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1、第二章第二章 量子力学原理量子力学原理()()波函数和波函数和 SchrSchrdinger dinger 方程方程2.1 2.1 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 2.3 Schr2.3 Schrdinger dinger 方程方程2.4 2.4 定态定态2.5 2.5 一维定态问题一维定态问题假设一假设一 微观体系的运动状态由相应的微观体系的运动状态由相应的 归一化波函数描述归一化波函数描述 假设二假设二 微观体系的运动状态波函数随时间微观体系的运动状态波函数随时间 的变化规律遵从薛定谔方程的变化规律遵从薛定谔方程假设三假设三 力学量由相应的线性厄
2、密算符表示力学量由相应的线性厄密算符表示假设四假设四 力学量算符之间有确定的对易关力学量算符之间有确定的对易关 系系, ,称为量子条件称为量子条件. .基本量子条件基本量子条件假设五假设五 全同的多粒子体系的波函数对于任全同的多粒子体系的波函数对于任 意一对粒子交换而言具有对称性意一对粒子交换而言具有对称性 玻色子；费米子玻色子；费米子量子力学的五条假设量子力学的五条假设2.1 2.1 波函数及其统计解释波函数及其统计解释2.1-1 2.1-1 波函数波函数2.1-2 2.1-2 波函数的统计解释波函数的统计解释2.1-3 2.1-3 波函数的归一化波函数的归一化2.1-4 2.1-4 粒子动
3、量取值的几率分布粒子动量取值的几率分布2.1-5 2.1-5 坐标和动量的期望值坐标和动量的期望值2.1-6 2.1-6 量子态；量子力学的第一条假设量子态；量子力学的第一条假设例：动量为例：动量为 , ,能量能量 的自由粒子的自由粒子此为自由粒子此为自由粒子( (单色平面波单色平面波) )的波函数的波函数2.1-1 波函数波函数量子力学用坐标量子力学用坐标 和时间和时间 的复函数的复函数 来描述来描述粒子的波动状态粒子的波动状态, ,称称 为波函数为波函数 其波矢其波矢 角频率角频率伴随着单色平面波动伴随着单色平面波动. . 描述单色平面波的函数为描述单色平面波的函数为不再是常量不再是常量,
4、 ,粒子的状态用较复杂的波描写，粒子的状态用较复杂的波描写，一般记为：一般记为：2.1-2 波函数的统计解释波函数的统计解释如果粒子处于一个如果粒子处于一个力场力场中运动，粒子动量和能量中运动，粒子动量和能量电子源电子源感感光光屏屏PPOQQO证实证实波动性波动性电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。增加呈现出衍射花纹。单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 长时间单个电子衍射实验长时间单个电子衍射实验l衍射图样反映是波的强度衍射图样反映是波的强度l电子数目的分布电子数目的分布波动性看波动性看粒子性看粒子性看波函
5、数的波恩统计解释波函数的波恩统计解释 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在该点附近的几率正比于电子出现在该点附近的几率感光片上感光片上, , 某一某一 点附近衍射图样的强度点附近衍射图样的强度粒子的运动状态用波函数粒子的运动状态用波函数 来描述，来描述，时刻时刻 波在空间一点波在空间一点 的强度的强度 正比于该时刻粒子在该点正比于该时刻粒子在该点 出现的几率出现的几率 表示表示( (正比正比) )在在 点处，点处，体积元体积元 中找到粒子的几率中找到粒子的几率Born 1926Born 1926
6、年提出了年提出了波函数的统计解释波函数的统计解释 (1)(1)描写粒子的波可以认为是几率波描写粒子的波可以认为是几率波. .粒子本身是粒子本身是 完整的完整的, ,但运动没有轨道但运动没有轨道, ,任一时刻粒子在空间各任一时刻粒子在空间各点都有出现的几率点都有出现的几率; ;(2)(2)波函数本身没有物理意义波函数本身没有物理意义, ,波的强度波的强度 有物理意义有物理意义: : 表示粒子在表示粒子在t t时刻在空间各点出现时刻在空间各点出现的几率分布的几率分布. .（1 1）归一化条件）归一化条件在任意时刻在全空间找到粒子的几率应为在任意时刻在全空间找到粒子的几率应为1 1，即要求波函数满足
