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1、第十章第十章 微分方程微分方程 第六节第六节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程(3)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 可降阶的高阶微分方程(3)一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 可降阶的高阶微分方程(3)例例1. 解解: 可降阶的高阶微分方程(3)例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点
2、, 解解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 可降阶的高阶微分方程(3)利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为可降阶的高阶微分方程(3)型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、可降阶的高阶微分方程(3)例例3. 求解解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为可降阶的高阶微分方程(3)例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧
3、段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得可降阶的高阶微分方程(3)则得定解问题: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线可降阶的高阶微分方程(3)三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解可降阶的高阶微分方程(3)例例5. 求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:可降阶的高阶微分方程(3)M : 地球质量m : 物体质量例例6. 始
4、落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开可降阶的高阶微分方程(3)两端积分得因此有注意注意“”号号可降阶的高阶微分方程(3)由于 y = R 时由原方程可得因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为可降阶的高阶微分方程(3)说明说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 解方程可得问问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为可降阶的高阶微分方程(3)例例7. 解初值问题解解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得可降阶的高
5、阶微分方程(3)为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.二阶可导, 且上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解解:于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研考研 )可降阶的高阶微分方程(3)再利用 y (0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为可降阶的高阶微分方程(3)内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令可降阶的高阶微分方程(3)思考与练习思考与练习1. 方程如何代换求解 ?答答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例例6例例7可降阶的高阶微分方程(3)
