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1、统统 计计 学学statistics李欣先李欣先 Email:8/15/20241经济管理学院经济管理学院某市准备通过考试招聘某市准备通过考试招聘300名公务员，其中名公务员，其中280名正式工，名正式工，20名实习工。实际报考名实习工。实际报考人数为人数为1657名，考试满分名，考试满分400分，考后分，考后不久，通过当地新闻媒体得到如下信息：不久，通过当地新闻媒体得到如下信息：考试平均成绩是考试平均成绩是166分，分，360分以上的高分以上的高分考生分考生31名。某考生名。某考生A的成绩为的成绩为256分。分。他能被录取吗？若被录取，能否是正式他能被录取吗？若被录取，能否是正式工？工？8/
2、15/20242经济管理学院经济管理学院 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律。但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便。 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高。如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断。2 随机变量的数学期望随机变量的数学期望8/15/20243经济管理学院经济管理学院5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到
3、的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:2.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 8/15/20244经济管理学院经济管理学院 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值。由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值。 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念。8/15/20245经济管理学院经济管理学院 定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期
4、望,记为E(X) 如果则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在。8/15/20246经济管理学院经济管理学院所以A的射击技术较B的好。0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称 例例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为8/15/20247经济管理学院经济管理学院 例例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X)。解解 虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在。8/15/20248经济管理学院经济管理学院2.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数
5、学期望为E(X)=自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点x0x1xn+1则随机变量X落在xi=(xi, xi+1)中的概率为与X近似的随机变量Y的数学期望为由微积分知识自然想到X的数学期望为8/15/20249经济管理学院经济管理学院为连续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期望,记为记为E(X)。 定义定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则称 如果则称连续型随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在。8/15/202410经济管理学院经济管理学院 例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解8/15/202411经济管理
6、学院经济管理学院 例例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在？解解所以E(X)不存在。但8/15/202412经济管理学院经济管理学院3 随机变量的方差随机变量的方差 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律： 易知E(XA)=E(XB)=0。由数学期望无法判别两种手表的优劣。但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?3.1 方差的概念方差的概念 8/15/202413经济管理学院经济管理学院分析原因：分析原因： A手表之所以优于手表之所以优于B手表手表,是因为是因为A手表的日走时较手表的日走时较B手表稳定。其日手表稳定。其日走
7、时与其日平均误差的偏离程度小。走时与其日平均误差的偏离程度小。 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的。 怎么样去度量这个偏离程度呢? (1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差; (2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差; (3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便; (4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便。8/15/202414经济管理学院经济管理学院 定义：定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差。记为D(X)或Var(X),即D(X)= Var(X)= EX
8、-E(X)2称为X的标准差标准差或均方差均方差。 定理定理:证明证明 D(X)=EX-E(X)2 =EX2 -2XE(X)+ E(X)2 = E(X2)-2E(X)E(X)+ E(X)2 = E(X2)- E(X)28/15/202415经济管理学院经济管理学院 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0。所以由于D(XA)D(XB),因此A手表较B手表的质量好。8/15/202416经济管理学院经济管理学院 例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X)。 解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/68/15/2
9、02417经济管理学院经济管理学院 定理（契比雪夫定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）不等式）:设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2 ,则对于任意正数,有3.3 契比雪夫契比雪夫(Chebyshev)不等式不等式8/15/202418经济管理学院经济管理学院证明证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有(2)设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,则有8/15/202419经济管理学院经济管理学院 例例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界。解解8/15/202420经济管理学院经济管理学院
10、4.1.1（0-1）分布数学期望）分布数学期望 设X的分布列为： X01Pqp则 其中4 常用离散分布的数学期望和方差常用离散分布的数学期望和方差8/15/202421经济管理学院经济管理学院4.1.2（0-1）分布的方差）分布的方差 定理：定理：若PX=0=q,PX=1=p,则D(X)=pq.证明证明8/15/202422经济管理学院经济管理学院4.2.1 二项分布数学期望二项分布数学期望 定理定理:设随机变量X服从二项分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=np。证明证明8/15/202423经济管理学院经济管理学院4.2.2 二项分布的方差二项分布的方差 定理定理:若随机变量X服从二项分
11、布XB(n,p),则 D(X)=npq。证明证明8/15/202424经济管理学院经济管理学院4.3.1 泊松分布数学期望泊松分布数学期望 证明: 定理定理:设随机变量X服从泊松分布,即则随机变量X的数学期望E(X)= .8/15/202425经济管理学院经济管理学院4.3.2 泊松分布的方差泊松分布的方差 定理：定理：设随机变量X服从泊松分布X(),则 D(X)=。证明证明8/15/202426经济管理学院经济管理学院4.4 超几何分布超几何分布 则称X服从超几何分布，记为8/15/202427经济管理学院经济管理学院既然 我们实际上证明了 8/15/202428经济管理学院经济管理学院4.