7、即要求波函数满足归一化条件归一化条件：若若波函数波函数不满足归一化条件不满足归一化条件, ,则将波函数乘以归一化常数则将波函数乘以归一化常数N,N,波函数的归一化波函数的归一化解出解出2.1-3 波函数归一化波函数归一化归一化的归一化的波函数为波函数为: :使得使得归一化的波函数为归一化的波函数为: :则取则取或令或令归一化后，在归一化后，在 时刻，时刻， 点，点， 体积元内体积元内找到由波函数找到由波函数 描写的粒子的几率是描写的粒子的几率是（2 2）几率和几率密度）几率和几率密度在在 时刻，时刻， 点附近单位体积元点附近单位体积元 内找到粒子的几率内找到粒子的几率几率密度几率密度 波函数乘
8、上一个常数波函数乘上一个常数N N后，所描写的粒子状态不变，后，所描写的粒子状态不变， 即即 描述同一状态描述同一状态因为物理上有意义的是相对几率分布因为物理上有意义的是相对几率分布自由运动粒子自由运动粒子归一化波函数归一化波函数三维空间三维空间注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。子的几率相同。(3)(3)平面波归一化平面波归一化傅立叶变换傅立叶变换2.1-4 2.1-4 粒子动量取值的几率分布粒子动量取值的几率分布逆
9、变换逆变换一一对应一一对应, 同一量子态的不同描述方式同一量子态的不同描述方式若若 已归一化，则已归一化，则 也是归一化的也是归一化的t t时刻粒子出现在时刻粒子出现在 附近附近 体积元内的几率体积元内的几率t t时刻粒子出现在时刻粒子出现在 附近附近 体积元内的几率体积元内的几率物理意义物理意义: :动量取值的几率分布动量取值的几率分布2.1-5 2.1-5 坐标和动量的期望值坐标和动量的期望值（1 1）坐标期望值）坐标期望值设设 是归一化波函数，是归一化波函数， 是粒子出现在是粒子出现在x x处处dxdx线段元内的几率，则坐标的期望值为：线段元内的几率，则坐标的期望值为：三维情况三维情况一
10、维情况一维情况 是粒子动量在是粒子动量在 点取值的几率，点取值的几率，动量动量 的期望值为：的期望值为：这里这里一维情况一维情况（2 2）动量期望值）动量期望值两种方法两种方法1.2.这里：这里：三维情况：三维情况：（3 3）坐标算符）坐标算符动量算符的动量算符的x x分量分量一维情况一维情况三维情况三维情况（4 4）力学量算符）力学量算符 势能，动能，哈密顿函数的算符表示势能，动能，哈密顿函数的算符表示例例: : 一维情一维情况况式中式中把该力学量对应的算符夹在把该力学量对应的算符夹在 和和 之之间间, ,对全空间积分，即对全空间积分，即（5 5）任一力学量的期望值）任一力学量的期望值哈密顿
11、函数哈密顿函数（6 6）角动量算符）角动量算符三个分量三个分量2.1-6 2.1-6 量子态；量子力学的第一条假设量子态；量子力学的第一条假设量子态量子态：微观体系的运动状态。用波函数描述。：微观体系的运动状态。用波函数描述。量子力学的第一条假设量子力学的第一条假设微观体系的运动状态由相应的波函数完全地描述。微观体系的运动状态由相应的波函数完全地描述。波函数归一化后，给出粒子在这个运动状态下，在波函数归一化后，给出粒子在这个运动状态下，在任一时刻任一时刻t 时坐标、动量以及其它所有力学量取值的时坐标、动量以及其它所有力学量取值的几率分布，用它们来统计性地完全确定这个运动状几率分布，用它们来统计
12、性地完全确定这个运动状态。态。lS S2 2开：状态开：状态 强度分布强度分布|2 2| |2 22.2 2.2 态叠加原理态叠加原理电子双缝干涉示意图电子双缝干涉示意图lS S1 1开：状态开：状态强度分布强度分布|1 1| |2 2l1,21,2同时开：状态同时开：状态 强度分布强度分布|2 2PS1S2电子源电子源感感光光屏屏一个电子有一个电子有 和和 两种可能的状态两种可能的状态, ,这两种状态的叠加这两种状态的叠加也是电子的可能状态也是电子的可能状态实验表明实验表明而是而是若若 是微观体系的一系列可能是微观体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加的状态，则这些态的线性叠加 也是体系
