到到的的的的曲曲曲曲率率率率公公公公
4、式式式式的的的的基基基基础础上上上上，建建建建立立立立梁梁梁梁的的的的挠挠度度度度曲曲曲曲线线微微微微分分分分方方方方程程程程；进进而而而而利利利利用用用用微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的积积分分分分以以以以及及及及相相相相应应的的的的边边界界界界条条条条件件件件确确确确定定定定挠挠度度度度曲曲曲曲线线方方方方程程程程。在在在在此此此此基基基基础础上上上上，介介介介绍绍工工工工程程程程上上上上常常常常用用用用的的的的计计算算算算梁梁梁梁变变形形形形的的的的叠叠叠叠加加加加法法法法。此此此此外外外外，还还将将将将讨讨论论简简单单的的的的静静静静不不不不定定定定梁梁梁梁的求解的求解的求解的
5、求解问题问题。 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 梁的刚度问题梁的刚度问题梁的刚度问题梁的刚度问题 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题
6、梁的位移分析与刚度问题 在在平平面面弯弯曲曲的的情情形形下下，梁梁上上的的任任意意微微段段的的两两横横截截面面绕绕中中性性轴轴相相互互转转过过一一角角度度，从从而而使使梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线，这这一一曲曲线线称称为为梁梁的的挠度曲线挠度曲线（deflectioncurve）。）。梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 根根据据上上一一章章所所得得到到的的结结果果，弹弹性性范范围围内内的的挠挠度度曲曲线线在在一一点点的的曲曲率率与与这这一一点点处处横横截截面面上上的的弯弯矩矩、弯弯曲刚度之间存在下列关系：曲刚度之间存在下列关系： 梁的曲率与位移梁的曲率与位
7、移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形后后后后，横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位置置置置将将将将发发发发生生生生 改改改改 变变变变 ， 这这这这 种种种种 位位位位 置置置置 的的的的 改改改改 变变变变 称称称称 为为为为 位位位位 移移移移( (displacement)displacement)。梁梁梁梁的的的的位位位位移移移移包包包包括括括括三三三三个个个个部部部部分：分：分：分： 横横截截面面形形心心处处的的铅铅垂垂位位移移，称称为为挠挠度度（deflection），用用w表示；表示； 变变形形后后的的横横截截面面相相对对于于变变形
8、形前前位位置置绕绕中中性性轴轴转转过过的的角角度度，称称为为转转角角（slope）用用 表示；表示； 挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 横横截截面面形形心心沿沿水水平平方方向向的的位位移移，称称为为轴轴向向位位移移或或水水平平位位移移（horizontaldisplacement），），用用u表示。表示。 在在小小变变形形情情形形下下，上上述述位位移移中中，水水平平位位移移u与与挠挠度度w相相比比为为高高阶阶小小量量，故故通常不予考虑。通常不予考虑。 挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 在在Oxw坐坐
9、标标系系中中，挠挠度度与与转转角角存存在在下下列列关关系：系： 在在小小变变形形条条件件下下，挠挠曲曲线线较较为为平平坦坦，即即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有w w（x），），称为挠度方程（称为挠度方程（deflectionequation）。）。梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 位位位位移移移移分分分分析析析析中中中中所所所所涉涉涉涉及及及及的的的的梁梁梁梁的的的的变变形形形形和和和和位位位位移移移移，都都都都是是是是弹弹性性性性的的的的。尽尽尽尽管管管管变变形形形形和和和和位位位位移移移移都都都都是是是是弹弹性
10、性性性的的的的，工工工工程程程程设设计计中中中中，对对于于于于结结构构构构或或或或构构构构件件件件的的的的弹弹性性性性位位位位移移移移都都都都有有有有一一一一定定定定的的的的限限限限制制制制。弹弹性性性性位位位位移移移移过过大大大大，也也也也会会会会使使使使结结构构构构或构件或构件或构件或构件丧丧失正常功能，即失正常功能，即失正常功能，即失正常功能，即发发生生生生刚刚度失效。度失效。度失效。度失效。 机机械械传传动动机机构构中中的的齿齿轮轮轴轴，当当变变形形过过大大时时(图图中中虚虚线线所所示示)，两两齿齿轮轮的的啮啮合合处处将将产产生生较较大大的的挠挠度度和和转转角角，这这不不仅仅会会影影响
11、响两两个个齿齿轮轮之之间间的的啮合，以致不能正常工作。啮合，以致不能正常工作。 同同时时，还还会会加加大大齿齿轮轮磨磨损损，同同时时将将在在转转动动的的过过程程中中产产生生很很大大的的噪声。噪声。 此此外外，当当轴轴的的变变形形很很大大使使，轴轴在在支支承承处处也也将将产产生生较较大大的的转转角角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 工工工工程程程程设设计计中中中中还还有有有有另另另另外外外外一一一一类类问问题题，所所所所考考考考虑虑
12、的的的的不不不不是是是是限限限限制制制制构构构构件件件件的的的的弹弹性性性性位位位位移移移移，而而而而是是是是希希希希望望望望在在在在构构构构件件件件不不不不发发生生生生强强度度度度失失失失效效效效的的的的前前前前提提提提下下下下，尽尽尽尽量量量量产产生生生生较较大大大大的的的的弹弹性性性性位位位位移移移移。例例例例如如如如，各各各各种种种种车车辆辆中中中中用用用用于于于于减减减减振振振振的的的的板板板板簧簧簧簧，都都都都是是是是采采采采用用用用厚厚厚厚度度度度不不不不大大大大的的的的板板板板条条条条叠叠叠叠合合合合而而而而成成成成，采采采采用用用用这这种种种种结结构构构构，板板板板簧簧簧簧既
