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1、考点一考点一函数的模型及实际应用函数的模型及实际应用考点清考点清单考向基础考向基础1.三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=x(0)在区间(0,+)上,无论比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于x,但由于y=ax的增长速度快于y=x的增长速度,因而总存在
2、一个x0,使xx0时有axx.(2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=x(0)不论a与值的大小如何,对数函数y=logax(a1)的增长速度总会慢于y=x的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有logaxx0时有axxlogax.3.几种常见的函数模型几种常见的函数模型(1)直线模型:一次函数模型y=kx+b(k0).图象增长的特点是直线式上升(x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k0).(2)反比例函数模型:y=(k0),增长特点是在单调区间内y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,且a0),其增长特点
3、是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(b1,且a0).常形象地称之为“指数爆炸”.(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,且m0),增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(a1,且m0).常形象地称之为“蜗牛式增长”.(5)幂函数模型:y=axn+b(a0),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx+c(a0).其特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a0).(6)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+(a0,且x0)的函数模型,在现实生活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”求最值,有时也利用函数的单调性.考向突破考向突破考向考向函数的实际应用函
4、数的实际应用例例当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11解析解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为,由题意得0.给出下列命题:f(3)=0;直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;函数y=f(x)在-9,-6上为增函数;函数y=f(x)在-9,9上有四个零点.其中正确命题的序号为.(把所有正确命题的
5、序号都填上)考向考向函数的综合应用函数的综合应用考向突破考向突破解析解析对于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),故f(-3)=0.又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.由知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),所以f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.因为当x1,x20,3,且x1x2时,有0,所以函数y=f(x)在0
6、,3上为增函数,因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在-3,0上为减函数,又f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在-9,-6上为减函数.由f(3)=0,f(x)的周期为6,得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,所以函数y=f(x)在-9,9上有四个零点.故答案为.答案答案方法方法函数模型的实际应用问题函数模型的实际应用问题解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:方法技巧方法技巧例例物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta),其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88热水冲的速溶咖啡,放在24的房间中,如果咖啡降到40需要20分钟,那么此杯咖啡从40降温到32,还需要分钟.解题导引解题导引解析解析由已知可得Ta=24,T0=88,T=40,由40-24=(88-24),解得h=10,当咖啡从40降温到32时,可列方程32-24=(40-24),解得t=10.故还需要10分钟.答案答案10