13、的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于 态的微观体系，部分的处于态的微观体系，部分的处于 态，部分态，部分的处于的处于 态态.，部分的处于，部分的处于 态，态，.各有各有一定的可能性一定的可能性, , 给出粒子坐标的几率分布给出粒子坐标的几率分布量子力学的态叠加原理量子力学的态叠加原理2.3 Schr2.3 Schrdinger dinger 方程方程2.3-1 2.3-1 方程的引出；方程的引出； 量子力学的第二条假设量子力学的第二条假设2.3-2 2.3-2 几率守恒和几率流密度几率守恒和几率流密度2.3-3 2.3-3 波函数的标准条件波函数的标准条件2.3-1 2.3-1
14、方程的引出；方程的引出； 量子力学的第二条假设量子力学的第二条假设类比经典情况类比经典情况量子情况量子情况1 1t=tt=t0 0 时刻，已知初态是时刻，已知初态是 ，所以波函数，所以波函数 所满足的方程是所满足的方程是 对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。 2 2 要满足态叠加原理，即，要满足态叠加原理，即， 若若 和和 是方程的解，那末是方程的解，那末, , 也应是也应是 该方程的解。这就要求方程应是线性的。该方程的解。这就要求方程应是线性的。3 3方程含普朗克常数方程含普朗克常数4 4对时间一阶微商的波动方程含虚数对时间一阶微商的波动方程含虚数i i5 5方程不能包含状态参量，如方程不能
15、包含状态参量，如 , , 等等 所以方程合理地写成所以方程合理地写成: :能量量纲能量量纲线性算符；能量量纲线性算符；能量量纲(1)(1)自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程自由粒子波函数自由粒子波函数: :这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E E 。将将对坐标二次微商，有：对坐标二次微商，有：上式对时间微商，得：上式对时间微商，得：同理有：同理有：(1)(2)(1)(2)式式相加，有相加，有对自由粒子有对自由粒子有 ，则上式右边为零，则上式右边为零故故和前面公式比较得哈密顿量为和前面公式比较得哈密顿量为如果能量关系式如果能量关系式 写成如下方程形
16、式写成如下方程形式: :作作算符替换（算符替换（4 4式）式）即给出即给出(3)(3)式式启发：启发：SchrSchrdingerdinger方程方程若粒子处于势场若粒子处于势场 中运动，中运动，(2) (2) 势场势场 中的运动粒子中的运动粒子作用波函数上作用波函数上能量能量- -动量关系动量关系作算符替换作算符替换 讨论任一个非相对论性微观体系，不论它是单粒子讨论任一个非相对论性微观体系，不论它是单粒子 体系还是多粒子体系，也不论它有无对应的经典体系，体系还是多粒子体系，也不论它有无对应的经典体系，设它的哈密顿量为设它的哈密顿量为 ( (可以与时间有关可以与时间有关) )，用来表征这，用来
17、表征这个微观体系。假设这个体系的任一运动状态的波函数个微观体系。假设这个体系的任一运动状态的波函数 都满足如下所示的都满足如下所示的SchrSchrdingerdinger方程方程（5 5）量子力学第二条假设）量子力学第二条假设其中其中 对一个粒子而言，对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和在全空间找到它的几率总和应不随时间改变应不随时间改变，即，即几率密度分布几率密度分布2.3-2 2.3-2 几率守恒与几率流密度几率守恒与几率流密度（1 1）几率流密度矢量）几率流密度矢量总几率守恒总几率守恒考虑考虑 SchrSchrdinger dinger 方程及共轭方程：方程及共轭方程：对几率密度分
18、布对时间取微分对几率密度分布对时间取微分注意注意: :(7)(7)令令几率流密度矢量几率流密度矢量（2 2）几率密度分布随时间演化方程）几率密度分布随时间演化方程粒子在空间某处出现的几率不会凭空地增加或减少，粒子在空间某处出现的几率不会凭空地增加或减少，必定通过几率流的方式与空间其它位置进行几率的相必定通过几率流的方式与空间其它位置进行几率的相互传递。互传递。粒子几率守恒的微分表达式粒子几率守恒的微分表达式(7)(7)式可写成式可写成粒子几率守恒的积分表示式粒子几率守恒的积分表示式单位时间内通过单位时间内通过的的封闭表面封闭表面S S流入（面积流入（面积分前面的负号）区域分前面的负号）区域内的