12、4.1 超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望 设8/15/202429经济管理学院经济管理学院4.4.2 超几何分布的方差超几何分布的方差 8/15/202430经济管理学院经济管理学院例:袋袋中中有有红红球球,黄黄球球,蓝蓝球球各各一一个个.从从中中有有放放回回地地每每次次任任取取一一个个,直直到到取取到到红红球球为为止止.试试求求取取球球次次数数X的的概概率率分分布布,以以及及第第4次次首首次次取取到到红红球球的的概率。概率。 解解:有放回地取球,每次取到红球的概率为p=1/3. 所以取球次数X的概率分布为 PX=k=(1-1/3)k-1/3, k=1,2, 第4次首次取到红球的概率是
13、PX=4= (1-1/3)3/3=8/814.5 几何分布几何分布8/15/202431经济管理学院经济管理学院4.5.1 几何分布的数学期望几何分布的数学期望定理：定理：设随机变量X服从几何分布,即证明证明 其中0q=1-p0, D(Y)0时，时， 称为随机变量称为随机变量X与与Y的的相关系数相关系数。 注释： (1)Cov(X，Y)作为X-E(X)Y-E(Y)的均值，依赖于X，Y 的度量单位，选择适当的单位使X，Y的方差是1，协方 差就是相关系数，这能更好的反映X，Y之间的关系，而 不受所用单位的影响。 8/15/202439经济管理学院经济管理学院(2)(2)XY是一比例常数，并有定义：
14、是一比例常数，并有定义：XY=0 =0 X X，Y Y不相关不相关。 (3) (3) XY又称为又称为标准协方差标准协方差。因为设。因为设 一般地，数学期望为0，方差为1的随机变量的分布称为标准分布，故XYXY又称为标准协方差。 8/15/202440经济管理学院经济管理学院2.2.关系公式关系公式: : ( (1) 协方差与方差的关系：协方差与方差的关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) (2) 协方差与数学期望的关系：协方差与数学期望的关系：Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 我们常用这个公式计算协我们常用这个公式计算协方差。方差。 (3) 若若X，Y独立，
15、则独立，则Cov(X，Y)=0,但反之不成立。但反之不成立。3协方差与相关系数的协方差与相关系数的性质性质 协方差具有下述性质：协方差具有下述性质： (1) Cov(X，Y)= Cov(Y，X)；(2) Cov(aX，bY)= abCov(X，Y)； 8/15/202441经济管理学院经济管理学院(3) Cov(X1+X2，Y)= Cov(X1，Y)+ Cov(X2，Y)相关系数具有下述性质：相关系数具有下述性质：(1)|(1)|XYXY|1 ;|1 ;证：证： 由柯西一许瓦兹不等式知由柯西一许瓦兹不等式知 所以 |XYXY|1。 8/15/202442经济管理学院经济管理学院(2) |(2)
16、 |XYXY| |= =1 1 存在存在常数常数a,b使使PY=aX+b=1. 意义 |XYXY|=1|=1当且仅当当且仅当Y Y跟跟X X几乎有线性关系。这在几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相关系数的概率意义。一定程度上说明了相关系数的概率意义。XYXY并不是并不是刻画刻画X X，Y Y之间的之间的“一般一般”关系，而只是刻画关系，而只是刻画X X，Y Y之之间线性相关的程度。间线性相关的程度。4 4计算：计算： (1)(1)用定义求：若用定义求：若X X，Y Y为离散型随机变量为离散型随机变量 若X，Y为连续型随机变量 8/15/202443经济管理学院经济管理学院(2)(2)用公式：
17、用公式： 例1 若X、Y的E(X)=-2,E(Y)=4, D(X)=4, D(Y)=9,分别在(1) X、Y相互独立，(2) XY=0.5的条件下，求 E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3). 解：(1)因为X、Y相互独立，所以E(XY)= E(X) E(Y)；E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3)= 3 E(X2)-2E(X)E(Y)+ E(Y2)-3 =3D(X)+E(X)2-2E(X)E(Y)+D(Y)+E(Y)2-3=62； 8/15/202444经济管理学院经济管理学院5 5定义 若若X与与Y的相关系数的相关系数XY=0，则称则称X与与Y不相关不相关。 假设随机变量假设随机变量X，Y的相关系数的相关系数XY存在，当存在，当X与与Y相互独立时相互独立时,XY=0,即即X与与Y不相关，反之若不相关，反之若X与与Y不相关，不相关，X与与Y却不一定相互独立。却不一定相互独立。8/15/202445经济管理学院经济管理学院7 7 分布的其他特征数分布的其他特征数7.1 k7.1 k阶矩阶矩8/15/202446经济管理学院经济管理学院7.2 7.2 分位数分位数8/15/202447经济管理学院经济管理学院下侧分位下侧分位数数8/15/202448经济管理学院经济管理学院8/15/202449经济管理学院经济管理学院