13、既既既可可可可以以以以承承承承受受受受很很很很大大大大的的的的力力力力而而而而不不不不发发生生生生破破破破坏坏坏坏，同同同同时时又又又又能能能能承承承承受受受受较较大大大大的的的的弹弹性性性性变变形形形形，吸吸吸吸收收收收车车辆辆受受受受到到到到振振振振动动和和和和冲冲冲冲击击时时产产生生生生的的的的动动能能能能，受受受受到到到到抗抗抗抗振振振振和和和和抗抗抗抗冲冲冲冲击击的效果。的效果。的效果。的效果。 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学
14、中的曲率公式数学中的曲率公式小挠度微分方程小挠度微分方程 小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w w坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。 0 0 0小挠度微分方程小挠度微分方程 小挠度微分方程小挠度微分方程 本书采用向下的本书采用向下的w坐标系，有坐标系，有 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写
15、出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程MM( (x x) )，代入上代入上代入上代入上式后，分别对式后，分别对式后，分别对式后，分别对x x作不定积分作不定积分作不定积分作不定积分, ,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：得到包含积分常数的挠度方程与转角方程： 其中其中其中其中C C、D D为积分常数。为积分常数。为积分常数。为积分常数。 小挠度微分方程小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分
16、与积分常数的确定 积积分分分分法法法法中中中中常常常常数数数数由由由由梁梁梁梁的的的的约约束束束束条条条条件件件件与与与与连连续续条条条条件件件件确确确确定定定定。约约束束束束条条条条件件件件是是是是指指指指约约束束束束对对于于于于挠挠度和度和度和度和转转角的限制：角的限制：角的限制：角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w w=0;=0; 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光连续条件是指，梁在弹性范围内加载
17、，其轴线将弯曲成一条连续光连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：转角对应相等：转角对应相等：转角对应相等：w w1 1= = w w2 2，1 1 1 12 2 2 2等等。等等。等等。等等。 在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：在固定端处，约束
18、条件为挠度和转角都等于零：在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w w=0=0，0 0。PABCPD支点位移条件：支点位移条件：连续条件：连续条件：光滑条件：光滑条件：C小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。可应用于求解承受适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界
19、条件、连续条件）确定。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定例例例例 题题题题求：求：求：求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。度和最大转角。已知：已知：已知：已知：左端固定右端左端固定右端自由的悬臂梁承受均布自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为载荷。均布载荷集度为q，梁的弯曲刚
20、度为梁的弯曲刚度为EI 、长度为长度为l。q、EI 、l均已均已知。知。解：解：解：解：1 1建立建立建立建立OxwOxw坐坐坐坐标标系系系系 建立建立Oxw坐标系如图所示。因为梁上坐标系如图所示。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。22建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程O Ox xw w例例例例 题题题题 从坐标为从坐标为x的任意截面处截的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的考虑截面左侧
21、平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方右侧部分的平衡，得到弯矩方程：程：解：解：解：解：2 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程xMM( (x x) )F FQQ( (x x) )3 3 建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并积积分分分分将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得得例例例例 题题题题积分后，得到积分后，得到3 3 建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并积积分分分分例例例例 题题题题解：解：解：解： 4 4 利用利用利用利用约约束条件