19、几率内的几率闭区域闭区域上找上找到粒子的总几到粒子的总几率在单位时间率在单位时间内的增量内的增量S （3 3）几率守恒的积分表达式）几率守恒的积分表达式在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有中将上式积分，则有令令趋于趋于，积分对全空间进行。考虑粒子在有，积分对全空间进行。考虑粒子在有限空间内运动，波函数在无穷远处为零，则公式限空间内运动，波函数在无穷远处为零，则公式右边面积分趋于零右边面积分趋于零于是于是或或说明说明: :粒子在全空间出现的总几率是守恒的。粒子在全空间出现的总几率是守恒的。有限空间内运动，波函数为有限空间内运动，波函数为平方可积平方可积的的满足三个条件满足三个条件有限性、单
20、值性、连续性有限性、单值性、连续性以上为波函数的标准条件以上为波函数的标准条件波函数对空间坐标的波函数对空间坐标的一阶微商连续一阶微商连续2.3-3 2.3-3 波函数的标准条件波函数的标准条件束缚态束缚态: :粒子受势场束缚，波函数在空间无穷远处值为零粒子受势场束缚，波函数在空间无穷远处值为零自由态自由态: :2.4 2.4 定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程方程2.4-1 2.4-1 定态与定态薛定谔方程定态与定态薛定谔方程2.4-2 2.4-2 非定态由若干定态叠加而成非定态由若干定态叠加而成考虑粒子在势场中运动且考虑粒子在势场中运动且 与时间无关与时间无关, ,
21、故故令令代代入入2.4-1 2.4-1 定态和定态定态和定态SchrSchrdingerdinger方程方程当当 与与t t无关时，可以分离空间变量和时间变量无关时，可以分离空间变量和时间变量H H与时间无关与时间无关得得分离变量法分离变量法两边同除两边同除得得等式两边相互无关，故应等于与等式两边相互无关，故应等于与 无关的常数无关的常数上式可化为两个方程上式可化为两个方程: :于是于是: :E E具有能量量纲，实数具有能量量纲，实数此时体系能量有确定的值，这种状态称为此时体系能量有确定的值，这种状态称为定态定态，波函数波函数 （和（和 ）称为）称为定态波函数定态波函数。定态和定态波函数定态和
22、定态波函数定态薛定谔方程定态薛定谔方程空间波函数空间波函数 和能量和能量E E可由该方程和边界条件得出可由该方程和边界条件得出将定态薛定谔方程改写成将定态薛定谔方程改写成称为能量本征值方程称为能量本征值方程哈密顿算符：哈密顿算符：下一步工作：给出所有容许的定态下一步工作：给出所有容许的定态束缚定态束缚定态, 自由定态自由定态对于束缚定态对于束缚定态: E不能任意取值不能任意取值,因为方程解需满足边界因为方程解需满足边界条件和三个标准条件条件和三个标准条件每个能量每个能量(本征值本征值)称为能级称为能级. 其解为对应的定态其解为对应的定态波函数波函数(本征函数本征函数)若对应多个定态若对应多个定
23、态,则称为该能级简并则称为该能级简并能谱本征值谱；本征函数组能谱本征值谱；本征函数组定态的性质定态的性质1.1.粒子在空间几率密度分布与时间无关粒子在空间几率密度分布与时间无关简并度简并度：一个能量：一个能量E对应有对应有d个独立无关的解个独立无关的解(波函数波函数)称为该能级称为该能级d度简并。度简并。2. 2. 几率流密度矢量与时间无关几率流密度矢量与时间无关3.3.粒子动量的几率密度分布与时间无关粒子动量的几率密度分布与时间无关4. 4. 任何不显含任何不显含t t的力学量期望值与的力学量期望值与t t无关无关2.4-2 2.4-2 非定态由若干定态叠加而成非定态由若干定态叠加而成当当H
24、 H与时间无关，与时间无关，非定态：由若干个不同能量的定态叠加而成非定态：由若干个不同能量的定态叠加而成两类状态两类状态: : 定态定态, ,非定态非定态满足满足: :代入代入有有: :利用利用因为不同的因为不同的 独立无关，故独立无关，故体系的任意定态波函数线性叠加体系的任意定态波函数线性叠加( (叠加系数与时间叠加系数与时间无关无关) )，描述这个体系的一个非定态。，描述这个体系的一个非定态。求体系求体系t0时刻的非定态波函数时刻的非定态波函数设设 与与t t无关无关, ,定态波函数定态波函数( (本征函数组本征函数组) )构成正交归一化构成正交归一化完备组，非定态的波函数按此完备组展开，即完备组，非定态的波函数按此完备组展开，即设初始条件已知，为设初始条件已知，为代入上式有代入上式有上式两边作运算上式两边作运算得得Kronecker 符号符号利用利用的正交归一性的正交归一性可求出展开系数可求出展开系数所以体系非定态在所以体系非定态在t0t0时刻的波函数为时刻的波函数为补充补充: :分立谱分立谱 例例2.4-22.4-2