22、确定束条件确定束条件确定束条件确定积积分常数分常数分常数分常数固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为：例例例例 题题题题解：解：解：解： 5 5 确定确定确定确定挠挠度与度与度与度与转转角方程角方程角方程角方程解：解：解：解： 6 6 确定最大确定最大确定最大确定最大挠挠度与最大度与最大度与最大度与最大转转角角角角 从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角均最大值。从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角均最大值。 于是，将于是，将 x =l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：分别代入挠度方程与转角方程，得到：例例例例 题题题题求：求：求：求：加力点加力点B的挠度和支承的挠
23、度和支承A、C处的转角。处的转角。已知：已知：已知：已知：简支梁受力如图示。简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。均为已知。例例例例 题题题题解：解：解：解：1 1 确定梁确定梁确定梁确定梁约约束力束力束力束力22 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程ABAB段段段段 BCBC段段段段 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为例例例例 题题题题解：解：解：解： 3 3 将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小挠挠度微分方程并分度微分方程并分度微分方程并分度微分方程并分别积别积分分分分 积分后
24、，得积分后，得其中，其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与段与BC段梁段梁交界处的连续条件确定确定。交界处的连续条件确定确定。例例例例 题题题题解：解：解：解： 4 4 利用利用利用利用约约束条件和束条件和束条件和束条件和连续连续条件条件条件条件确定确定确定确定积积分常数分常数分常数分常数 在支座在支座A、C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x0，w10;xl，w20因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与段与BC段梁交界处段梁交界处的挠度和转角必须分别相等的挠度和转角必须分别相
25、等: :xl/4，w1w2;xl/4， 1 1= = 2例例例例 题题题题解：解：解：解： 4 4 利用利用利用利用约约束条件和束条件和束条件和束条件和连续连续条件条件条件条件确定确定确定确定积积分常数分常数分常数分常数 x0，w10;xl，w20xl/4，w1w2;xl/4， 1 1= = 2D1D2=0例例例例 题题题题解：解：解：解： 5 5 确定确定确定确定转转角方程和角方程和角方程和角方程和挠挠度方程以及指度方程以及指度方程以及指度方程以及指定横截面的定横截面的定横截面的定横截面的挠挠度与度与度与度与转转角角角角 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得到梁的得到梁的转角和挠
26、度方程为：转角和挠度方程为：ABAB段段段段 BCBC段段段段 据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角分别为的转角分别为例例例例 题题题题 确定约束力确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角与转角积分法小结积分法小结 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角
27、 在在在在很很很很多多多多的的的的工工工工程程程程计计计计算算算算手手手手册册册册中中中中，已已已已将将将将各各各各种种种种支支支支承承承承条条条条件件件件下下下下的的的的静静静静定定定定梁梁梁梁，在在在在各各各各种种种种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。 基基基基于于于于杆杆杆杆件件件件变变变变形形形形后后后后其其其其轴轴轴轴线线线线为为为为一一一一光光光光滑滑滑滑连连连连续续续续曲曲曲曲线线线线和和和和
28、位位位位移移移移是是是是杆杆杆杆件件件件变变变变形形形形累累累累加加加加的的的的结结结结果果果果这这这这两两两两个个个个重重重重要要要要概概概概念念念念，以以以以及及及及在在在在小小小小变变变变形形形形条条条条件件件件下下下下的的的的力力力力的的的的独独独独立立立立作作作作用用用用原原原原理理理理，采采采采用用用用叠叠叠叠加加加加法法法法（superposition superposition superposition superposition methodmethodmethodmethod）由由由由现现现现有有有有的的的的挠挠挠挠度度度度表表表表可可可可以以以以得得得得到到到到在在在在
29、很很很很多多多多复复复复杂杂杂杂情形下梁的位移。情形下梁的位移。情形下梁的位移。情形下梁的位移。叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 当当当当梁梁梁梁上上上上受受受受有有有有几几几几种种种种不不不不同同同同的的的的载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用时时时时，都都都都可可可可以以以以将将将将其其其其分分分分解解解解为为为为各各各各种种种种载载载载荷荷荷荷单单单单独独独独作作作作用用用用的的的的情情情情形形形形，由由由由挠挠挠挠度度度度表表表表查查查查得得得得这这这这些些些些情情情情形形形形下下下下的的的的挠挠挠挠度
30、度度度和和和和转转转转角角角角，再再再再将将将将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。 已知已知已知已知：简支梁受力如图简支梁受力如图示，示，q、l、EI均为已知。均为已知。求求求求：C截面的挠度截面的挠度wC ；B截面的转角截面的转角 B叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 例题例题例题例题例题例题例题例题解：解：解：解：1. .将梁上的载荷变为将梁上的载荷变为3种
31、种简单的情形。简单的情形。解：解：解：解：2. .由挠度表查得由挠度表查得3种情形下种情形下C截截面的挠度面的挠度；B截面的转角截面的转角。例题例题例题例题例题例题例题例题解：解：解：解：3.应用叠加法，将简单载荷作用应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，分别将上述结果按代数值相加，分别得到梁得到梁C截面的挠度和支座截面的挠度和支座B处的转处的转角角: :叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的
32、要求，可对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载
33、荷，最后应用叠加布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。法。法。法。 例题例题例题例题已知已知已知已知：悬臂梁受力如悬臂梁受力如图示，图示，q、l、EI均为已均为已知。知。求求求求：C截面的挠度和截面的挠度和转转角角wC 和和 C解：解：解：解：1. . 首先，将梁上的载荷变成有首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形表可查的情形 为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，
34、在变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。均布载荷。例题例题例题例题两种情形下自由端的挠度和转角分别两种情形下自由端的挠度和转角分别为为 解：解：解：解：2 2再将处理后的梁分解为简单载荷再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。度和转角。 例题例题例题例题解：解：解：解：3 3将简单载荷作用的结果叠加将简单载荷作用的结果叠加例题例题例题例题结构形式叠加（逐段刚化法结构形式叠加（逐段刚化法) )=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价等价等价xfxffPL1L2A
35、BC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxfPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的杆的E=210GPa，求求C点点的转角与挠度的转角与挠度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM例题例题P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3解：解：1 1 结构变换，查表求简单结构变换，查表求简单 载荷变形。载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDC
36、P2BCDAMxf例题例题P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形例题例题计算结果计算结果例题例题刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的
37、挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。大会增加轴承的磨损等等。大会增加轴承的磨
38、损等等。大会增加轴承的磨损等等。 梁的梁的梁的梁的刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角件的不同工艺要求，将最大挠度和转角件的不同工艺要求，将最大挠度和转角件的不同工艺要求，将最大挠度和转角( ( ( (或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角) ) ) )限制在一定范围内，即满足
39、弯曲刚度条件：限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件： 上述二式中上述二式中上述二式中上述二式中 w w 和和和和 分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。或构件的工艺要求而确定。或构件的工艺要求而确定。或构件的工艺要求而确定。 已知：已知：已知：已知：钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20kN，alm，l2m，E=206GPa，其他尺寸如
40、图所示。规定轴承其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角处的许用转角 =0.5。试：试：试：试：根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。B例题例题例题例题解：解：解：解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。 B 1 1 1 1查表确定查表确定查表确定查表确定B B B B处的转角处的转角处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为处的转角为例题例题2
41、2 2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，根据设计要求，其其中中， 的的单单位位为为rad（弧弧度度），而而 的的单单位位为为（）（度度），考考虑虑到到单单位位的的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数静不定次数静不定次数静不定次数静不定次数未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差
42、未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构静定问题与静定结构静定问题与静定结构静定问题与静定结构未知力（内力或外力）个数未知力（内力或外力）个数未知力（内力或外力）个数未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数等于独立的平衡方程数等于独立的平衡方程数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构未知力个数多于独立未知力个数多于独立未知力个数多于独立未知力个数多于独立 的平衡方程数的平衡方程数的平衡方程数的平衡方程数多余约束多余约束多余约束多余约束保持结构静定保持结构静定保持结构静定保持结构静定多余的约束多余的约束多余的约束
43、多余的约束求解静不定问题的基本方法求解静不定问题的基本方法根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（即建立几何方程，称为变形协调方程（即
44、建立几何方程，称为变形协调方程（即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibilityequationcompatibilityequation）, ,并建立并建立并建立并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutiveequationsconstitutiveequations）。）。）。）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需将这二者联立才能找到求解静不定问题所需将这二者联立才能找到求解静不定问
45、题所需将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。的补充方程。的补充方程。的补充方程。可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第8 8章中分析正应力的方法章中分析正应力的方法章中分析正应力的方法章中分析正
46、应力的方法是相似的。是相似的。是相似的。是相似的。3-3=04-3=1MA ABFAyFAx ABMAFAyFAxFB多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量 由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自
47、由端由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B B处水平处水平处水平处水平位移位移位移位移u u=0=0。既然既然既然既然u u=0=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即处便不会产生水平约束力，即处便不会产生水平约束力，即处便不会产生水平约束力，即F FAxAx F FBxBx=0=0。因此，求解这种静不定问题只因此，求解这种静不定问题只因此，求解这种
48、静不定问题只因此，求解这种静不定问题只需需需需1 1个补充方程。可以写出变形协调方程为个补充方程。可以写出变形协调方程为个补充方程。可以写出变形协调方程为个补充方程。可以写出变形协调方程为FBxBl AMAFAyFAxFBy应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量F FAxAx=F FBxBx= = 0,0,F FAyAy=F FByBy= q l / = q l / 2 2 , ,MMA A=M=MB B对于两端固定的梁，同样有对于两端固定的梁，同样有对于两端固定的梁，同样有对于两端固定的梁，同样有F F
49、BxBx=0=0，但这时的多余约束力除但这时的多余约束力除但这时的多余约束力除但这时的多余约束力除F FByBy外，又增加了外，又增加了外，又增加了外，又增加了MMB B。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：而且外加载荷也是
50、对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定： MBBl AMAFAyFAxFBxFBy 与未知力偶与未知力偶与未知力偶与未知力偶MMB B对应的约束是对截面对应的约束是对截面对应的约束是对截面对应的约束是对截面B B转角的限制，故这种情形下的变形协调方转角的限制，故这种情形下的变形协调方转角的限制，故这种情形下的变形协调方转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为程为程为程为 求求求求: : : : 梁的约束力梁的约束力梁的约束力梁的约束力已知：已知：已知：已知：A A端固定、端固定、端固定、端固定、B B端铰支梁的弯曲刚度为端铰支
51、梁的弯曲刚度为端铰支梁的弯曲刚度为端铰支梁的弯曲刚度为EIEI、长度为长度为长度为长度为l lFBxBl AMAFAyFAxFBy例题例题解：解：解：解：1 1、平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程: :FAy+FBy -ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=02 2、变形协调方程：变形协调方程：变形协调方程：变形协调方程： wB=wB(q)+wB(FBy)=03 3、物性关系：物性关系：物性关系：物性关系：w wB B( (q q)=)=qlql4 4/8/8EIEIw wB B( (F FByBy)=)=- - - - F Fbybyl l 33/3/3EIEIwB(q)wB(FBy)B
52、l AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFB例题例题解：解：解：解：4 4、综合求解综合求解综合求解综合求解FAy+FBy -ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=- - Fbyl 3/3EI 由平衡方程、由平衡方程、由平衡方程、由平衡方程、变形协调方程、变形协调方程、变形协调方程、变形协调方程、物性关系联立解出物性关系联立解出物性关系联立解出物性关系联立解出: :F FBy By = =3 3ql /ql /8,8,F FAxAx= =0,0,MMA A=qlql22/ /8 8F FAy Ay =
53、=5 5ql /ql /8,8,FBxBl AMAFAyFAxFBy例题例题几何方程几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：确立基本静定梁确立基本静定梁=结构如图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCxfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB例题例题例题例题=LBCxfq0LRBABCRBAB+物理方程：变形与力的关系物理方程：变形与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）求解其它问题（反力、应力、变形等）q0AB结论与讨论结论与讨论二梁的受力二梁的受力( (包括载荷与约束力包括载荷与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相
54、同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？关于变形和位移的相依关系关于变形和位移的相依关系关于变形和位移的相依关系关于变形和位移的相依关系 BCBC段有没有变形？有没有位移？段有没有变形？有没有位移？段有没有变形？有没有位移？段有没有变形？有没有位移？没有变形为什么会有位移？没有变形为什么会有位移？没有变形为什么会有位移？没有变形为什么会有位移？FPABC总体变形是微段变形累加的结果总体变形是微段变形累加的结果总体变形是微段变形累加的结果总体变形是微段变形累加的结果; ; ; ;有位移不一定有变形。有位移不一定有变形。有位移不一定有变形。有位移不一定有
55、变形。关于变形和位移的相依关系关于变形和位移的相依关系关于变形和位移的相依关系关于变形和位移的相依关系 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论由由由由MM 的方向确定轴线的凹凸性的方向确定轴线的凹凸性的方向确定轴线的凹凸性的方向确定轴线的凹凸性; ; ; ;由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。形状及位置。形状及位置。形状及位置。关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 结论与讨论结论与讨论关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲
56、线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 结论与讨论结论与讨论关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 结论与讨论结论与讨论关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状大致形状结论与讨论结论与讨论关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 结论与讨论结论与讨论关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线 判断挠度中点大小，决定挠曲线的大
57、致形状判断挠度中点大小，决定挠曲线的大致形状 提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（EIEI）有关。有关。 提高刚度的途径提高刚度的途径 对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方量级成比例。量级成比例。 因此因此, ,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩减小弹性位移除
58、了采用合理的截面形状以增加惯性矩I I 外，外，主要是减小梁的长度主要是减小梁的长度l l，当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。结论与讨论结论与讨论 因此因此, ,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I I 外，主外，主要是减小梁的长度要是减小梁的长度l l，当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。 例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架 提高刚度的途径：增加中间支座提高刚度的途径：增加中间支座提高刚度的途径：增加中间支座提高刚度的途径：增加中间支座 结论与讨论结论与讨论
